Избранные задачи по вещественному анализу

Глава I

Введение

[107/91%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

Содержание

I.1 · Множества

I.2 · Неравенства

I.3 · Иррациональность

I.1 · Множества[41/93%]

Задача I.1.1

На балу присутствует равное число юношей и девушек. Известно, что для любой группы юношей найдётся по крайней мере столько же девушек, каждая из которых имеет знакомого в этой группе. Можно ли составить пары из знакомых друг с другом партнёров так, чтобы танцевали все участники бала?

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача I.1.2

Пусть последовательность $\left\{ r_{n}\right\}$ определена следующим образом:

r_{1}=1, \quad r_{2 k}=1+r_{k}, \quad r_{2 k+1}=\frac{1}{r_{2 k}} \quad (k \in \mathbb {N}) .

Докажите, что отображение $n \mapsto r_{n}$ есть биекция множества $\mathbb {N}$ на множество $\mathbb {Q}_{+}=\mathbb {Q} \cap (0,+\infty )$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача I.1.3

Докажите, что на плоскости можно расположить континуум попарно непересекающихся пятёрок, но лишь не более чем счётное множество восьмёрок (рис. 1 и 2).

Рис. 1

Рис. 2

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача I.1.4

Птичьим следом будем называть множество на плоскости, являющееся объединением трёх (лежащих на различных лучах) отрезков, имеющих общий конец — вершину следа (рис. 3). Докажите, что на плоскости можно расположить лишь не более чем счётное множество попарно непересекающихся птичьих следов.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача I.1.5

Под Т-образной фигурой будем понимать объединение двух взаимно перпендикулярных отрезков, середина одного из которых является концом другого. Оцените сверху число $N$ попарно непересекающихся Т-образных фигур, образованных отрезками единичной длины и содержащихся в квадрате со стороной $a$ .

Рис. 3

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача I.1.6

Докажите, что в пространстве можно расположить лишь не более чем счётное множество попарно непересекающихся «обручей» цилиндрических колец фиксированного радиуса (толщина обручей равна нулю).

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача I.1.7

После проигрыша всех соревнований Балде бесы (которых было бесконечно много) решили заняться физкультурой и организовали спортивные секции. В каждую секцию входило лишь конечное число бесов, но секций было так много, что в любой бесконечной компании бесов можно было указать по крайней мере двух, записавшихся в одну секцию. Докажите, что за исключением конечного числа бесов-лентяев каждый из бесов был записан в бесконечное множество секций.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача I.1.8

(а)(б)

Будем говорить, что последовательность $\left\{ A_{n}\right\}$ конечных подмножеств множества $\mathbb {N}$ густо покрывает $\mathbb {N}$ , если для любого бесконечного множества $B \subset \mathbb {N}$ найдётся такой номер $m$ , что $\operatorname {card}\left(B \cap A_{m}\right) \geqslant 2$ . Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

натуральные числа, принадлежащие лишь конечному числу множеств $A_{n}$ , образуют конечное множество;

(б)

существует такое бесконечное множество $E \subset \mathbb {N}$ , что для любого числа $k \in E$ справедливо включение $E \backslash \bigcup_{n: A_{n} \ni k} A_{n} \subset \left\{ 1, \ldots , k-1\right\}$ .

Задача I.1.9

Докажите, что если $\left\{ A_{n}\right\} ,\left\{ B_{n}\right\}$ - две последовательности конечных множеств, каждая из которых густо покрывает $\mathbb {N}$ (см. задачу 1.8), то найдутся такие номера $p$ и $q$ , что $\operatorname {card}\left(A_{p} \cap B_{q}\right) \geqslant 2$ .

Двоичной последовательностью называется последовательность, «состоящая из нулей и единиц», т. е. последовательность $\varepsilon =\left\{ \varepsilon_{k}\right\}$ , где $\varepsilon_{k}=0$ или 1 при любом $k \in \mathbb {N}$ . Множество всевозможных двоичных последовательностей мы будем обозначать буквой Ξ.

Говоря о множествах, элементами которых, в свою очередь, являются множества, мы будем использовать термин «система множеств».

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача I.1.10

(а)(б)

Пусть $\mathscr {P}(\mathbb {N})$ — система всевозможных подмножеств множества $\mathbb {N}$ . Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

множества $\Xi$ и $\mathscr {P}(\mathbb {N})$ равномощны;

(б)

множества $\Xi$ и $\Xi \times \Xi$ равномощны.

