Отображения и векторные поля

Являются ли аналитическими функции

Предположим, что $f(z)$ аналитична; воспользуемся, как и выше, обозначениями

и будем обозначать частные производные индексами обычным образом. Проверить, что

Предположим, что $f(z)$ аналитична; воспользуемся, как и выше, обозначениями

и будем обозначать частные производные индексами обычным образом. Проверить, что

(Продолжение.) Доказать, что

(Продолжение.) Доказать, что

(Продолжение.) Пусть $\varphi (x,y)$ и $\psi (x,y)$ — функции двух вещественных переменных $x$ и $y$, имеющие непрерывные производные первого порядка; там, где $f'(z) \neq 0$, их можно рассматривать также как функции от $u$ и $v$. Проверить, что

(Продолжение.) Пусть $\varphi (x,y)$ и $\psi (x,y)$ — функции двух вещественных переменных $x$ и $y$, имеющие непрерывные производные первого порядка; там, где $f'(z) \neq 0$, их можно рассматривать также как функции от $u$ и $v$. Проверить, что

(Продолжение.) Если $\varphi (x,y)$ имеет непрерывные производные второго порядка, то также

(Продолжение.) Если $\varphi (x,y)$ имеет непрерывные производные второго порядка, то также

(Продолжение.) Предположим, что $a, b, c$ и $d$ — вещественные постоянные,

и рассмотрим

Тогда

(Продолжение.) Предположим, что $a, b, c$ и $d$ — вещественные постоянные,

и рассмотрим

Тогда

Найти аналитическую функцию от $z=x+i y$, обращающуюся в нуль при $z=0$ и имеющую вещественной частью

Пусть $a$ и $b$ — фиксированные числа, $a<b$, $z$ — точка, изменяющаяся в полуплоскости $\mathrm{Im}\left(z\right)>0$, и $\omega$ — переменный угол, под которым виден из точки $z$ отрезок $[a, b]$ вещественной оси. Найти, если это возможно, аналитическую функцию $f(z)$, имеющую своей вещественной частью $\omega$.

Показать, что для каждой аналитической функции $f(z)=f(x+i y)$

Пусть $f(z)$ — аналитическая функция от $z=x+i y$. Тогда

Введем в пространстве прямоугольную систему координат $\xi , \eta , \zeta$. Будем проектировать все точки $(\xi , \eta , \zeta )$ шаровой поверхности $\xi^{2}+\eta^{2}+\zeta^{2}=1$ (единичной сферы) из точки $(0,0,1)$ (северного полюса шара) на плоскость $\zeta =0$ (экваториальную плоскость). Пусть проекции точек имеют координаты $(x, y, 0)$. Выразить $x+i y$ через $\xi , \eta , \zeta$ и обратно $\xi , \eta , \zeta$ через $x$ и $y$ (стереографическая проекция).

(Продолжение.) Пусть точке $P$ плоскости $\zeta =0$ посредством стереографической проекции относится точка $P^{\prime }$ единичной шаровой поверхности. При повороте шара на угол $\pi$ около оси $\xi$ точка $P^{\prime }$ займет новое положение $P^{\prime \prime }$, которому по стереографической проекции будет соответствовать некоторая точка $P^{\prime \prime \prime }$ плоскости $\xi$, $\eta$. Пусть координатами $P$ будут $x, y, 0$, координатами $P^{\prime \prime \prime }$ будут $u, v, 0$. Выразить $u+i v$ через $x+i y$.

На какие линии цилиндра отображаются при проекции Меркатора меридианы и параллели единичной сферы? На какие линии плоскости отображаются они при стереографической проекции?

(Продолжение.) Пусть точка единичной сферы отображается с помощью стереографической проекции на точку $(x, y, 0)$ плоскости и, с другой стороны, с помощью проекции Меркатора — на точку $(u, v)$ цилиндра. Выразить $x+i y$ через $u+i v$.

Пусть $z=e^{w}$. Каким кривым плоскости $z$ соответствуют взаимно перпендикулярные прямые $\mathrm{Re}\left(w\right)=$ const., $\mathrm{Im}\left(w\right)=$ const. плоскости $w$?

На каких кривых плоскости $z$ вещественная часть функции $z^{2}$ постоянна? На каких постоянна мнимая часть? Оба семейства кривых образуют ортогональную систему; почему?

