Приближение нулей трансцендентных функций нулями рациональных функций

Показать, исходя из соотношения

что $\cos z$ и $\sin z$ не имеют мнимых корней.

Показать, исходя из соотношения

что ни одна из производных от функции $e^{-z^{2}}$ не имеет мнимых нулей.

Функция Бесселя

не имеет мнимых нулей. Доказать это четырьмя различными способами, исходя из следующих четырех различных представлений этой функции:

1. $J_{0}(z)=\lim_{n \rightarrow \infty }(-1)^{n}\left(1+\frac{z^{2}}{4 n^{2}}\right)^{n} P_{n}\left(\frac{z^{2}-4 n^{2}}{z^{2}+4 n^{2}}\right)$ [VI 85],

2. $J_{0}(z)=\lim_{n \rightarrow \infty } L_{n}\left(\frac{z^{2}}{4 n}\right)$ [VI 99, решение б)],

3. $J_{0}(z)=\frac{1}{2 \pi } \int_{-\pi }^{\pi } e^{i z \sin \vartheta } d \vartheta$ [III 148, 56],

4. $J_{0}(z)=\frac{2}{\pi } \int_{0}^{1} \frac{\cos z t}{\sqrt{1-t^{2}}} d t$ [III 205].

Целая функция

где $q$ — целое число $\geqslant 2$, не имеет мнимых нулей. Опираясь на 59, можно дать этому два различных доказательства.

Пусть $\alpha \geqslant 0$, $0<\alpha_{1} \leqslant \alpha_{2} \leqslant \alpha_{3} \leqslant \ldots$ и ряд $\frac{1}{\alpha_{1}}+\frac{1}{\alpha_{2}}+\frac{1}{\alpha_{3}}+\ldots$ сходится. Показать, что целую трансцендентную функцию

можно представить в виде предела некоторой последовательности полиномов, имеющих лишь вещественные положительные нули.

Пусть

Показать, что полиномы

$(n=1,2,3, \ldots )$ имеют лишь вещественные положительные нули [63].

В интервале $0<x \leqslant \alpha_{1}$

и вообще

Пусть $\alpha <1$. Показать, что целая функция от $z$, определяемая интегралом

имеет лишь вещественные нули [63].

Пусть $\alpha , \beta , \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}, \ldots$ — вещественные числа, $\alpha \geqslant 0$, $\beta_{v} \neq 0$, и ряд $\frac{1}{\beta_{1}^{2}}+\frac{1}{\beta_{2}^{2}}+\ldots$ сходится. Показать, что целую трансцендентную функцию

можно тогда представить в виде предела некоторой последовательности полиномов с вещественными лишь нулями.

Если

то

[49.]

Если $G(z)$ не имеет положительных нулей и $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}$ — вещественные числа, то полином

не может иметь больше мнимых нулей, чем полином

Показать, основываясь на 167, что функция Бесселя $J_{0}(z)$ не имеет мнимых нулей [II 31].

Показать, основываясь на 167, что целая функция задачи 160 не имеет мнимых нулей.

Интеграл

где $\alpha$ — целое четное число $\geqslant 2$, представляет собой целую функцию, не имеющую мнимых нулей. [167.]

При $\alpha >1$ интеграл все еще представляет собой целую функцию; если $\alpha$ не является четным целым числом, то эта функция имеет лишь конечное число вещественных нулей.

Пусть $\alpha_1, \alpha_2, \ldots , \alpha_s$ — нули функции $G(z)$ в $[0,m]$,

и пусть

Рассуждать далее следующим образом:

(1)

имеет в точности $m$ перемен знака (по 47 и по определению $G^*(z)$) и в точности $m$ положительных нулей (в силу небольшого видоизменения задачи 167 --- воспользоваться задачей 67 полнее).

(2)

имеет в точности $m-1$ перемен знака (обратить внимание на различные возможные случаи) и потому, по 36, не более $m-1$ положительных нулей. Однако он имеет (в силу небольшого видоизменения решения 66) по меньшей мере $m-1$, а значит, окончательно, ровно $m-1$ положительных нулей;

(3) Ввести последовательно $\alpha_2, \alpha_3, \ldots , \alpha_s$ и повторить надлежащим образом рассуждения пункта (2) (обращая на каждом шаге внимание на изменения, вызванные предыдущими шагами), чтобы прийти к искомому утверждению.