Задача I.1.11

Докажите, что множество Ξ имеет мощность континуума.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача I.1.12

Докажите, что множества $\mathbb {R}^{2}$ и $\mathbb {R}^{3}$ имеют мощность континуума.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача I.1.13

Докажите, что множество $\mathbb {R}^{\mathbb {N}}$ всех последовательностей вещественных чисел имеет мощность континуума.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача I.1.14

Докажите, что множество непрерывных функций, заданных на отрезке $\left[a, b\right]$ , имеет мощность континуума.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача I.1.15

(а)(б)

Существует ли система $\mathfrak {A}$ подмножеств множества $\mathbb {N}$ , удовлетворяющая условиям:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\mathfrak {A}$ имеет мощность континуума;

(б)

$\operatorname {card}(A \cap B)<+\infty$ для любых $A, B \in \mathfrak {A}, A \neq B$ ?

Задача I.1.16

(а)(б)

Существует ли система $\mathfrak {A}$ подмножеств множества $\mathbb {N}$ , удовлетворяющая условиям:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\mathfrak {A}$ имеет мощность континуума;

(б)

для любого числа $t$ и любых различных множеств $A, B \in \mathfrak {A}$ неравенство $\left|a-b\right|<t$ справедливо лишь для конечного числа точек $a \in A, b \in B$ ?

Задача I.1.17

(а)(б)

Существует ли система $\mathfrak {A}$ подмножеств множества $\mathbb {N}$ , удовлетворяющая условиям:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\mathfrak {A}$ имеет мощность континуума;

(б)

система $\mathfrak {A}$ линейно упорядочена по включению, т.е. из любых двух множеств, входящих в $\mathfrak {A}$ , одно содержится в другом?

Задача I.1.18

(а)(б)

Пусть $\mathscr {F}(\mathbb {N})=\left\{ A \subset \mathbb {N} \mid \operatorname {card}(A)<+\infty \right\}$ — система всех конечных подмножеств множества $\mathbb {N}$ . Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

система $\mathscr {F}(\mathbb {N})$ счётна;

(б)

существует такая биекция $\varphi : \mathscr {F}(\mathbb {N}) \rightarrow \mathbb {N}$ , что $\varphi (A) \leqslant \varphi (B)$ , если $A \subset B(A, B \in \mathscr {F}(\mathbb {N}))$ .

Задача I.1.19

(а)(б)

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

Введём в множестве $\mathbb {R}_{+}=(0,+\infty )$ отношение эквивалентности, считая, что $x \sim y$ , если $\frac{x}{y} \in \mathbb {Q}$ . Докажите, что пересечение каждого класса эквивалентности с любым (непустым) содержащимся в $\mathbb {R}_{+}$ интервалом непусто.

(б)

Введём на окружности $S^{1}=\left\{ z \in \mathbb {C} \mid \left|z\right|=1\right\}$ отношение эквивалентности, считая, что $z \sim \xi$ , если $\frac{z}{\xi }=e^{2 \pi i \theta }$ , где $\theta \in \mathbb {Q}$ . Докажите, что множество предельных точек любого класса эквивалентности совпадает с $S^{1}$ .

Задача I.1.20

Пусть $S^{1}=\left\{ z \in \mathbb {C} \mid \left|z\right|=1\right\}$ . Множества $A, B \subset S^{1}$ называются конгруэнтными, если существует такое число $\alpha \in \mathbb {R}$ , что $B=\left\{ z e^{i \alpha } \mid z \in A\right\}$ , т.е. «множество $B$ получается из множества $A$ поворотом на угол $\alpha$ ». Докажите, что существует такая последовательность $\left\{ E_{n}\right\}$ попарно непересекающихся конгруэнтных множеств, что $S^{1}=\bigcup_{n \geqslant 1} E_{n}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача I.1.21

(а)(б)

Пусть $E \subset \mathbb {R}$ и $\frac{x+y}{2} . \in E$ для любых $x, y \in E$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

Верно ли, что $E \supset [500,1500]$ , если $E \supset [0,1]$ и $2001 \in E$ ?

(б)

Докажите, что если $\operatorname {Int}(E) \neq \varnothing$ , то $E$ — промежуток.

