Подсчёт целых точек

Пусть $a$ и $n$ — целые положительные числа. Число тех из чисел $1,2,3, \ldots , n$, которые делятся на $a$, равно $\left[\frac{n}{a}\right]$.

Сколько нулей имеет функция $\sin x$ в интервале $a<x \leqslant b$? Сколько в интервале $a \leqslant x<b$?

Пусть $0 \leqslant \alpha \leqslant \pi$. Обозначим через $V_{n}(\alpha )$ число перемен знака в последовательности

тогда

Пусть $\theta$ — иррациональное число, $0<\theta <1$ и $g_{n}$ равно нулю или единице, смотря по тому, равны между собой или же различны числа $\left[n \theta \right]$ и $\left[(n-1) \theta \right]$. Показать, что

Определить число $N(r, a, \alpha )$ нулей целой функции $e^{z}-a e^{i \alpha }$ в круге $\left|z\right| \leqslant r$ ($r, a, \alpha$ — вещественные постоянные числа, $r>0, a>0$).

Пусть $a$ и $b$ — целые числа, $f(x)$ — функция, определенная и положительная в интервале $a \leqslant x \leqslant b$. Выразить посредством символа $\left[\phantom{x}\right]$ число целых точек (точек с целочисленными координатами, I 28), находящихся в области, определяемой неравенствами

Пусть $p$ и $q$ — взаимно простые целые положительные числа. Доказать путем подсчета целых точек формулу

Пусть $p$ и $q$ — нечетные взаимно простые целые положительные числа. Обозначим $\frac{p-1}{2}=p^{\prime }, \frac{q-1}{2}=q^{\prime }$. Показать, что

Для простого числа $p$ вида $4 n+1$ имеет место формула