Дифференциальные уравнения Коши—Римана

Являются ли аналитическими функции

Предположим, что $f(z)$ аналитична; воспользуемся, как и выше, обозначениями

и будем обозначать частные производные индексами обычным образом. Проверить, что

(Продолжение.) Доказать, что

(Продолжение.) Пусть $\varphi (x,y)$ и $\psi (x,y)$ — функции двух вещественных переменных $x$ и $y$, имеющие непрерывные производные первого порядка; там, где $f'(z) \neq 0$, их можно рассматривать также как функции от $u$ и $v$. Проверить, что

(Продолжение.) Если $\varphi (x,y)$ имеет непрерывные производные второго порядка, то также

(Продолжение.) Предположим, что $a, b, c$ и $d$ — вещественные постоянные,

и рассмотрим

Тогда

Найти аналитическую функцию от $z=x+i y$, обращающуюся в нуль при $z=0$ и имеющую вещественной частью

Пусть $a$ и $b$ — фиксированные числа, $a<b$, $z$ — точка, изменяющаяся в полуплоскости $\mathrm{Im}\left(z\right)>0$, и $\omega$ — переменный угол, под которым виден из точки $z$ отрезок $[a, b]$ вещественной оси. Найти, если это возможно, аналитическую функцию $f(z)$, имеющую своей вещественной частью $\omega$.

Показать, что для каждой аналитической функции $f(z)=f(x+i y)$

Пусть $f(z)$ — аналитическая функция от $z=x+i y$. Тогда