Интеграл вещественнозначной функции

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой и $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность измеримых функций на $X$. Пусть $g$ — неотрицательная функция, интегрируемая на $X$, и $\left|f_{n}\right| \leq g$ почти всюду на $X$, для всех $n \in \mathbb {N}$. Докажите, что каждая $f_{n}$ интегрируема на $X$, и что таковы же нижний и верхний пределы $\left\{ f_{n}\right\}$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — конечное пространство с мерой и пусть $f \in L(X, \mu )$. Пусть $P= \left\{ \ldots , x_{-2}, x_{-1}, x_{0}, x_{1}, x_{2}, \ldots \right\}$ — разбиение $\mathbb {R}$, и пусть $\xi_{k} \in \left[x_{k}, x_{k+1}\right]$. Докажите, что

Докажите, что утверждение упражнения 7.3.2 остаётся верным, если $\mu (X)=\infty$, при условии, что $\xi_{k}=0$ для всех $k$, для которых $0 \in \left[x_{k}, x_{k+1}\right]$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой и пусть $f$ — ограниченная измеримая функция на $X$. Предположим, что существуют константы $A>0$ и $\alpha <1$ такие, что для каждого $\varepsilon >0$,

Докажите, что $f$ интегрируема на $X$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — конечное пространство с мерой и пусть $f$ — измеримая функция на $X$. Предположим, что существуют константы $A>0$ и $\alpha >1$ такие, что для каждого $M>0$,

Докажите, что $f$ интегрируема на $X$.

Предположим, что последовательность мер $\left\{ \mu_{i}\right\}$ на измеримом пространстве ( $X, \mathfrak {M}$ ) сходится к мере $\mu$, то есть для каждого $A \in \mathfrak {M}, \lim \mu_{n}(A)=\mu (A)$. Докажите или опровергните: если $f$ интегрируема относительно каждой $\mu_{n}$, то она интегрируема относительно $\mu$.

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — $\sigma$-конечное пространство с мерой, пусть $f: X \rightarrow \mathbb {R}$ измерима, и предположим, что существует $C>0$ такое, что для каждого множества $E$ конечной меры, $\left|\int_{E} f d \mu \right| \leq C$. Докажите, что $f$ интегрируема на $X$.

Пусть $(\mathbb {R}, \mathfrak {M}, \mu )$ — конечное пространство с мерой, и $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}^{*}$ — измеримая функция. Докажите, что $f \in L(\mathbb {R}, \mu )$ тогда и только тогда, когда

Докажите, что в теореме Егорова предположение, что $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — конечное пространство с мерой, может быть заменено на $\left|f_{n}\right| \leq g$ для всех $n \in \mathbb {N}$, где $g$ интегрируема на $X$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой, пусть $f: X \rightarrow \mathbb {R}$ измерима, и пусть $\left\{ X_{n}\right\}$ — непересекающиеся измеримые множества такие, что $X=\cup_{n=1}^{\infty } X_{n}$. Охарактеризуйте интегрируемость $f$ на $X$ через интегрируемость $f$ на $X_{n}$ и $\int_{X_{n}} f d \mu$.

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с мерой и $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность измеримых функций на $X$. Пусть $g$ — неотрицательная функция, интегрируемая на $X$, и $\left|f_{n}\right| \leq g$ почти всюду на $X$, для всех $n \in \mathbb {N}$. Докажите, что

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой и $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность измеримых функций на $X$, сходящаяся по мере к измеримой функции $f$. Пусть $g$ — функция, интегрируемая на $X$, такая что $f_{n} \geq -g$ для всех $n$. Докажите, что

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — конечное пространство с мерой и пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность интегрируемых функций на $X$, равномерно сходящаяся к функции $f$. Докажите, что

Что если $\mu (X)=\infty$?

Пусть $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ — лебегово интегрируемая функция. Докажите, что существует константа $C_{0}$ такая, что

Докажите, что такая $C_{0}$ единственна, если функция $f$ непрерывна.