Задача I.1.22

(а)(б)(в)(г)

Найдите все предельные точки множеств

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\left\{ n^{-1}+m^{-1} \mid m, n \in \mathbb {N}\right\}$ ;

(б)

$\left\{ m+n \sqrt{2} \mid m, n \in \mathbb {Z}\right\}$ ;

(в)

$\left\{ \sqrt{m}-\sqrt{n} \mid m, n \in \mathbb {N}\right\}$ ;

(г)

$\left\{ \left.\frac{\sqrt{m}-\sqrt{n}}{\sqrt{m}+\sqrt{n}} \right\rvert \, m, n \in \mathbb {N}\right\}$ .

Задача I.1.23

Пусть $E \subset \mathbb {R}_{+}, E \neq \varnothing$ . Докажите, что если $\sqrt{x^{2}+y^{2}} \in E$ и $\frac{x}{2} \in E$ для любых $x, y \in E$ , то $\bar{E}=[0,+\infty )$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача I.1.24

(а)(б)

Пусть $E \subset \mathbb {R}^{2}$ . Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

если семейство открытых кругов $\left\{ B_{\alpha }\right\}_{\alpha \in A}$ таково, что $E \subset \bigcup_{\alpha \in A} B_{\alpha }$ , то существует такое не более чем счётное множество $A_{0} \subset A$ , что $E \subset \bigcup_{\alpha \in A_{0}} B_{\alpha }$ ;

(б)

существует не более чем счётное подмножество множества $E$ , замыкание которого содержит $E$ .

Задача I.1.25

(а)(б)

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

Множество называется дискретным, если любая его точка — изолированная. Докажите, что всякое дискретное множество на плоскости не более чем счётно, а его замыкание не может иметь внутренних точек.

(б)

Точку $a$ множества $E \subset \mathbb {R}$ будем называть полуизолированной, если существует такое $\varepsilon >0$ , что по крайней мере один из интервалов $(a-\varepsilon , a),(a, a+\varepsilon )$ не содержит точек множества $E$ . Докажите, что множество полуизолированных точек любого множества $E \subset \mathbb {R}$ не более чем счётно.

Задача I.1.26

Пусть $E \subset \mathbb {N}, \operatorname {card} E=+\infty$ . Докажите существование такого числа $a>1$ , что бесконечно много чисел $\left[a^{k}\right](k \in \mathbb {N})$ содержится в $E$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача I.1.27

Пусть $G$ — открытое, не ограниченное сверху множество в $\mathbb {R}$ . Существует ли такое положительное число $x_{0}$ , что множество $G$ содержит бесконечно много точек вида $n x_{0}(n \in \mathbb {N})$ ?

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача I.1.28

Пусть $\left\{ G_{m}\right\}$ — последовательность открытых, не ограниченных сверху подмножеств множества $\mathbb {R}$ . Докажите, что существует такое число $x_{0}>0$ , что каждое множество $G_{m}$ содержит бесконечно много точек вида $n x_{0}(n \in \mathbb {N})$ .

В задачах $1.29-1.34$ изучаются канторово множество и его обобщения. Эти множества часто встречаются в анализе и теории функций. Классическое канторово множество $C$ можно кратко описать следующим образом. Оно получается удалением из промежутка $\left[0,1\right]$ счётного семейства интервалов. Сначала выбрасывается один интервал — центральная треть исходного промежутка $\left[0,1\right]$ (т.е. $\left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right)$ ), затем из оставшихся двух сегментов удаляются их центральные трети и т.д. Точки из $\left[0,1\right]$ , не попавшие ни в один из удаляемых интервалов, образуют канторово множество $C$ .

