Банк задач по математике

Задача 8.28

Пусть $a, b, c, \ldots , k, l$ — произвольные неотрицательные целые числа. Имеем

\begin{aligned} \operatorname {Max}(a, b, c, \ldots , k, l) & =a+b+c+\ldots +k+l- \\ & -\operatorname {Min}(a, b)-\operatorname {Min}(a, c)-\ldots -\operatorname {Min}(k, l)+ \\ & +\operatorname {Min}(a, b, c)+\ldots - \\ & \ldots \ldots \ldots \ldots \\ & \pm \operatorname {Min}(a, b, c, \ldots , k, l) . \end{aligned}

?

Задача 8.29

Наименьшее общее кратное $M$ целых положительных чисел $a, b, c, \ldots , k, l$ можно представить следующим образом:

M=a b c \ldots k l(a, b)^{-1}(a, c)^{-1} \ldots (k, l)^{-1}(a, b, c) \ldots (a, b, c, \ldots , k, l)^{ \pm 1} .

?

Задача 8.30

1=\left|\begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & \ldots & 0 \\ . & \ldots & . & . & \ldots & . \\ 1 & 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 \end{array}\right|^{2}=\left|\begin{array}{cccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 2 & \ldots & 2 \\ 1 & 2 & 3 & 3 & \ldots & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & \ldots & 4 \\ . & . . & . & \ldots & \ldots & \ldots . \\ 1 & 2 & 3 & 4 & \ldots & n+1 \end{array}\right| .

Здесь общий элемент первого определителя $\eta_{\lambda \mu }=1$ , когда $\mu$ является частью $\lambda$ (собственной или несобственной), и равен нулю в противном случае; во втором определителе общий элемент $c_{\lambda \mu }$ равен числу общих частей чисел $\lambda$ и $\mu$ , т. е. наименьшему из чисел $\lambda +1$ и $\mu +1$ ( $\lambda , \mu =0,1, \ldots , n$ ).

?

Задача 8.31

Определитель, общий элемент которого $c_{\lambda \mu }$ равен числу общих делителей чисел $\lambda$ и $\mu$ или, иными словами, числу делителей наибольшего общего делителя чисел $\lambda$ и $\mu$ ( $\lambda , \mu =1,2, \ldots , n$ ), равен единице.

?

Задача 8.32

Пусть $a_{0}, a_{1}, \ldots , a_{n}$ — произвольные числа и

A_{\nu }=\sum _{t \leqslant \nu } a_{t} \quad (\nu =0,1, \ldots , n) .

Показать, что

\left|\begin{array}{cccccc} A_{0} & A_{0} & A_{0} & A_{0} & \ldots & A_{0} \\ A_{0} & A_{1} & A_{1} & A_{1} & \ldots & A_{1} \\ A_{0} & A_{1} & A_{2} & A_{2} & \ldots & A_{2} \\ A_{0} & A_{1} & A_{2} & A_{3} & \ldots & A_{3} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ A_{0} & A_{1} & A_{2} & A_{3} & \ldots & A_{n} \end{array}\right|=a_{0} a_{1} a_{2} \ldots a_{n} .

Здесь общий элемент $c_{\lambda \mu }$ определителя равен $A_{r}$ , где $r=\operatorname {Min}(\lambda , \mu )$ ( $\lambda , \mu =0,1, \ldots , n$ ). (Обобщение тождества 30.)

?

Задача 8.33

Пусть $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}$ — произвольные числа и

A_{\nu }=\sum _{t \mid \nu } a_{t} \quad (\nu =1,2, \ldots , n) .

