Банк задач по математике

Задача 5.183

Положим

f(z) e^{k z}=\sum _{n=0}^{\infty } \frac{k^{n}}{n!} A_{n}^{(k)} z^{n} \quad (k>0),

\begin{aligned} & f(z)(1-z)^{-k-1}=\sum _{n=0}^{\infty } \frac{\Gamma (k+n+1-m)}{\Gamma (k+1)} \frac{k^{m}}{n!} B_{n}^{(k)} z^{n} \quad (k \text{ — целое }>m-1), \\ & f(z)(1+z)^{k-1}=\sum _{n=0}^{k+m-1} \frac{(k-1)! k^{m}}{n!(k-n+m-1)!} C_{n}^{(k)} z^{n} \quad (k \text{ — целое } \geqslant 1) . \end{aligned}

Выразить коэффициенты $A_{n}^{(k)}, B_{n}^{(k)}, C_{n}^{(k)}$ через сопровождающие полиномы $P(z, \omega ), Q(z, \omega ), R(z, \omega )$ полинома $f(z)$ .

?

Задача 5.184

Доказать формулу

\frac{Q(z, \omega )}{\omega ^{m}}=\frac{\Gamma \left(\frac{1}{\omega }+1\right)}{\Gamma \left(\frac{1+z}{\omega }-m+1\right) \Gamma \left(-\frac{z}{\omega }\right)} \int _{0}^{1}(1-t)^{\frac{1+z}{\omega }} t^{-\frac{z+\omega }{\omega }} f\left(\frac{t}{t-1}\right) d t,

где

\omega >0,-1+(m-1) \omega <\mathrm{Re}\left(z\right)<0 .

Найти аналогичные формулы для $P(z, \omega )$ и $R(z, \omega )$ .

?

Задача 5.185

Обозначим число нулей полиномов

f(z), P(z, \omega ), Q(z, \omega ), R(z, \omega )

в открытом интервале $a<z<b$ соответственно через

\mathfrak {F}_{a}^{b}, \mathfrak {P}_{a}^{b}, \mathfrak {Q}_{a}^{b}, \mathfrak {R}_{a}^{b} .

Показать, что имеют место неравенства

\begin{array}{ll} \mathfrak {F}_{0}^{\infty } \leqslant \mathfrak {P}_{0}^{\infty }, & \mathfrak {F}_{-\infty }^{0} \geqslant \mathfrak {P}_{-\infty }^{0}, \\ \mathfrak {F}_{0}^{1} \leqslant \mathfrak {Q}_{0}^{\infty }, & \mathfrak {F}_{-\infty }^{0} \geqslant \mathfrak {Q}_{-1+(m-1) \omega }^{0}, \\ \mathfrak {F}_{0}^{\infty } \leqslant \mathfrak {R}_{0}^{1+(m-1) \omega }, & \mathfrak {F}_{-1}^{0} \geqslant \mathfrak {R}_{-\infty }^{0}, \mathfrak {F}_{-\infty }^{-1} \geqslant \mathfrak {R}_{1+(m-1) \omega }^{\infty } \end{array}

в предположении, что $\omega >0$ ; во второй строке, кроме того, должно быть $(m-1) \omega <1$ и, наконец, в последнем неравенстве первого столбца $\omega^{-1}$ должно быть целым числом. [38, 80.]

?

Примечание.

?

См. Laguerre, 1. c. 1, стр. 23; G. Pólya, задача, Arch. der Math. u. Phys., серия 3, т. 24, стр. 84, 1916.

Задача 5.186

Если еще предположить, что на концах соответствующего интервала (т. е. в точке $z=0$ , или 1, или $-1$ ) функция $f(z)$ не обращается в нуль, то по поводу неравенств предыдущей задачи можно добавить, что разность обеих частей представляет собой четное число (возможно равное нулю). Почему нет необходимости вводить новые предположения относительно точки $z=+\infty$ ?

?

Примечание.

?

Продолжение задачи 185.

Задача 5.187

Три степенных ряда задачи 183 обладают следующими свойствами:

Они содержат не меньше перемен знака, чем полином $f(z)$ имеет нулей соответственно в интервалах $(0,+\infty ),(0,1),(0,+\infty )$ .
С возрастанием $k$ число перемен знака не возрастает.
При достаточно большом $k$ число перемен знака сравняется с числом нулей $f(z)$ в соответствующем интервале.