Рассмотрим подробнее обобщение описанной конструкции (вводимые при этом обозначения будут в дальнейшем неоднократно использоваться). Пусть $\Delta =\left[a, b\right]$ — произвольный невырожденный сегмент. Множество $K_{1}$ получается удалением из $\Delta$ непустого интервала $\delta =(p, q)$ , концы которого не совпадают с $a$ и $b$ . Иными словами, $K_{1}$ есть объединение двух невырожденных сегментов $\Delta_{0}=\left[a, p\right]$ и $\Delta_{1}=\left[q, b\right]$ , которые мы будем называть сегментами первого ранга. Множество $K_{2}$ получается после удаления из сегментов $\Delta_{0}$ и $\Delta_{1}$ интервалов $\delta_{0}, \delta_{1}$ , концы которых не совпадают с концами $\Delta_{0}$ и $\Delta_{1}$ соответственно. Разность $\Delta_{\varepsilon } \backslash \delta_{\varepsilon }(\varepsilon =0,1)$ состоит из двух невырожденных сегментов, из которых левый мы обозначим $\Delta_{\varepsilon 0}$ , а правый — $\Delta_{\varepsilon 1}$ . Таким образом, $K_{2}$ есть объединение четырёх сегментов $\Delta_{00}, \Delta_{01}, \Delta_{10}, \Delta_{11}$ , которые мы будем называть сегментами второго ранга. Дальнейшее построение продолжается по индукции. Пусть построено множество $K_{n}$ , состоящее из сегментов $n$ -го ранга. «Нумерацию» сегментов $n$ -го ранга удобно производить с помощью индексов $\varepsilon_{1}, \ldots , \varepsilon_{n}$ , где $\varepsilon_{j}$ может принимать значение 0 или 1. Индексы сегментов первого и второго рангов уже указаны, дальнейшая индексация производится следующим образом. При построении сегментов $(n+1)$ -го ранга из каждого сегмента $n$ -го ранга $\Delta_{\varepsilon_{1} \ldots \varepsilon_{n}}$ удаляется непустой интервал $\delta_{\varepsilon_{1} \ldots \varepsilon_{n}}$ , концы которого не совпадают с концами сегмента $\Delta_{\varepsilon_{1} \ldots \varepsilon_{n}}$ . Разность $\Delta_{\varepsilon_{1} \ldots \varepsilon_{n}} \backslash \delta_{\varepsilon_{1} \ldots \varepsilon_{n}}$ состоит из двух сегментов $(n+1)$ -го ранга, из которых левый обозначается $\Delta_{\varepsilon_{1} \ldots \varepsilon_{n} 0}$ , а правый — $\Delta_{\varepsilon_{1} \ldots \varepsilon_{n} 1}$ . Множество $K_{n+1}$ есть объединение всех сегментов $(n+1)$ -го ранга. Пусть, наконец, $K=\bigcap_{n \geqslant 1} K_{n}$ . Если множество $K$ не имеет внутренних точек, то оно называется обобщённым канторовым множеством.

Важный пример обобщённого канторова множества мы получим, если длины всех сегментов данного ранга одинаковы. В этом случае длины всех интервалов $\delta_{\varepsilon_{1}, \ldots \varepsilon_{n}}$ (при фиксированном $n$ ) также одинаковы и эти интервалы расположены симметрично относительно середин сегментов $\Delta_{\varepsilon_{1} \ldots \varepsilon_{n}}$ . Такие множества мы будем называть однородными обобщёнными канторовыми множествами. Положим $\left|\Delta \right|=l_{0},\left|\Delta_{\varepsilon_{1} \ldots \varepsilon_{n}}\right|=l_{n}$ , где символ $\left|\omega \right|$ обозначает длину промежутка $\omega$ . Последовательность $\left\{ l_{n}\right\}_{n \geqslant 0}$ будем называть определяющей последовательностью обобщённого однородного канторова множества. Легко видеть, что всякая положительная последовательность $\left\{ l_{n}\right\}_{n} \geqslant 0$ , удовлетворяющая условию $2 l_{n}<l_{n-1}$ при всех $n \in \mathbb {N}$ , может быть определяющей для некоторого обобщённого канторова множества, которое единственно с точностью до конгруэнтности. Если величина $\theta =\frac{l_{n}}{l_{n-1}}$ одна и та же при всех $n \in \mathbb {N}$ , то определяемое последовательностью $\left\{ l_{n}\right\}_{n \geqslant 0}$ обобщённое канторово множество будем называть множеством с постоянным отношением. Очевидно, $\theta$ может быть любым числом из интервала ( $0, \frac{1}{2}$ ). Классическое канторово множество $C$ мы получаем, когда $\Delta =\left[0,1\right]$ и $\theta =\frac{1}{3}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача I.1.29

(а)(б)(в)

Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

множество $C$ имеет мощность континуума;

(б)

множество $C$ замкнуто и не имеет изолированных точек;

(в)

сумма длин интервалов, составляющих множество $\left[0,1\right] \backslash C$ , равна единице.

Задача I.1.30

(а)(б)

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

Докажите, что число $t$ принадлежит $C$ в том и только том случае, когда оно представимо в виде $t=\sum \frac{2 \varepsilon_{j}}{3^{j}}$ , где $\varepsilon_{j}$ равно нулю или единице.

(б)

Опишите множества

C-C=\left\{ s-t \mid s, t \in C\right\} \quad \text{ и } \quad C+C=\left\{ s+t \mid s, t \in C\right\} .