Каким кривым плоскости $z$ соответствуют при отображении $w=\sqrt{z}$ прямые $\mathrm{Re}\left(w\right)=$ const. плоскости $w$? Каким — прямые $\mathrm{Im}\left(w\right)=$ const.?

Отображение $w=\cos z$ преобразует прямые $\mathrm{Re}\left(z\right)=$ const. плоскости $z$ в гиперболы на плоскости $w$, прямые $\mathrm{Im}\left(z\right)=$ const. плоскости $z$ — в эллипсы.

Написать уравнения кривых плоскости $x, y$, соответствующих при отображении

линиям $u=$ const., соответственно $v=$ const. Что соответствует прямым $v=0$, $v=\pi$?

Вычислить площадь области, в которую преобразуется при отображении $w=e^{z}$ квадрат

($a$ вещественно, $\varepsilon$ положительно и $<\pi$, $z=x+i y$). Вычислить предел отношения площадей двух областей, когда $\varepsilon$ стремится к нулю.

При отображении $w=\cos z$, $z=x+i y$ прямоугольник

преобразуется взаимно однозначно и конформно в некоторую область, ограниченную дугами софокусных гипербол и эллипсов [67]. Вычислить площадь этой области.

По каким линиям располагаются точки равного линейного искажения при отображении $w=z^{2}$? По каким — точки с одинаковым углом поворота?

В какую область преобразуется квадрат

при отображении $w=e^{z}$, $z=x+i y$? До каких значений положительного возрастающего параметра $a$ соответствие будет взаимно однозначным? Для какого значения $a$ область будет покрыта ровно $n$ раз?

Рассмотрим область, в которую переходит круг $\left|z\right| \leqslant r$ при отображении $w=e^{z}$. Пусть $r$ непрерывно возрастает. Тогда на каждом луче $\arg w=\alpha$ найдется точка, которая при любой величине расширяющегося круга будет покрываться его образом не меньшее число раз, чем любая другая точка этого луча. Где находится эта точка?

Функция $w=z^{2}+2 z+3$ однолистна в открытом круге $\left|z\right|<1$.

Функция $w=z^{2}$ однолистна в верхней полуплоскости $\mathrm{Im}\left(z\right)>0$ и отображает эту последнюю на плоскость $w$ с разрезом вдоль неотрицательной вещественной оси.

Показать, что функция

($\alpha$ вещественно, $\left|a\right|<1$) взаимно однозначно отображает единичный круг $\left|z\right| \leqslant 1$ на самого себя. [5.] По каким линиям располагаются точки постоянного линейного искажения?

Если $K$ — произвольная окружность, расположенная внутри единичного круга, то всегда существует отображение этого последнего на самого себя вида

($\alpha$ вещественно, $\left|a\right|<1$), переводящее $K$ в окружность, концентрическую с единичной.

Отобразить верхнюю полуплоскость $\mathrm{Im}\left(z\right)>0$ на круг $\left|w\right|<1$ так, чтобы $z=i$ перешло в $w=0$.

Функция $w=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)$ является однолистной в незамкнутом круге $\left|z\right|<1$ и отображает последний на плоскость $w$ с разрезом вдоль отрезка $-1 \leqslant w \leqslant 1$ вещественной оси. Какие кривые при этом соответствуют концентрическим окружностям $\left|z\right|=r$, $r<1$, какие — лучам, выходящим из начала? Как ведет себя отображение на границе $\left|z\right|=1$ круга?

Найти функцию, осуществляющую отображение кругового кольца $0<r_{1}<\left|z\right|<r_{2}$ на кольцеобразную область, заключающуюся между софокусными эллипсами

плоскости $w$.

Отобразить верхнюю половину единичного круга $\left|z\right|<1$, $\mathrm{Im}\left(z\right)>0$ на верхнюю полуплоскость [79]. В каких точках плоскости $z$ линейное искажение будет равно $\frac{1}{2}$? В каких угол поворота будет равен $\pm \frac{\pi }{2}$?

Отобразить верхнюю половину единичного круга $\left|z\right|<1$, $\mathrm{Im}\left(z\right)>0$ на плоскость $w$, разрезанную вдоль неотрицательной вещественной оси, так, чтобы при этом отображении $z=0$ перешло в $w=0$, $z=1$ — в $w=1$ и $z=i$ — в $w=\infty$. В какую точку перейдет $z=-1$?