?

Примечание.

?

Laguerre, 1. c. 1, стр. 13—25; M. Fekete und G. Pólya, Rend. Palermo, т. 34, стр. 89—120, 1912; E. Bálint, Diss., Budapest, 1916; D. R. Curtiss, Annals of Math. (2), т. 19, стр. 251—278, 1918.

Задача 5.188

Отнесем вещественному полиному $m$ -й степени $f(z)$ в качестве четвертого сопровождающего полинома

\begin{aligned} & J(z, \omega )=f(m \omega )-\binom {m}{1} f\left[(m-1) \omega \right] z+ \\ & \quad +\binom {m}{2} f\left[(m-2) \omega \right] z^{2}-\ldots +(-1)^{m} f(0) z^{m}, \end{aligned}

где $\omega >0$ . Обозначим аналогично 185 через $\mathfrak {J}_{a}^{b}$ число нулей полинома $J(z, \omega )$ в открытом интервале $a<z<b$ . Показать, что имеют место неравенства

\mathfrak {F}_{m \omega }^{\infty } \leqslant \mathfrak {J}_{0}^{1}, \quad \mathfrak {F}_{-\infty }^{0} \leqslant \mathfrak {J}_{1}^{\infty }, \quad \mathfrak {F}_{0}^{m \omega } \geqslant \mathfrak {J}_{-\infty }^{0} .

Если, кроме того, $f(0) \neq 0$ , $f(m \omega ) \neq 0$ , то разности двух частей этих неравенств будут четными числами.

?

Примечание.

?

G. Pólya, 1. c. 80.

Задача 5.189

Число нулей вещественного полинома $m$ -й степени $f(z)$ в интервале $m \omega <z<\infty$ не превышает числа нулей полинома

\Delta ^{m} f(0)+\binom {m}{1} \Delta ^{m-1} f(0) z+\binom {m}{2} \Delta ^{m-2} f(0) z^{2}+\ldots +f(0) z^{m}

в интервале $0<z<1$ . Здесь

\begin{aligned} & \Delta ^{v} f(0)= \\ & \quad =f(v \omega )-\binom {v}{1} f\left[(v-1) \omega \right]+\binom {v}{2} f\left[(v-2) \omega \right]-\ldots +(-1)^{v} f(0) \\ & \quad (v=0,1,2, \ldots , m) . \end{aligned}

?

Задача 5.189.1

Полином

f(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots +a_mx^m

с вещественными коэффициентами $a_0, a_1, \ldots , a_m$ имеет в интервале $0<x<1$ не больше нулей, чем полином

S(x) = a_0+a_1x+a_2x^4+a_3x^9+\cdots +a_mx^{m^2}

в интервале $0<x<1$ , даже если у последнего учитывать только различные нули нечетной кратности.

?

Задача 5.189.2

Целая функция

D(x) = a_11^{-x}+a_22^{-x}+a_33^{-x}+\cdots +a_mm^{-x}

имеет в интервале $0<x<\infty$ не больше нулей, чем полином $f(x)-a_0$ в интервале $0<x<1$ , даже если у последнего учитывать только различные нули нечетной кратности.

?

Задача 5.189.3

Пусть $F(x_1, x_2, \ldots , x_m)$ — однородный полином с вещественными коэффициентами от переменных $x_1, x_2, \ldots , x_m$ , и пусть

F(x_1, x_2, \ldots , x_m)>0

при

x_1 \geqslant 0, \quad x_2 \geqslant 0, \quad \ldots , \quad x_m \geqslant 0, \quad x_1+x_2+\cdots +x_m>0.

Тогда коэффициенты полинома

(x_1+x_2+\cdots +x_m)^kF(x_1, x_2, \ldots , x_m)

неотрицательны при всех достаточно больших целых положительных $k$ . (Частный случай $m=2$ совпадает с частным случаем задачи 187 (3), относящимся к третьему выражению, рассмотренному в 183, когда $\mathfrak {F}_0^{\infty }=0$ .)

?

Точное определение числа нулей по правилу знаков Декарта