5

Арифметические функции, степенные ряды, ряды Дирихле

[6/100%]
Показать
LaTeX
Задача 8.38

Составить таблицы указанных функций от n=1n=1 до n=10n=10. (Для σα(n)\sigma_{\alpha }(n) ограничиться значениями α=0,1,2\alpha =0,1,2.)

?
Задача 8.38.1

Изучить таблицу из 38 и доказать, что:

?
(1)

Если n>2n>2, то φ(n)\varphi (n) четно.

(2)

φ(n)=1\varphi (n)=1 лишь при n=1n=1 и 2.

(3)

φ(n)=2\varphi (n)=2 лишь при n=3,4n=3,4 и 6.

(4)

τ(n)\tau (n) нечетно или четно в зависимости от того, является ли nn полным квадратом или нет.

(5)

σ(n)\sigma (n) нечетно, если nn есть полный квадрат, умноженный на 1 или на 2. Бывает ли оно нечетным в каких-либо других случаях?

Продолжить исследование таблицы из 38, последовательно расширять ее, пытаться угадать дальнейшие результаты и пробовать доказать или опровергнуть свои догадки.

Задача 8.39

Число частей nn равно ∑t⩽n1=n+1\sum_{t \leqslant n} 1=n+1. Число делителей nn равно ∑t∣n1=τ(n)\sum_{t \mid n} 1=\tau (n). Имеем

∑n=0∞(n+1)zn=1(1−z)2,∑n=1∞τ(n)n−s=ζ(s)2. \sum _{n=0}^{\infty }(n+1) z^{n}=\frac{1}{(1-z)^{2}}, \quad \sum _{n=1}^{\infty } \tau (n) n^{-s}=\zeta (s)^{2} .
?
Задача 8.40

nn-й коэффициент в разложении произведения

11−z∑n=0∞anzn, соотв. ζ(s)∑n=1∞ann−s, \frac{1}{1-z} \sum _{n=0}^{\infty } a_{n} z^{n}, \text{ соотв. } \zeta (s) \sum _{n=1}^{\infty } a_{n} n^{-s},

равен

∑t⩽nat, соотв. ∑t∣nat.  \sum _{t \leqslant n} a_{t}, \text{ соотв. } \sum _{t \mid n} a_{t} \text{. }
?
Задача 8.41

Показать, что

1−z=11+z+z2+…+zn+…, 1-z=\frac{1}{1+z+z^{2}+\ldots +z^{n}+\ldots }, μ(1)1−s+μ(2)2−s+μ(3)3−s+…+μ(n)n−s+…==11−s+2−s+3−s+…+n−s+…=1ζ(s). \begin{aligned} \mu (1) 1^{-s}+\mu (2) 2^{-s}+\mu (3) 3^{-s}+ & \ldots +\mu (n) n^{-s}+\ldots = \\ & =\frac{1}{1^{-s}+2^{-s}+3^{-s}+\ldots +n^{-s}+\ldots }=\frac{1}{\zeta (s)} . \end{aligned}
?
Задача 8.42

Пусть, как в 32, ∑t⩽nat=An\sum_{t \leqslant n} a_{t}=A_{n} (n=0,1,2,…n=0,1,2, \ldots); тогда

(A0+A1z+A2z2+…+Anzn+…)(1−z)==a0+a1z+a2z2+…+anzn+… \begin{aligned} \left(A_{0}+A_{1} z+A_{2} z^{2}+\ldots +A_{n} z^{n}+\ldots \right) & (1-z)= \\ & =a_{0}+a_{1} z+a_{2} z^{2}+\ldots +a_{n} z^{n}+\ldots \end{aligned}

Пусть, далее, как в 33, ∑t∣nat=An\sum_{t \mid n} a_{t}=A_{n} (n=1,2,3,…n=1,2,3, \ldots); тогда

(A11−s+A22−s+…+Ann−s+…)⋅(μ(1)1−s+μ(2)2−s+…+μ(n)n−s+…)==a11−s+a22−s+…+ann−s+… \begin{aligned} \left(A_{1} 1^{-s}+A_{2} 2^{-s}+\ldots +A_{n} n^{-s}+\ldots \right) \cdot \left(\mu (1) 1^{-s}+\mu (2) 2^{-s}+\ldots +\mu (n) n^{-s}+\ldots \right)= \\ =a_{1} 1^{-s}+a_{2} 2^{-s}+\ldots +a_{n} n^{-s}+\ldots \end{aligned}
?