Посредством функции

где $0 \leqslant \alpha <\beta <2 \pi$, угол $\alpha <\arg z<\beta$ отображается на плоскость $w$, разрезанную вдоль неотрицательной вещественной оси.

Пусть $0 \leqslant \alpha <\beta <2 \pi$. Отобразить круговой сектор

на единичный круг $\left|w\right|<1$.

Доказать, что имеют место равенства

($\varphi (x, y)$ называют потенциалом векторного поля, линии $\varphi (x, y)=\mathrm{const.}$ — эквипотенциальными линиями.)

Далее, выполняются равенства

($\psi (x, y)$ называют функцией тока, линии $\psi (x, y)=\mathrm{const.}$ — линиями тока или же силовыми линиями в зависимости от физической интерпретации вектора $\overline{w}$.)

Линии $\varphi (x, y)=\mathrm{const.}$ и $\psi (x, y)=\mathrm{const.}$ взаимно ортогональны.

Показать, что $\varphi (x, y)$ удовлетворяет уравнению

(уравнение Лапласа).

Соединим точки $z_{1}=x_{1}+i y_{1}$ и $z_{2}=x_{2}+i y_{2}$ кривою $L$, проходящей в векторном поле; пусть линейный элемент $d s$ этой кривой составляет с положительным направлением оси $x$ угол $\tau$. Доказать, что

т. е. криволинейный интеграл тангенциальной компоненты вектора $\overline{w}$ равен разности потенциалов (работе).

Показать, что в обозначениях задачи 88

т. е. криволинейный интеграл нормальной компоненты вектора $\overline{w}$ равен изменению функции тока (силовой поток). (При продвижении вдоль кривой $L$ нормаль считаем направленной вправо:

Для свободного стационарного потока несжимаемой жидкости с постоянной плотностью $\rho$ и переменным давлением $p$, идущего параллельно плоскости $x+i y$, как известно¹, имеют место уравнения

Показать, что если $w=u-i v$ есть аналитическая функция, то компоненты $u, v$ вектора $\overline{w}$ и

(формула Бернулли) ($p_{0}$ постоянно) удовлетворяют этим уравнениям.

Для векторного поля, порождаемого функцией

найти направление и модуль вектора $\overline{w}$ в точке $z=r e^{i \vartheta }$, а также потенциал, функцию тока, эквипотенциальные линии и линии тока. (Часть интересующего нас векторного поля, заключающуюся в круговом кольце $0<r_{1}<\left|z\right|<r_{2}$, можно истолковать как электростатическое поле между двумя обкладками лейденской банки или же как поле теплового потока в стенке фабричной трубы.)

Обозначим через $\varphi$ потенциал и через $\psi$ функцию тока векторного поля задачи 91. Пусть $z_{1}$ и $z_{2}$ — произвольные точки соответственно окружностей $\left|z\right|=r_{1}$ и $\left|z\right|=r_{2}$, $\varphi_{1}$ и $\varphi_{2}$ — значения потенциала в этих точках. Вычислить

(разность потенциалов между двумя обкладками лейденской банки).

Функция тока $\psi$ задачи 91 оказывается бесконечно многозначной. Проследить изменение ее значений при обходе произвольной простой замкнутой кривой $L$, содержащейся между окружностями $\left|z\right|=r_{1}$ и $\left|z\right|=r_{2}$. Пусть $z$ — некоторая точка кривой $L$, $\psi$ — значение функции тока в $z$ до обхода, $\psi^{\prime }$ — значение в $z$ после одного обхода кривой $L$. Вычислить

(силовой поток, переходящий с одной обкладки лейденской банки на другую). Вычислить, кроме того,

(емкость цилиндрических обкладок на единицу длины образующей).

Ответить на те же вопросы, что и в задаче 91, для векторного поля, определяемого функцией

(стационарное магнитное силовое поле, порожденное бесконечно протяженным прямолинейным проводником электрического тока, перпендикулярным к плоскости $z$). Будут ли в этом поле потенциал $\varphi$ и функция тока $\psi$ однозначными функциями?

Два бесконечно протяженных прямолинейных проводника электрического тока расположены перпендикулярно к плоскости $z$ и пересекают ее соответственно в точках $z=-1$ и $z=1$. Через них проходит ток одинаковой силы, но в противоположных направлениях. Определить эквипотенциальные линии и линии тока в порождаемом этими проводниками магнитном поле.

