6

Мажорантные ряды

[6/100%]
Показать
LaTeX
Задача 1.61

Если A(z)≪P(z)A(z) \ll P(z) и A∗(z)≪P∗(z)A^{*}(z) \ll P^{*}(z), то также

A(z)+A∗(z)≪P(z)+P∗(z),A(z)A∗(z)≪P(z)P∗(z). \begin{aligned} A(z)+A^{*}(z) & \ll P(z)+P^{*}(z), \\ A(z) A^{*}(z) & \ll P(z) P^{*}(z) . \end{aligned}
?
Задача 1.62

Для всех положительных целых nn

(1+zn)n≪ez. \left(1+\frac{z}{n}\right)^{n} \ll e^{z} .
?
Задача 1.63

Пусть

f(z)=z+a2z2+a3z3+…+anzn+… f(z)=z+a_{2} z^{2}+a_{3} z^{3}+\ldots +a_{n} z^{n}+\ldots

Из условия

zf′(z)f(z)≪1+z1−z z \frac{f^{\prime }(z)}{f(z)} \ll \frac{1+z}{1-z}

вывести неравенства

∣an∣⩽n(n=1,2,3,…). \left|a_{n}\right| \leqslant n \quad (n=1,2,3, \ldots ) .
?
Задача 1.64

Пусть a1,a2,…,ala_{1}, a_{2}, \ldots , a_{l} — целые положительные числа. Показать а) с помощью 9, б) без помощи 9, что

(1+za1)(1+za2)…(1+zal)≪≪1(1−za1)(1−za2)…(1−zal)≪11−za1−za2−…−zal. \begin{aligned} \left(1+z^{a_{1}}\right)\left(1+z^{a_{2}}\right) \ldots \left(1+z^{a_{l}}\right) & \ll \\ & \ll \frac{1}{\left(1-z^{a_{1}}\right)\left(1-z^{a_{2}}\right) \ldots \left(1-z^{a_{l}}\right)} \ll \frac{1}{1-z^{a_{1}}-z^{a_{2}}-\ldots -z^{a_{l}}} . \end{aligned}
?
Задача 1.64.1

Пусть z1,z2,…,znz_1, z_2, \ldots , z_n обозначают нули полинома zn+a1zn−1+a2zn−2+⋯+anz^n + a_1 z^{n-1} + a_2 z^{n-2} + \cdots + a_n и пусть

sk=z1k+z2k+⋯+znk s_k = z_1^k + z_2^k + \cdots + z_n^k

для k=1,2,3,…k = 1, 2, 3, \ldots. Предположим, что

∣sk∣≤1для k=1,2,…,n. \left|s_k\right| \leq 1 \quad \text{для } k = 1, 2, \ldots , n .

Тогда

∣ak∣≤1 \left|a_k\right| \leq 1

и, как показано в [III 21],

∣zk∣<2для k=1,2,…,n. \left|z_k\right| < 2 \quad \text{для } k = 1, 2, \ldots , n .
?
Задача 1.64.2

(продолжение). Показать на примере, что в соотношении ∣ak∣≤1\left|a_k\right| \leq 1 может достигаться знак равенства.

?