Интеграл

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой и $s$ — простая функция на $X$. Если $E$ — измеримое множество меры 0, докажите, что $\int_{E} s d \mu =0$.

Докажите, что если $E \subset X$ измеримо, то $\int_{E} f d \mu =\int_{X} f \chi_{E} d \mu$.

Докажите предложение 7.2.11.

Предложение 7.2.11: Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с мерой и $f, g$ — неотрицательные измеримые функции на $X$. (i) Если $\alpha \geq 0$, то $\int_{X} \alpha f \, d\mu = \alpha \int_{X} f \, d\mu$. (ii) Если $f \leq g$ почти всюду на $X$, то $\int_{X} f \, d\mu \leq \int_{X} g \, d\mu$. (iii) Если $X_{0}$ — измеримое подмножество $X$ и $\mu \left(X \setminus X_{0}\right) = 0$, то $\int_{X} f \, d\mu = \int_{X_{0}} f \, d\mu$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой и $f$ — неотрицательная измеримая функция на $X$. Если $A, B$ — непересекающиеся измеримые подмножества $X$, докажите, что $\int_{A \cup B} f d \mu =\int_{A} f d \mu +\int_{B} f d \mu$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой и $f$ — неотрицательная ограниченная измеримая функция на $X$. Докажите, что $f \in L(X, \mu )$ тогда и только тогда, когда ряд

сходится.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — конечное пространство с мерой и $f$ — неотрицательная, ограниченная и измеримая функция на $X$. Докажите, что

Остаётся ли утверждение верным, если $\mu (X)=\infty$?

Пусть $\lambda$ — функция множества на всех подынтервалах $[a, b] \subset [0,1]$, определённая как $\lambda ([a, b])=\varphi (b)-\varphi (a)$, где $\varphi$ — функция Кантора–Лебега на $[0,1]$. Пусть $\mu$ — каратеодориево продолжение $\lambda$ на $\mathcal{M} \mid [0,1]$. Вычислите $\int_{0}^{1} x d \mu$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой и $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность неотрицательных измеримых функций на $X$, сходящаяся почти всюду к функции $f$. Докажите или опровергните: предел

существует (конечный или бесконечный).

Найдите последовательность вещественнозначных неотрицательных функций $f_{n}$ на $[0,1]$ такую, что

и

Пусть $E$ — подмножество $\mathbb {R}$ конечной лебеговой меры, и пусть $f$ — измеримая функция на $E$, почти всюду строго положительная. Докажите, что для каждого $0<\alpha <m(E)$

Докажите следствие 7.2.15.

Следствие 7.2.15: Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с мерой и $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность неотрицательных измеримых функций на $X$. Тогда $\int_{X} \sum_{n=1}^{\infty } f_{n} \, d\mu = \sum_{n=1}^{\infty } \int_{X} f_{n} \, d\mu$.

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с мерой и $f: X \rightarrow [0,+\infty )$ — измеримая функция. Докажите, что $f \in L(X, \mu )$ тогда и только тогда, когда $\sup \int_{A} f d \mu <\infty$, где супремум берётся по всем множествам $A$ конечной меры, на которых $f$ ограничена сверху.

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с мерой, пусть $\left\{ A_{n}\right\} \subset \mathfrak {M}$ таково, что $\mu \left(\cup_{n=1}^{\infty } A_{n}\right)$ конечно, и пусть $f$ — измеримая функция, строго положительная почти всюду и такая, что $\lim_{n} \int_{A_{n}} f d \mu =0$. Докажите, что $\lim_{n} \mu \left(A_{n}\right)=0$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — конечное пространство с мерой. Докажите, что неотрицательная измеримая функция $f$ интегрируема на $X$ тогда и только тогда, когда

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой, и пусть $f$ — неотрицательная измеримая функция, почти всюду конечная, и пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ определена как

Докажите, что последовательность $\left\{ \int_{X} f_{n} d \mu \right\}$ монотонно возрастает и сходится к $\int_{X} f d \mu$. Останется ли утверждение верным, если не предполагать, что $f$ почти всюду конечна?

Пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность неотрицательных лебегово измеримых функций на $(0,10)$, сходящаяся к функции $f$ почти для всех $x \in (0,10)$. Пусть $F(x)= \int_{0}^{x} f d m$ и $F_{n}(x)=\int_{0}^{x} f_{n} d m$. Докажите, что

Покажите, что теорема о монотонной сходимости может не выполняться для убывающих последовательностей функций.

Пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — убывающая последовательность неотрицательных интегрируемых функций на $(X, \mathfrak {M}, \mu )$, сходящаяся к $f$ почти всюду. Докажите, что $\lim f_{n}=0$ почти всюду тогда и только тогда, когда $\lim \int f_{n} d \mu =0$.

Покажите, что теорема о монотонной сходимости выполняется для убывающей последовательности функций $\left\{ f_{n}\right\}$, если $f_{1} \in L(X, \mu )$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой и $f, g$ — неотрицательные функции в $L(X, \mu )$, и определим

Докажите, что

Пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность неотрицательных измеримых функций, сходящаяся поточечно к функции $f$ на $\mathbb {R}$. Предположим, что

Докажите, что

для каждого измеримого множества $A$.

Пусть $f$ — функция, определённая на $[0,1]$ следующим образом. Если $x$ принадлежит канторовскому множеству, то $f(x)=0$. Если $x$ принадлежит дополнительному интервалу длины $3^{-k}$, то $f(x)=k$. Найдите $\int_{[0,1]} f$.

Пусть $\mu$ и $\nu$ — меры на измеримом пространстве ( $X, \mathfrak {M}$ ), пусть $\lambda =\mu +\nu$, и пусть $f$ — неотрицательная измеримая функция на $X$. Докажите, что для любого $E \in \mathfrak {M}$

Пусть $\left\{ r_{n}\right\}$ — перечисление рациональных чисел в $(0,1)$, пусть $Q_{n}= \left\{ r_{1}, r_{2}, \ldots , r_{n}\right\}$, и пусть

Докажите, что каждая $f_{n}$ измерима, и найдите

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — конечное пространство с мерой и пусть $f$ — измеримая неотрицательная функция на $X$ такая, что $f^{n} \in L(X, \mu )$ для всех $n \in \mathbb {N}$.

(Теорема Беппо Леви.) Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой и пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — возрастающая последовательность неотрицательных измеримых функций такая, что $\sup_{n} \int_{X} f_{n} d \mu <\infty$. Докажите, что

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой и пусть $E$ — множество меры 0. Предположим, что $f=\infty$ на $E$. Докажите, что $\int_{E} f=0$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой, пусть $\mathfrak {M}_{0}$ — $\sigma$-алгебра, содержащаяся в $\mathfrak {M}$, пусть $\mu_{0}$ — ограничение $\mu$ на $\mathfrak {M}_{0}$, и пусть $f$ — неотрицательная функция, измеримая относительно $\mathfrak {M}_{0}$. Докажите, что $f$ измерима относительно $\mathfrak {M}$ и

Может ли неравенство быть строгим?

Докажите или опровергните: существует неотрицательная $f \in L(\mathbb {R})$ такая, что для любых $a<b$ и любого $M>0$ множество $(a, b) \cap \left\{ x \in \mathbb {R}: f(x) \geq M\right\}$ имеет положительную меру.

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с мерой и пусть $f$ — неотрицательная функция, интегрируемая на $X$. Докажите, что для каждого $\varepsilon >0$ существует множество $A \in \mathfrak {M}$ такое, что $\mu (A)<\infty$ и $\int_{A} f>\int_{X} f-\varepsilon$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой, пусть $f$ — неотрицательная функция, интегрируемая на $X$, и пусть $\varepsilon >0$. Докажите, что существует множество $A \in \mathfrak {M}$ такое, что $\mu (A)<\infty$, и простая функция $s$, обращающаяся в нуль вне $A$ и удовлетворяющая $0 \leq s \leq f$ и $\int_{X}|f-s| d \mu <\varepsilon$.

Докажите теорему о монотонной сходимости при более слабом предположении, что $\lim f_{n}=f$ по мере (вместо почти всюду).

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой, пусть $f$ — неотрицательная функция на $X$, и пусть $\left\{ X_{n}\right\}$ — возрастающая последовательность измеримых множеств такая, что $X=\cup_{n=1}^{\infty } X_{n}$. Докажите, что $f$ интегрируема на $X$ тогда и только тогда, когда последовательность $\left\{ \int_{X_{n}} f d \mu \right\}$ ограничена.

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — конечное пространство с мерой. Для любых измеримых функций $f, g$ на $X$ определим

Докажите, что $d$ обладает всеми свойствами расстояния, за исключением того, что $d(f, g)=0$ не влечёт $f=g$.