Показать, что

\left|\begin{array}{cccccc} A_{1} & A_{1} & A_{1} & A_{1} & \ldots & A_{1} \\ A_{1} & A_{2} & A_{1} & A_{2} & \ldots & A_{(2, n)} \\ A_{1} & A_{1} & A_{3} & A_{1} & \ldots & A_{(3, n)} \\ A_{1} & A_{2} & A_{1} & A_{4} & \ldots & A_{(4, n)} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ A_{1} & A_{(n, 2)} & A_{(n, 3)} & A_{(n, 4)} & \ldots & A_{n} \end{array}\right|=a_{1} a_{2} a_{3} \ldots a_{n} .

Здесь общий элемент $c_{\lambda \mu }$ определителя равен $A_{r}$ , где $r=(\lambda , \mu )$ ( $\lambda , \mu =1,2, \ldots , n$ ). (Обобщение теоремы 31.)

?

Задача 8.34

Если $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots$ произвольны и

A_{n}=\sum _{t \leqslant n} a_{t} \quad (n=0,1,2, \ldots ),

то, очевидно,

a_{0}=A_{0}, \quad a_{1}=A_{1}-A_{0}, \quad a_{2}=A_{2}-A_{1}, \ldots , a_{n}=A_{n}-A_{n-1}, \ldots

При произвольных $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ и

A_{n}=\sum _{t \mid n} a_{t} \quad (n=1,2,3, \ldots )

имеем

\begin{gathered} a_{1}=A_{1}, \quad a_{2}=A_{2}-A_{1}, \quad a_{3}=A_{3}-A_{1}, \quad a_{4}=A_{4}-A_{2}, \\ a_{5}=A_{5}-A_{1}, \quad a_{6}=A_{6}-A_{3}-A_{2}+A_{1}, \ldots \end{gathered}

и вообще

a_{n}=\sum _{t \mid n} \mu (t) A_{\frac{n}{t}} \quad (n=1,2,3, \ldots ),

где $\mu (n)$ — функция Мёбиуса.

?

Примечание.

?

Функция Мёбиуса $\mu (n)$ определяется в списке теоретико-числовых функций, открывающем § 5 настоящей главы: $\mu (1)=1$ , $\mu (n)=0$ , если $n$ делится на квадрат какого-либо целого числа (кроме единицы), и $\mu (n)=(-1)^{\nu (n)}$ в остальных случаях, где $\nu (n)$ — число различных простых множителей числа $n$ .

Задача 8.35

Пусть $\psi (y)$ — произвольная функция, определенная в интервале $0 \leqslant y \leqslant 1$ , и

\begin{aligned} & g(n)=\sum _{\nu =1}^{n} \psi \left(\frac{\nu }{n}\right), \\ & f(n)=\sum _{(r, n)=1} \psi \left(\frac{r}{n}\right), \end{aligned}

где последняя сумма распространена на значения $r$ , взаимно простые с $n$ и не превосходящие $n$ . Тогда

f(n)=\sum _{t \mid n} \mu (t) g\left(\frac{n}{t}\right)=\sum _{t \mid n} \mu \left(\frac{n}{t}\right) g(t) .

?

Примечание.

?

A. Hurwitz.

Задача 8.36

Как известно,

\prod _{\nu =1}^{n}\left(x-e^{\frac{2 \pi i \nu }{n}}\right)=x^{n}-1 .

Положим

\prod _{(r, n)=1}\left(x-e^{\frac{2 \pi i r}{n}}\right)=K_{n}(x),

где произведение распространено на значения $r$ , взаимно простые с $n$ и не превосходящие $n$ ( $n$ -й полином деления круга). Нулями полинома $x^{n}-1$ служат корни $n$ -й степени из единицы, нулями полинома $K_{n}(x)$ — примитивные корни $n$ -й степени из единицы. Доказать формулу

K_{n}(x)=\prod _{t \mid n}\left(x^{\frac{n}{t}}-1\right)^{\mu (t)} .

?

Задача 8.37

Показать, что

\sum _{(r, n)=1} e^{\frac{2 \pi i r}{n}}=\mu (n),

где $\mu (n)$ — функция Мёбиуса.

?

Части и делители