Пусть $f:[0,+\infty ) \rightarrow \mathbb {R}$ — непрерывная функция, и предположим, что $\lim_{x \rightarrow +\infty } f(x)=\gamma$. Докажите, что для любого $a>0$,

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с мерой, пусть $\left\{ f_{n}\right\} ,\left\{ g_{n}\right\} , f, g$ — интегрируемые функции на $X$ такие, что $\lim f_{n}=f$ и $\lim g_{n}=g$ почти всюду на $X$. Предположим, что $\left|f_{n}\right| \leq g_{n}$ почти всюду на $X$, для всех $n \in \mathbb {N}$, и что $\lim \int_{X} g_{n} d \mu =\int_{X} g d \mu$. Докажите, что

Пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность интегрируемых функций на $[0,1]$, пусть $f$ — интегрируемая функция на $[0,1]$, и предположим, что $f_{n} \rightarrow f$ почти всюду на $[0,1]$. Докажите, что $\lim_{n \rightarrow \infty } \int_{[0,1]}\left|f-f_{n}\right|=0$ тогда и только тогда, когда $\lim_{n \rightarrow \infty } \int_{[0,1]}\left|f_{n}\right|=\int_{[0,1]}|f|$.

Пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность лебегово измеримых функций на $[0,1]$, сходящаяся к функции $f$ почти всюду, и предположим, что существует $M>0$ такое, что для всех $n \in \mathbb {N},\left|f_{n}\right| \leq M$ почти всюду. Докажите, что последовательность

сходится равномерно к 0 на $[0,1]$.

Пусть $f$ — интегрируемая функция на лебегово измеримом множестве $E \subset \mathbb {R}^{n}$.

Предположим, что $f$ интегрируема на $[0,1]$. Вычислите

Предположим, что $f$ интегрируема на $[0,1]$ и что $\lim_{x \rightarrow 1-} f(x)=A$. Докажите, что

Пусть $X=[0,1], \mathfrak {M}=\mathcal{M} \mid [0,1]$, и $\mu =m \mid [0,1]$. Пусть $f$ интегрируема на $X$. Найдите

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой, пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — возрастающая последовательность интегрируемых функций, и предположим, что $\sup_{n} \int_{X} f_{n} d \mu <\infty$. Докажите, что $f:= \lim_{n} f_{n}$ интегрируема и $\lim_{n} \int_{X} f_{n} d \mu =\int_{X} f d \mu$.

Пусть $\phi : \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ — ограниченная функция класса $C^{1}(\mathbb {R})$ с ограниченной производной, пусть $\phi (0)=0$, и пусть $g$ — функция, интегрируемая на $\mathbb {R}$. Докажите, что

корректно определена и дифференцируема при всех $t \in \mathbb {R}$.

Пусть $f_{n}:[0,1] \rightarrow [0, \infty )$ лебегово интегрируемы при $n=1,2, \ldots$. Предположим, что для каждого $n \in \mathbb {N}$,

Наконец, пусть $g(x)=\sup \left\{ f_{n}(x): n \in \mathbb {N}\right\}$. Докажите, что $\int_{0}^{1} g=\infty$.

Пусть $\left[a_{i j}\right]$ — бесконечная матрица вещественных чисел такая, что $\left|a_{i j}\right| \leq 1$ для всех $i, j \in \mathbb {N}$. Предположим, что предел вдоль каждой строки равен 0, т.е. $\lim_{j \rightarrow \infty } a_{i j}=0$ для всех $i \in \mathbb {N}$. Если $p>1$, докажите, что $\lim_{j \rightarrow \infty } \sum_{i=1}^{\infty } a_{i j} / i^{p}=0$.

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с мерой, пусть $\left\{ f_{n}\right\} , f$ — неотрицательные интегрируемые функции на $X$ такие, что $\lim f_{n}=f$ почти всюду на $X$ и $\lim \int_{X} f_{n} d \mu =\int_{X} f d \mu$. Докажите, что

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой, пусть $f \in L(X, \mu )$, и пусть $A_{n}=\left\{ x \in X: 1 / n \leq |f(x)| \leq n\right\}$, для $n \in \mathbb {N}$. Докажите, что

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой, пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — интегрируемые функции на $X$ такие, что $\sum \int_{X}\left|f_{n}\right|<\infty$. Докажите, что $\sum_{1}^{\infty } f_{n}$ сходится почти всюду к интегрируемой функции, и $\int_{X} \sum_{1}^{\infty } f_{n} d \mu =\sum_{1}^{\infty } \int_{X} f_{n} d \mu$.

Пусть $f:[0,1] \times [0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ — измеримая функция от $x$ и непрерывная функция от $y$, и пусть $g:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ интегрируема на $[0,1]$, удовлетворяя $|f(x, y)| \leq g(x)$ для $(x, y) \in [0,1] \times [0,1]$. Докажите, что $h(y):=\int_{0}^{1} f(x, y) d x$ непрерывна.

Докажите теорему о мажорируемой сходимости при более слабом предположении, что $\lim f_{n}=f$ по мере (вместо почти всюду).

Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}^{*}$ — непрерывная функция, пусть $a \in \mathbb {R}$, и пусть

Докажите, что

Пусть $\delta_{0}$ — мера Дирака на $\mathbb {R}$, сосредоточенная в точке $x=0$, и пусть $f$ — функция на $\mathbb {R}$. Вычислите

Пусть $f$ — лебегово интегрируемая функция на $\mathbb {R}$, и предположим, что $\int_{E} f=$ 0 для каждого измеримого множества $E \subset \mathbb {R}$ с $m(E)=\pi$. Докажите или опровергните: $f=0$ почти всюду.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой, пусть $f: X \rightarrow \mathbb {R}$ измерима, и пусть $F$ — замкнутое подмножество $\mathbb {R}$ такое, что для каждого измеримого множества $E$ положительной меры

Докажите, что $\mu \left\{ x \in X: f(x) \notin F\right\} =0$.

Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ — измеримая функция, и пусть $a, b \in \mathbb {R}, a \neq 0$. Докажите, что

Пусть $a, b, c \in \mathbb {R}$ удовлетворяют $a<b$ и $c>0$, и пусть $f$ интегрируема на $[a+c, b+c]$. Докажите, что $\int_{a}^{b} f(x+c) d x=\int_{a+c}^{b+c} f(x) d x$.

Пусть $(\mathbb {R}, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с мерой, и для каждой функции $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}^{*}$ и $a \in \mathbb {R}$ пусть $f_{a}(x)=f(x-a)$. Докажите, что $\mu$ инвариантна относительно сдвигов тогда и только тогда, когда для каждой $f \in L(\mathbb {R}, \mu )$ и каждого $a \in \mathbb {R}$ функция $f_{a}$ принадлежит $L(\mathbb {R}, \mu )$ и $\int_{\mathbb {R}} f d \mu =\int_{\mathbb {R}} f_{a} d \mu$.

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с мерой, пусть $f, g \in L(X, \mu )$, и для $E \in \mathfrak {M}$ определим $\lambda (E)=\int_{E} f d \mu , \nu (E)=\int_{E} g d \mu , \omega (E)=\int_{E} \max \left\{ f, g\right\} d \mu , \rho (E)= \int_{E} \min \left\{ f, g\right\} d \mu$. Докажите, что $\omega =\lambda \vee \nu$ и $\rho =\lambda \wedge \nu$. (См. (5.17).)

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с мерой, пусть $f: X \rightarrow \mathbb {R}^{*}$ — измеримая функция, и предположим, что $f=g+h$, где $g \in L(X, \mu )$ конечна и $h \geq 0$ на $X$. Если мы определим $\int_{X} f d \mu =\int_{X} g d \mu +\int_{X} h d \mu$, докажите, что это определение не зависит от конкретного выбора конечной интегрируемой функции $g$ и неотрицательной функции $h$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой, пусть $f: X \rightarrow \mathbb {R}$ — ограниченная функция, обращающаяся в нуль вне множества конечной меры, и предположим, что

Докажите, что $f$ измерима относительно пополнения $(X, \mathfrak {M}, \mu )$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой, и пусть $f$ — функция, интегрируемая на $X$, и пусть $\nu$ — знакопеременная мера, определённая как

Докажите, что

Пусть $X=[0,2 \pi ], \mathfrak {M}=\mathcal{M}_{[0,2 \pi ]}$, и $\mu =m \mid [0,2 \pi ]$. Определим знакопеременную меру $\nu$ на измеримом пространстве ( $X, \mathfrak {M}$ ) как

Пусть $C=[4 \pi / 3,5 \pi / 3]$ и $\varepsilon >0$. Найдите измеримое множество $C^{\prime } \subset C$ такое, что $\nu \left(C^{\prime }\right) \geq \nu (C)$ и $\nu (E)>-\varepsilon$ для каждого измеримого подмножества $E$ множества $C^{\prime }$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой и пусть ( $X, \mathfrak {M}_{0}, \mu_{0}$ ) — его пополнение. Если $f$ — функция из $L(X, \mu )$, докажите, что $f \in L\left(X, \mu_{0}\right)$ и что $\int_{X} f d \mu =\int_{X} f d \mu_{0}$. Более того, если $f \in L\left(X, \mu_{0}\right)$, то существует $\mathfrak {M}$-измеримая функция $g$ такая, что $g=f$ почти всюду $[\mu ]$ и $\int_{X} g d \mu =\int_{X} g d \mu_{0}$.