Задача I.1.31

(а)(б)(в)(г)(д)

Пусть $K$ — множество с постоянным отношением $\theta$ , построенное на промежутке $\Delta =\left[0, L\right]$ . Пусть $\varepsilon =\left\{ \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \ldots \right\}$ — произвольная двоичная последовательность, а $t(\varepsilon )$ — единственная точка из пересечения $\bigcap_{n \geqslant 1} \Delta_{\varepsilon_{1} \ldots \varepsilon_{n}}$ . Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\left|\Delta_{\varepsilon_{1} \ldots \varepsilon_{n}}\right|=L \theta^{n}, \quad \left|\delta_{\varepsilon_{1} \ldots \varepsilon_{n}}\right|=L(1-2 \theta ) \theta^{n}$ ;

(б)

левый конец сегмента $\Delta_{\varepsilon_{1} \ldots \varepsilon_{n}}$ равен $L \frac{1-\theta }{\theta } \sum_{1 \leqslant k \leqslant n} \varepsilon_{k} \theta^{k}$ ;

(в)

$t(\varepsilon )=L \frac{1-\theta }{\theta } \sum_{k \geqslant 1} \varepsilon_{k} \theta^{k}$ ;

(г)

интервал $\delta_{\sigma_{1} \ldots \sigma_{n}}$ лежит левее точки $t(\varepsilon )$ тогда и только тогда, когда $\left(\sigma_{1} \ldots \sigma_{n}\right) \prec \varepsilon$ ; последнее означает, что «слова» $\left(\sigma_{1} \ldots \sigma_{n}\right)$ и $\varepsilon$ упорядочиваются по существу лексикографически, точнее: либо найдётся такое натуральное число $m, 1 \leqslant m \leqslant n$ , что $\sigma_{m}=0, \varepsilon_{m}=1$ и $\sigma_{j}=\varepsilon_{j}$ при $j<m$ , либо $\sigma_{j}=\varepsilon_{j}$ при всех $j=1, \ldots , n$ и $\varepsilon_{n+1}=1$ ;

(д)

$t(\varepsilon )=\varepsilon_{1}\left|\delta \right|+\sum_{n \geqslant 1} \sum_{\left(\sigma_{1} \ldots \sigma_{n}\right) \prec \varepsilon }\left|\delta_{\sigma_{1} \ldots \sigma_{n}}\right|$ .

Задача I.1.32

(а)(б)(в)

Рассмотрим множество $K$ , описанное при построении обобщённого канторова множества. Докажите, что оно

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

имеет мощность континуума;

(б)

замкнуто и не имеет изолированных точек;

(в)

является обобщённым канторовым множеством в том и только том случае, когда $L_{n} \rightarrow 0$ , где $L_{n}$ — максимальная длина сегментов n-го ранга.

Задача I.1.33

Докажите, что у любых двух точек однородного обобщённого канторова множества $K$ , не являющихся концами дополнительных интервалов, достаточно малые относительные окрестности конгруэнтны (относительная окрестность точки $x \in K$ есть пересечение $K$ с интервалом, содержащим $x$ ).

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача I.1.34

(а)(б)

Пусть $\nu =\left\{ n_{k}\right\}$ — строго возрастающая последовательность натуральных чисел,

E_{\nu }=\left\{ \sum \varepsilon _{k} 2^{-n_{k}} \mid \varepsilon _{k}=0 \text{ или } 1\right\} .

Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

множество $E_{\nu }$ замкнуто и не имеет изолированных точек;

(б)

эквивалентны следующие утверждения:

$E_{\nu }$ не содержит внутренних точек;
$n_{k+1}>1+n_{k}$ бесконечно много раз;
для любого числа $t \in E_{\nu }$ разложение $t=\sum \varepsilon_{k} 2^{-n_{k}}$ (где $\varepsilon_{k}=0$ или 1) единственно;
$E_{\nu }$ — однородное обобщённое канторово множество.

Какова определяющая последовательность множества $E_{\nu }$ ? Когда $E_{\nu }$ будет множеством с постоянным отношением?

Задача I.1.35

Пусть множество $E \subset \mathbb {R}$ обладает свойством: между любыми двумя его точками найдётся третья точка из этого множества. Обязательно ли замыкание множества $E$ содержит непустой интервал?

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача I.1.36

Постройте на плоскости дискретное множество (см. задачу 1.25), замыкание которого имеет мощность континуума. Существует ли на прямой дискретное множество с таким же свойством?