Упражнение 7.2.34 мотивирует построение метрического пространства $M(X, \mu )$, элементами которого являются классы эквивалентности измеримых функций. ( $f \sim g$ тогда и только тогда, когда $d(f, g)=0$.) Если предположить, что ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — конечное пространство с мерой, то это действительно метрическое пространство. В упражнениях 7.2.35–7.2.38 мы изучим некоторые его свойства.

Докажите, что сходимость в пространстве $M(X, \mu )$ эквивалентна сходимости по мере.

Докажите, что пространство $M(X, \mu )$ полно.

Докажите, что функция

задаёт другую метрику в пространстве $M(X, \mu )$ и что сходимость в пространстве $M(X, \mu )$ относительно $\rho$ эквивалентна сходимости по мере.

Докажите, что единственное непрерывное линейное отображение $F: M(X, \mu ) \rightarrow \mathbb {R}$ — нулевое отображение.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой. Докажите или опровергните: последовательность вещественнозначных измеримых функций $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится по мере к $f$ тогда и только тогда, когда

Предположим, что каждая точка в $[0,1]$ принадлежит по крайней мере $k$ множествам семейства лебегово измеримых множеств $\left\{ E_{k}\right\}_{k=1}^{N}$. Докажите, что для некоторого $n \in \left\{ 1,2, \ldots , N\right\}$, $m\left(E_{n}\right) \geq k / N$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой. Докажите, что $X$ $\sigma$-конечно тогда и только тогда, когда существует строго положительная вещественнозначная функция $f \in L(X, \mu )$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой и пусть $\left\{ A_{n}\right\} \subset \mathfrak {M}$ таково, что $\sum_{n=1}^{\infty } \mu \left(A_{n}\right)<\infty$. Для каждого $m \in \mathbb {N}$ пусть $B_{m}$ состоит из тех точек $X$, которые принадлежат $A_{n}$ по крайней мере для $m$ различных значений $n$. Докажите, что каждое $B_{m}$ измеримо и что $\mu \left(B_{m}\right) \leq (1 / m) \sum_{n=1}^{\infty } \mu \left(A_{n}\right)$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой и $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность измеримых функций на $X$. Пусть $g$ — неотрицательная функция, интегрируемая на $X$, и $\left|f_{n}\right| \leq g$ почти всюду на $X$, для всех $n \in \mathbb {N}$. Докажите, что каждая $f_{n}$ интегрируема на $X$, и что таковы же нижний и верхний пределы $\left\{ f_{n}\right\}$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — конечное пространство с мерой и пусть $f \in L(X, \mu )$. Пусть $P= \left\{ \ldots , x_{-2}, x_{-1}, x_{0}, x_{1}, x_{2}, \ldots \right\}$ — разбиение $\mathbb {R}$, и пусть $\xi_{k} \in \left[x_{k}, x_{k+1}\right]$. Докажите, что

Докажите, что утверждение упражнения 7.3.2 остаётся верным, если $\mu (X)=\infty$, при условии, что $\xi_{k}=0$ для всех $k$, для которых $0 \in \left[x_{k}, x_{k+1}\right]$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой и пусть $f$ — ограниченная измеримая функция на $X$. Предположим, что существуют константы $A>0$ и $\alpha <1$ такие, что для каждого $\varepsilon >0$,

Докажите, что $f$ интегрируема на $X$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — конечное пространство с мерой и пусть $f$ — измеримая функция на $X$. Предположим, что существуют константы $A>0$ и $\alpha >1$ такие, что для каждого $M>0$,

Докажите, что $f$ интегрируема на $X$.

Предположим, что последовательность мер $\left\{ \mu_{i}\right\}$ на измеримом пространстве ( $X, \mathfrak {M}$ ) сходится к мере $\mu$, то есть для каждого $A \in \mathfrak {M}, \lim \mu_{n}(A)=\mu (A)$. Докажите или опровергните: если $f$ интегрируема относительно каждой $\mu_{n}$, то она интегрируема относительно $\mu$.

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — $\sigma$-конечное пространство с мерой, пусть $f: X \rightarrow \mathbb {R}$ измерима, и предположим, что существует $C>0$ такое, что для каждого множества $E$ конечной меры, $\left|\int_{E} f d \mu \right| \leq C$. Докажите, что $f$ интегрируема на $X$.

