Вычисление интеграла Лебега

Докажите, что характеристическая функция канторовского множества риманово интегрируема на $[0,1]$.

Пусть $F$ — замкнутое подмножество $[0,1]$, лебегова мера которого равна 0. Докажите, что характеристическая функция $F$ риманово интегрируема на $[0,1]$.

Приведите пример функций $f, g:[0,1] \rightarrow [0,1]$ таких, что $f$ непрерывна, $g$ риманово интегрируема, но $g \circ f$ не является риманово интегрируемой.

Приведите пример ограниченной, лебегово интегрируемой функции $f:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$, для которой не существует риманово интегрируемой функции $g:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$, равной $f$ почти всюду.

Пусть $f, g$ — функции на $[a, b]$, обе риманово интегрируемые на $[a, b]$. Докажите, что их произведение риманово интегрируемо на $[a, b]$.

Приведите пример возрастающей последовательности риманово интегрируемых функций на $[0,1]$, сходящейся к функции, которая не является риманово интегрируемой.

Докажите, что интеграл Римана и интеграл Лебега ступенчатой функции равны.

Докажите теорему 7.4.8.

Теорема 7.4.8: Пусть $f$ — неотрицательная функция на $(a, +\infty )$ такая, что $f$ риманово интегрируема на каждом интервале $(a,b)$, и несобственный интеграл Римана от $f$ по $(a, +\infty )$ сходится. Тогда $f$ лебегово интегрируема на $(a, +\infty )$, и её интеграл Лебега равен несобственному интегралу Римана от $f$.

Пусть $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ риманово интегрируема на каждом интервале $\left[a^{\prime }, b\right] \subset [a, b]$, и несобственный интеграл Римана от $f$ по $[a, b]$ сходится абсолютно. Докажите, что $f$ лебегово интегрируема на $[a, b]$.

Пусть $f:(a,+\infty ) \rightarrow \mathbb {R}$ риманово интегрируема на каждом интервале $(a, b)$, и несобственный интеграл Римана от $f$ по ( $a,+\infty$ ) сходится абсолютно. Докажите, что $f$ лебегово интегрируема на ( $a,+\infty$ ).

Пусть $f:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна на $(0,1]$ и лебегово интегрируема на $[0,1]$. Докажите, что несобственный интеграл Римана от $f$ по $[0,1]$ сходится абсолютно.

Приведите пример функции $f: \mathbb {R}^{2} \rightarrow \mathbb {R}$ и двух последовательностей прямоугольников $\left\{ R_{k}\right\}_{k=1}^{\infty }$ и $\left\{ S_{k}\right\}_{k=1}^{\infty }$ таких, что

Пусть $f:(a,+\infty ) \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна на каждом конечном интервале ( $a, b$ ) и лебегово интегрируема на $(a,+\infty )$. Докажите, что несобственный интеграл Римана от $f$ по ( $a,+\infty$ ) сходится абсолютно.

Пусть

Докажите, что несобственный интеграл Римана по $[0,+\infty )$ существует, но интеграл Лебега — нет.

Пусть $f:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ неотрицательна и непрерывна на ( 0,1 ], и предположим, что

существует. Докажите или опровергните: $f$ интегрируема на $[0,1]$. Что если отбросить предположение о неотрицательности?

Пусть $f$ — функция на $[a, b]$ такая, что $f$ риманово интегрируема на каждом интервале $\left[a^{\prime }, b\right] \subset (a, b]$, и несобственный интеграл Римана от $f$ по $[a, b]$ сходится. Предположим, что $f$ также лебегово интегрируема на $[a, b]$. Докажите, что несобственный интеграл Римана от $f$ и интеграл Лебега от $f$ по $[a, b]$ равны.

Приведите пример ограниченной функции $f$ на $[0,+\infty )$, несобственный интеграл Римана которой сходится, но $|f|^{p}$ не является лебегово интегрируемой ни при каком $p \geq 1$.

Пусть $f, g:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ и пусть $h=\max \left\{ f, g\right\}$. Для какого типа интеграла (Римана или Лебега, собственного или несобственного) интегрируемость $f$ и $g$ влечёт интегрируемость $h$?

Вычислите

Найдите

Найдите

Найдите

Вычислите

Вычислите

Приведите пример функции $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, дифференцируемой на $\mathbb {R}$, но чья производная не является лебегово интегрируемой на $\mathbb {R}$.

Найдите сумму ряда

Найдите

и тщательно докажите, что ваш результат верен.

Пусть $\left\{ r_{k}\right\}$ обозначает все рациональные числа в $[0,1]$, и пусть $\left\{ a_{k}\right\}$ — последовательность вещественных чисел такая, что $\sum \left|a_{k}\right|$ сходится. Докажите, что $\sum a_{k} / \sqrt{\left|x-r_{k}\right|}$ сходится абсолютно почти всюду на $[0,1]$.

Пусть $f(x)=1 / \sqrt{x}$, если $0<x<1$, и $f(x)=0$ в остальных случаях, пусть $\left\{ r_{k}\right\}$ обозначает все рациональные числа, и пусть $g(x)=\sum_{n=1}^{\infty } f\left(x-r_{n}\right) / 2^{n}$. Докажите, что:

Найдите

Покажите, что $f(x)=\sin x / x$ не является лебегово интегрируемой на $(0,+\infty )$, хотя несобственный интеграл Римана существует.

Пусть $f$ — функция на $[a, b]$ такая, что $f$ риманово интегрируема на каждом интервале $\left[a^{\prime }, b\right] \subset (a, b]$, и несобственный интеграл Римана от $f$ по $[a, b]$ не сходится. Докажите, что $f$ не является лебегово интегрируемой на $[a, b]$.

Пусть $f$ — функция на ( $a,+\infty$ ) такая, что $f$ риманово интегрируема на каждом интервале ( $a, b$ ), и несобственный интеграл Римана от $f$ по ( $a,+\infty$ ) не сходится. Докажите, что $f$ не является лебегово интегрируемой на ( $a,+\infty$ ).

Докажите, что

Найдите

и тщательно докажите, что ваш результат верен.

Пусть $f(x)=x^{\alpha } \sin \left(x^{\beta }\right)$.

Чему равен интеграл Лебега функции $f(x)=x^{2}$ по $[0,1] \backslash C$, где $C$ — канторовское множество?

В упражнениях 7.4.38–7.4.39 найдите интеграл Лебега $\int_{0}^{\pi / 2} f$:

В упражнениях 7.4.38–7.4.39 найдите интеграл Лебега $\int_{0}^{\pi / 2} f$:

Найдите интеграл Лебега

по единичному квадрату $[0,1] \times [0,1]$.

Найдите интеграл Лебега

Пусть $f$ — функция, определённая на $[0,1]$, интегрируемая на $[0,1]$, дифференцируемая в точке $x=0$, и $f(0)=0$. Пусть

Докажите, что $g$ интегрируема на $[0,1]$.

Приведите пример того, что теорема о монотонной сходимости не выполняется без предположения, что каждая $f_{n}$ неотрицательна.