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача I.1.37

Пусть $\left\{ \Delta_{\varepsilon_{1} \ldots \varepsilon_{n}}\right\}$ , где $n \in \mathbb {N}$ , а $\varepsilon_{j}$ принимают значения 0 или $1$ , — семейство непустых ограниченных открытых промежутков, удовлетворяющих условиям: 1) $\Delta_{\varepsilon_{1} \ldots \varepsilon_{n}} \supset \Delta_{\varepsilon_{1} \ldots \varepsilon_{n} 0} \cup \Delta_{\varepsilon_{1} \ldots \varepsilon_{n} 1}$ ; 2) при каждом $n \in \mathbb {N}$ интервалы $\Delta_{\varepsilon_{1} \ldots \varepsilon_{n}}$ и $\Delta_{\varepsilon_{1}^{\prime } \ldots \varepsilon_{n}^{\prime }}$ не пересекаются, если $\left(\varepsilon_{1} \ldots \varepsilon_{n}\right) \neq \left(\varepsilon_{1}^{\prime } \ldots \varepsilon_{n}^{\prime }\right)$ .

Положим

G_{n}=\bigcup _{\varepsilon _{1}, \ldots , \varepsilon _{n} \in \left\{ 0,1\right\} } \Delta _{\varepsilon _{1} \ldots \varepsilon _{n}}

Докажите, что множество $A=\bigcap_{n \geqslant 1} G_{n}$ имеет мощность континуума.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача I.1.38

Докажите, что непустой интервал нельзя представить в виде объединения последовательности попарно непересекающихся замкнутых множеств.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача I.1.39

Докажите, что плоскость нельзя покрыть семейством замкнутых кругов без общих внутренних точек.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача I.1.40

Пусть объединение множеств $E_{n} \subset \mathbb {R}(n \in \mathbb {N})$ имеет внутреннюю точку. Докажите, что замыкание хотя бы одного множества $E_{n}$ имеет внутреннюю точку.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача I.1.41

Докажите, что множество иррациональных чисел не является объединением последовательности замкнутых множеств.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

I.2 · Неравенства[41/85%]

Задача I.2.1

(а)(б)

Докажите, что для любой конечной последовательности $\left\{ a_{k}\right\}_{k=1}^{n}$ вещественных чисел

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

найдётся такой номер $m \in \left\{ 0,1, \ldots , n\right\}$ , что

\left|\sum _{1 \leqslant k \leqslant m} a_{k}-\sum _{m<k \leqslant n} a_{k}\right| \leqslant \max _{1 \leqslant k \leqslant n}\left|a_{k}\right|

(при $m=0$ считаем, что равна нулю первая сумма, при $m=n$ — вторая);

(б)

справедливо неравенство

\max _{1 \leqslant k \leqslant n}\left|a_{k}\right| \leqslant \frac{1}{2^{n}} \sum _{\varepsilon _{k}= \pm 1}\left|\sum _{1 \leqslant k \leqslant n} \varepsilon _{k} a_{k}\right|

(сумма по всевозможным расстановкам знаков $\varepsilon_{1}, \ldots , \varepsilon_{n}$ ).

Задача I.2.2

Пусть $\left\{ a_{k}\right\}_{k=1}^{n}$ и $\left\{ b_{k}\right\}_{k=1}^{n}$ — конечные неотрицательные последовательности, причём последовательность $\left\{ a_{k}\right\}$ не возрастает; $B=\max_{1 \leqslant k \leqslant n} b_{k}$ . Докажите, что если номера $m, M$ не превосходят $n$ и удовлетворяют неравенству $m B \leqslant \sum_{1 \leqslant k \leqslant n} b_{k} \leqslant M B$ , то

B \sum _{n-m<k \leqslant n} a_{k} \leqslant \sum _{1 \leqslant k \leqslant n} a_{k} b_{k} \leqslant B \sum _{1 \leqslant k \leqslant M} a_{k} .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача I.2.3

(а)(б)

Пусть $\left\{ a_{k}\right\}_{k=1}^{n}$ — конечная последовательность положительных чисел и $M=\max_{1 \leqslant k \leqslant n} a_{k}, m=\min_{1 \leqslant k \leqslant n} a_{k}$ . Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$2 n \sqrt{\frac{m}{M}} \leqslant \sum_{1 \leqslant k \leqslant n} \frac{a_{k}}{M}+\sum_{1 \leqslant k \leqslant n} \frac{m}{a_{k}} \leqslant n\left(1+\frac{m}{M}\right)$ ;

(б)

$n^{2} \leqslant \sum_{1 \leqslant k \leqslant n} a_{k} \sum_{1 \leqslant k \leqslant n} \frac{1}{a_{k}} \leqslant n^{2} \frac{(m+M)^{2}}{4 m M}$ .