Пусть $(\mathbb {R}, \mathfrak {M}, \mu )$ — конечное пространство с мерой, и $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}^{*}$ — измеримая функция. Докажите, что $f \in L(\mathbb {R}, \mu )$ тогда и только тогда, когда

Докажите, что в теореме Егорова предположение, что $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — конечное пространство с мерой, может быть заменено на $\left|f_{n}\right| \leq g$ для всех $n \in \mathbb {N}$, где $g$ интегрируема на $X$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой, пусть $f: X \rightarrow \mathbb {R}$ измерима, и пусть $\left\{ X_{n}\right\}$ — непересекающиеся измеримые множества такие, что $X=\cup_{n=1}^{\infty } X_{n}$. Охарактеризуйте интегрируемость $f$ на $X$ через интегрируемость $f$ на $X_{n}$ и $\int_{X_{n}} f d \mu$.

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с мерой и $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность измеримых функций на $X$. Пусть $g$ — неотрицательная функция, интегрируемая на $X$, и $\left|f_{n}\right| \leq g$ почти всюду на $X$, для всех $n \in \mathbb {N}$. Докажите, что

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой и $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность измеримых функций на $X$, сходящаяся по мере к измеримой функции $f$. Пусть $g$ — функция, интегрируемая на $X$, такая что $f_{n} \geq -g$ для всех $n$. Докажите, что

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — конечное пространство с мерой и пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность интегрируемых функций на $X$, равномерно сходящаяся к функции $f$. Докажите, что

Что если $\mu (X)=\infty$?

Пусть $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ — лебегово интегрируемая функция. Докажите, что существует константа $C_{0}$ такая, что

Докажите, что такая $C_{0}$ единственна, если функция $f$ непрерывна.

Пусть $f:[0,+\infty ) \rightarrow \mathbb {R}$ — непрерывная функция, и предположим, что $\lim_{x \rightarrow +\infty } f(x)=\gamma$. Докажите, что для любого $a>0$,

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с мерой, пусть $\left\{ f_{n}\right\} ,\left\{ g_{n}\right\} , f, g$ — интегрируемые функции на $X$ такие, что $\lim f_{n}=f$ и $\lim g_{n}=g$ почти всюду на $X$. Предположим, что $\left|f_{n}\right| \leq g_{n}$ почти всюду на $X$, для всех $n \in \mathbb {N}$, и что $\lim \int_{X} g_{n} d \mu =\int_{X} g d \mu$. Докажите, что

Пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность интегрируемых функций на $[0,1]$, пусть $f$ — интегрируемая функция на $[0,1]$, и предположим, что $f_{n} \rightarrow f$ почти всюду на $[0,1]$. Докажите, что $\lim_{n \rightarrow \infty } \int_{[0,1]}\left|f-f_{n}\right|=0$ тогда и только тогда, когда $\lim_{n \rightarrow \infty } \int_{[0,1]}\left|f_{n}\right|=\int_{[0,1]}|f|$.

Пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность лебегово измеримых функций на $[0,1]$, сходящаяся к функции $f$ почти всюду, и предположим, что существует $M>0$ такое, что для всех $n \in \mathbb {N},\left|f_{n}\right| \leq M$ почти всюду. Докажите, что последовательность

сходится равномерно к 0 на $[0,1]$.

Пусть $f$ — интегрируемая функция на лебегово измеримом множестве $E \subset \mathbb {R}^{n}$.

Предположим, что $f$ интегрируема на $[0,1]$. Вычислите

Предположим, что $f$ интегрируема на $[0,1]$ и что $\lim_{x \rightarrow 1-} f(x)=A$. Докажите, что

Пусть $X=[0,1], \mathfrak {M}=\mathcal{M} \mid [0,1]$, и $\mu =m \mid [0,1]$. Пусть $f$ интегрируема на $X$. Найдите

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой, пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — возрастающая последовательность интегрируемых функций, и предположим, что $\sup_{n} \int_{X} f_{n} d \mu <\infty$. Докажите, что $f:= \lim_{n} f_{n}$ интегрируема и $\lim_{n} \int_{X} f_{n} d \mu =\int_{X} f d \mu$.

Пусть $\phi : \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ — ограниченная функция класса $C^{1}(\mathbb {R})$ с ограниченной производной, пусть $\phi (0)=0$, и пусть $g$ — функция, интегрируемая на $\mathbb {R}$. Докажите, что

корректно определена и дифференцируема при всех $t \in \mathbb {R}$.