Через $n$ прямолинейных проводников, перпендикулярных к плоскости $z$ и пересекающих ее в точках $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$, проходит в одном и том же направлении ток. Показать, что в плоскости $z$ существует самое большее $n-1$ точек, в которых магнитная сила равна нулю (точки равновесия); они содержатся в наименьшем выпуклом полигоне, охватывающем точки $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$.

Пусть даны два софокусных эллипса с фокусами в точках $z=-2$ и $z=2$ и полуосями соответственно $2 a_{1}, 2 b_{1}$ и $2 a_{2}, 2 b_{2}$,

Построить в заключающейся между этими эллипсами области такое безвихревое векторное поле с нулевой дивергенцией, чтобы указанные эллипсы служили для него эквипотенциальными линиями. (Электростатическое поле в конденсаторе, имеющем в качестве обкладок конфокальные эллиптические цилиндры.) Какую форму будут иметь эквипотенциальные линии и линии тока? Определить емкость [92].

Пусть $0<a<b$, $\alpha <\beta <\alpha +2 \pi$. Указать в области, определяемой неравенствами

такое безвихревое векторное поле, не имеющее источников и стоков, для которого граничные круговые дуги служили бы линиями тока, а прямолинейные отрезки — эквипотенциальными линиями. (Электрический ток в пластинке постоянной толщины.)

Пусть $\psi_{1}$ и $\psi_{2}$ будут значения функции тока на окружностях $\left|z\right|=a$ и $\left|z\right|=b$, а $\varphi_{1}$ и $\varphi_{2}$ — значения потенциала на лучах $\arg z=\alpha$ и $\arg z=\beta$. Вычислить

(сопротивление, с точностью до множителя, зависящего от толщины и удельного сопротивления пластинки).

Указать безвихревое поле с нулевой дивергенцией, заполняющее все пространство вне единичного круга ($\left|z\right| \geqslant 1$) и такое, что $\overline{w}$ для $z=\infty$ равно единице, а на единичной окружности направлено по касательной к ней. (Обтекание жидкостью кругового цилиндра; на достаточном расстоянии от цилиндра поток равномерен.)

В каких точках векторного поля задачи 98 вектор скорости $\overline{w}$ обращается в нуль? (Критические точки.) В скольких различных точках поля вектор $\overline{w}$ принимает равные значения? Где давление $p$ минимально и где максимально? [90.] Какова результирующая всех давлений, оказываемых на цилиндр? Какой физический смысл имеет векторное поле, полученное поворотом всех векторов нашего поля на $90^{\circ }$?

На рис. 1 изображены контуры векторного поля, определенного следующими условиями: безвихревое поле с нулевой дивергенцией распространяется на всю верхнюю полуплоскость и часть нижней симметрично относительно мнимой оси. Для $z=\infty$ $\overline{w}=-i$, для $z=0$ $\overline{w}=0$. Известны следующие линии тока: положительная мнимая ось и отрезки вещественной оси от $z=0$ до $z=l$ и от $z=0$ до $z=-l$ (на рисунке $C A$, $A B$ и $A D$); соответствующие направления вектора $\overline{w}$ указаны стрелками. Пусть, кроме того, две остающиеся еще части контура — кривые, ниспадающие от $z=l$ и от $z=-l$ (на рисунке от $B$ и от $D$) несколько в сторону и круто вниз до бесконечности, — являются одновременно линиями тока и линиями постоянства скоростей (т. е. вдоль них векторы $\overline{w}$ направлены по касательным и $\left|\overline{w}\right|$ постоянно). Начертить схему отображения этого поля на плоскостях $\overline{w}$ и $f$. (Образование неподвижной воды позади щитообразного препятствия, поставленного перпендикулярно к направлению потока. Отрезок от $z=-l$ до $z=+l$ представляет щит; в центре его находится критическая точка $z=0$. В незагороженной части поле мыслится равномерным с постоянным вектором потока $-i$. В неподвижной воде давление постоянно; вследствие формулы Бернулли [90] отсюда следует, что на линиях тока, отделяющих неподвижную воду от движущейся, $\left|\overline{w}\right|=\mathrm{const.}$)
{{< include figs_ru/figs_recreated/fig01_p132_ris1.qmd >}}

(Продолжение.) Выразить $w$ как функцию от $f$ и определить отсюда $z$ как функцию от $f$ [82]. Определить ширину неподвижной воды на достаточном удалении.

(Продолжение.) Вычислить общее давление на щит, предполагая, что плотность $\rho =1$. [90.]