Задача I.2.4

Пусть $\left\{ q_{k}\right\}_{k=1}^{n}$ — конечная последовательность чисел, причём $q_{k} \geqslant 1$ для всех $k$ . Докажите неравенство

\sqrt[q_{1}]{1+\sqrt[q_{2}]{1+\ldots +\sqrt[q_{n}]{1}}} \leqslant 1+\frac{1}{q_{1}}+\frac{1}{q_{1} q_{2}}+\ldots +\frac{1}{q_{1} q_{2} \ldots q_{n}} .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача I.2.5

Пусть $\left\{ a_{k}\right\}_{k=1}^{n}$ — конечная последовательность неотрицательных чисел, причём $S=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}<1$ . Докажите неравенства

1+S \leqslant \prod _{1 \leqslant k \leqslant n}\left(1+a_{k}\right) \leqslant \frac{1}{1-\bar{S}}, \quad 1-S \leqslant \prod _{1 \leqslant k \leqslant n}\left(1-a_{k}\right) \leqslant \frac{1}{1+\bar{S}} ;

правые неравенства строгие, если $S>0$ ; левые неравенства строгие, если среди чисел $\left\{ a_{k}\right\}_{k=1}^{n}$ по крайней мере два положительны.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача I.2.6

(а)(б)

Пусть $\left\{ a_{k}\right\}_{k=1}^{n}$ — конечная последовательность вещественных чисел, причём $a_{k}>-1$ при $k=1, \ldots , n$ . Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

если $S=a_{1}+\ldots +a_{n} \geqslant 0$ , то

\prod _{1 \leqslant k \leqslant n}\left(1+a_{k}\right) \leqslant 1+\frac{S}{1!}+\ldots +\frac{S^{n}}{n!} ;

равенство возможно лишь в тех случаях, когда $n=1$ или $a_{1}=a_{2}= =\ldots =a_{n}=0$ ;

(б)

если $\sigma =\frac{a_{1}}{1+a_{1}}+\ldots +\frac{a_{n}}{1+a_{n}} \geqslant 0$ , то

1+\frac{\sigma }{1!}+\ldots +\frac{\sigma ^{n}}{n!} \leqslant \prod _{1 \leqslant k \leqslant n}\left(1+a_{k}\right) ;

равенство возможно лишь в случае, когда $a_{1}=\ldots =a_{n}=0$ .

Задача I.2.7

(а)(б)

Пусть $\left\{ a_{k}\right\}_{k=1}^{n}$ и $\left\{ b_{k}\right\}_{k=1}^{n}$ — конечные последовательности неотрицательных чисел. Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

если $\Delta =\min_{1 \leqslant k \leqslant n}\left(b_{k}-a_{k}\right) \geqslant 0$ , то $\sqrt[n]{b_{1} \ldots b_{n}} \geqslant \Delta +\sqrt[n]{a_{1} \ldots a_{n}}$ ;

(б)

$\sqrt[n]{\left(a_{1}+b_{1}\right) \ldots \left(a_{n}+b_{n}\right)} \geqslant \sqrt[n]{a_{1} \ldots a_{n}}+\sqrt[n]{b_{1} \ldots b_{n}}$ (неравенство Минковского).

Задача I.2.8

Пусть $\left\{ z_{k}\right\}_{k=1}^{n}$ — конечная последовательность комплексных чисел, $S_{n}=\left|z_{1}\right|+\ldots +\left|z_{n}\right|$ и $P_{n}=\left(1+z_{1}\right) \ldots \left(1+z_{n}\right)$ . Докажите, что $\left|P_{n}\right| \leqslant e^{S_{n}}$ и $\left|1-P_{n}\right| \leqslant S_{n} e^{S_{n}}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача I.2.9

Пусть $t, p>0$ . Докажите, что для всех $n \in \mathbb {N}$ выполняются неравенства

\prod _{1 \leqslant k \leqslant n}\left(1+\frac{t}{k^{p}}\right) \leqslant \begin{cases} e^{\frac{t p}{p-1}} & \text{ при } p>1 ; \\ (n e)^{t} & \text{ при } p=1 ; \\ \exp \left(\frac{t}{1-p} n^{1-p}\right) & \text{ при } p<1 .\end{cases}

Для каких $p \leqslant 1$ эти неравенства точны по порядку при неограниченном возрастании $n$ ?