Пусть $f_{n}:[0,1] \rightarrow [0, \infty )$ лебегово интегрируемы при $n=1,2, \ldots$. Предположим, что для каждого $n \in \mathbb {N}$,

Наконец, пусть $g(x)=\sup \left\{ f_{n}(x): n \in \mathbb {N}\right\}$. Докажите, что $\int_{0}^{1} g=\infty$.

Пусть $\left[a_{i j}\right]$ — бесконечная матрица вещественных чисел такая, что $\left|a_{i j}\right| \leq 1$ для всех $i, j \in \mathbb {N}$. Предположим, что предел вдоль каждой строки равен 0, т.е. $\lim_{j \rightarrow \infty } a_{i j}=0$ для всех $i \in \mathbb {N}$. Если $p>1$, докажите, что $\lim_{j \rightarrow \infty } \sum_{i=1}^{\infty } a_{i j} / i^{p}=0$.

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с мерой, пусть $\left\{ f_{n}\right\} , f$ — неотрицательные интегрируемые функции на $X$ такие, что $\lim f_{n}=f$ почти всюду на $X$ и $\lim \int_{X} f_{n} d \mu =\int_{X} f d \mu$. Докажите, что

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой, пусть $f \in L(X, \mu )$, и пусть $A_{n}=\left\{ x \in X: 1 / n \leq |f(x)| \leq n\right\}$, для $n \in \mathbb {N}$. Докажите, что

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой, пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — интегрируемые функции на $X$ такие, что $\sum \int_{X}\left|f_{n}\right|<\infty$. Докажите, что $\sum_{1}^{\infty } f_{n}$ сходится почти всюду к интегрируемой функции, и $\int_{X} \sum_{1}^{\infty } f_{n} d \mu =\sum_{1}^{\infty } \int_{X} f_{n} d \mu$.

Пусть $f:[0,1] \times [0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ — измеримая функция от $x$ и непрерывная функция от $y$, и пусть $g:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ интегрируема на $[0,1]$, удовлетворяя $|f(x, y)| \leq g(x)$ для $(x, y) \in [0,1] \times [0,1]$. Докажите, что $h(y):=\int_{0}^{1} f(x, y) d x$ непрерывна.

Докажите теорему о мажорируемой сходимости при более слабом предположении, что $\lim f_{n}=f$ по мере (вместо почти всюду).

Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}^{*}$ — непрерывная функция, пусть $a \in \mathbb {R}$, и пусть

Докажите, что

Пусть $\delta_{0}$ — мера Дирака на $\mathbb {R}$, сосредоточенная в точке $x=0$, и пусть $f$ — функция на $\mathbb {R}$. Вычислите

Пусть $f$ — лебегово интегрируемая функция на $\mathbb {R}$, и предположим, что $\int_{E} f=$ 0 для каждого измеримого множества $E \subset \mathbb {R}$ с $m(E)=\pi$. Докажите или опровергните: $f=0$ почти всюду.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой, пусть $f: X \rightarrow \mathbb {R}$ измерима, и пусть $F$ — замкнутое подмножество $\mathbb {R}$ такое, что для каждого измеримого множества $E$ положительной меры

Докажите, что $\mu \left\{ x \in X: f(x) \notin F\right\} =0$.

Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ — измеримая функция, и пусть $a, b \in \mathbb {R}, a \neq 0$. Докажите, что

Пусть $a, b, c \in \mathbb {R}$ удовлетворяют $a<b$ и $c>0$, и пусть $f$ интегрируема на $[a+c, b+c]$. Докажите, что $\int_{a}^{b} f(x+c) d x=\int_{a+c}^{b+c} f(x) d x$.

Пусть $(\mathbb {R}, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с мерой, и для каждой функции $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}^{*}$ и $a \in \mathbb {R}$ пусть $f_{a}(x)=f(x-a)$. Докажите, что $\mu$ инвариантна относительно сдвигов тогда и только тогда, когда для каждой $f \in L(\mathbb {R}, \mu )$ и каждого $a \in \mathbb {R}$ функция $f_{a}$ принадлежит $L(\mathbb {R}, \mu )$ и $\int_{\mathbb {R}} f d \mu =\int_{\mathbb {R}} f_{a} d \mu$.