Сделаем следующие предположения: целая функция

является пределом полиномов, имеющих только положительные нули, но сама не является полиномом [161].

Целая функция $G(z)$ либо определена так, как в 165, либо равна определенной в 165 функции, умноженной на $z$; она имеет в точности $s$ неотрицательных нулей, которые просты, причем расстояние между любыми двумя из них не меньше $1$. (Настоящую функцию $G(z)$ мы получаем из функции $G(z)$ задачи 171.1, делая $m$ сколь угодно большим.)

Тогда целая функция

имеет в точности $s$ неположительных нулей.

Если $\nu \geqslant 0$, то целая функция

имеет в точности $[\nu ]$ неположительных нулей. (Это содержит в себе результат задачи 159.)

Пусть $k, l, m$ и $q$ — неотрицательные целые числа,

Если все нули полинома

отрицательны, то и все нули полинома

также отрицательны. (Отсюда при $n \to \infty$ вытекает результат задачи 160.)

Если все нули полинома

отрицательны, то и все нули полинома

также отрицательны; $k, l, m$ и $q$ подчинены тем же условиям, что и в 171.4.

Уравнение

имеет лишь вещественные корни. [26.]

Пусть в интервале $0 \leqslant t \leqslant 1$ функция $f(t)$ дважды дифференцируема, причем $f^{\prime \prime }(t)$ непрерывна, далее $f(t)>0$, $f^{\prime }(t)<0$, $f^{\prime \prime }(t)<0$. Тогда четная целая функция

имеет бесконечное множество и притом вещественных нулей. (Это утверждение связано с теоремой III 205, однако отлично от нее.) [26, III 165.]

Пусть $\varphi (t)$ собственно интегрируема в интервале $0 \leqslant t \leqslant 1$. Если

то целая функция

имеет лишь вещественные нули. [27.]

Пусть функция $f(t)$ вещественна и имеет непрерывную производную в интервале $0 \leqslant t \leqslant 1$. Если

то целая функция

имеет лишь вещественные нули. (Условие выполняется, в частности, если $f(0) \geqslant 0$ и $f^{\prime }(t) \geqslant 0$ в интервале $0 \leqslant t \leqslant 1$; см. III 205.)

Целая функция

где $a \geqslant 2$, равно как и все частичные суммы ее степенного ряда, имеет лишь отрицательные вещественные простые нули. [III 200.]

Пусть функция $f(t)$ положительна и имеет непрерывную производную в интервале $0<t<1$. Пусть, далее, $\int_{0}^{1} f(t) d t$ существует. Показать, что определяемая интегралом

целая функция не имеет нулей:

1. в полуплоскости $\mathrm{Re}\left(z\right) \geqslant 0$, если $f^{\prime }(t)>0$;

2. в полуплоскости $\mathrm{Re}\left(z\right) \leqslant 0$, если $f^{\prime }(t)<0$.

Доказать III 189, основываясь на 177.

Остаток показательного ряда

не обращается в нуль ни в одной точке полуплоскости $\mathrm{Re}\left(z\right) \leqslant n$ $(n=1,2,3, \ldots )$, кроме $z=0$. Случай $n=0$ представляет исключение: все нули лежат на граничной прямой полуплоскости $\mathrm{Re}\left(z\right) \leqslant 0$, т. е. на оси $y$. (Отсюда легко вытекает 73.) [177.]

Если $\sum_{n=0}^{\infty }\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|^{2}$ сходится, то

— целая функция. Обозначим нули $F(z)$ через $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}, \ldots$. Показать, что ряд

сходится.

Если все нули некоторого полинома с вещественными коэффициентами — вещественные и простые, то между двумя соседними нулями полинома лежит лишь один нуль его производной. Верна ли эта теорема также для целых трансцендентных функций?

Пусть

где $H(x)$ — полином степени $\geqslant 3$. Показать, что по крайней мере одна из двух первых производных $\frac{d F}{d x}$ и $\frac{d^{2} F}{d x^{2}}$ имеет не только вещественные нули.