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача I.2.10

(а)(б)

Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\left(\frac{n}{e}\right)^{n}<n!$ при $n \geqslant 1$ ;

(б)

$n!<n\left(\frac{n}{e}\right)^{n}$ при $n \geqslant 11$ .

Из этих неравенств следует, что $n!=\left(\frac{n}{e}\right)^{n} n^{\alpha_{n}}$ , где $\alpha_{n} \in (0,1)$ . Более точные представления факториала рассматриваются в задачах II.2.9 и II.2.10.

В задачах 2.11-2.15 $\left\{ p_{n}\right\}$ — последовательность простых чисел, занумерованных в порядке возрастания ( $p_{1}=2$ ).

Задача I.2.11

(а)(б)

Пусть $s>0$ . Докажите что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\sum_{1 \leqslant m \leqslant p_{n}} \frac{1}{m^{s}}<\left(1-\frac{1}{2^{s}}\right)^{-1}\left(1-\frac{1}{3^{s}}\right)^{-1} \ldots \left(1-\frac{1}{p_{n}^{s}}\right)^{-1}$ ;

(б)

$\sum_{m \geqslant 1} \frac{1}{m^{s}}=\prod_{k \geqslant 1}\left(1-\frac{1}{p_{k}^{s}}\right)^{-1}$ при $s>1$ .

Задача I.2.12

(а)(б)

Докажите, что при $s>1$ выполняются неравенства

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\frac{s-1}{s}<\prod_{k \geqslant 1}\left(1-\frac{1}{p_{k}^{s}}\right)<s-1$ ;

(б)

$-1+\ln \frac{s}{s-1}<\sum_{k \geqslant 1} \frac{1}{p_{k}^{s}}<\ln \frac{s}{s-1}$ .

Задача I.2.13

(а)(б)(в)(г)

Пусть $\pi (n)$ — число простых чисел, не превосходящих числа $n$ . Убедитесь в том, что

n^{\pi (2 n)-\pi (n)}<\prod _{n<p_{k} \leqslant 2 n} p_{k}<C_{2 n}^{n} .

Выведите отсюда, что для всех $n \in \mathbb {N}$ выполняются неравенства

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\sum_{1 \leqslant k \leqslant n} \ln p_{k}<3 p_{n}$ ;

(б)

$\sum_{1 \leqslant k \leqslant n} \frac{\ln p_{k}}{p_{k}}<2 \ln p_{n}$ ;

(в)

$\pi (n)<6 \frac{n}{\ln n}$ ;

(г)

$p_{n}>\frac{n}{6} \ln n$ .

Задача I.2.14

(а)(б)

Пусть $Q_{n}$ — наименьшее общее кратное чисел $n+1, n+2, \ldots$ , $2 n+1$ . Проверьте, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\frac{1}{Q_{n}}<\int_{0}^{1} x^{n}(1-x)^{n} d x<\frac{1}{4^{n}}$ ;

(б)

$Q_{n}<(2 n+1)^{\pi (2 n+1)}$ .

С помощью этих соотношений докажите, что оценки для $\pi (n)$ и $p_{n}$ , полученные в задачах 2.13 в), г), точны по порядку:

\pi (n)>\frac{n}{3 \ln n} \quad \text{ и } \quad p_{n}<12 n \ln n \quad (n=2,3, \ldots ) .

Задача I.2.15

Докажите, что

-1+\ln \ln p_{n}<\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\ldots +\frac{1}{p_{n}}<2+\ln \ln p_{n} .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача I.2.16

(а)(б)

Для конечных последовательностей вещественных чисел $\left\{ a_{k}\right\}_{k=1}^{n}$ и $\left\{ b_{k}\right\}_{k=1}^{n}$ символами $\left\{ \hat{a}_{k}\right\}_{k=1}^{n}$ и $\left\{ \hat{b}_{k}\right\}_{k=1}^{n}$ (соответственно $\left\{ \stackrel{V}{a}_{k}\right\}_{k=1}^{n}$ и $\left\{ \stackrel{V}{b_{k}}\right\}_{k=1}^{n}$ ) обозначим неубывающие (соответственно невозрастающие) перестановки этих последовательностей. Докажите неравенства

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\sum_{1 \leqslant k \leqslant n} \hat{a}_{k} b_{k} \leqslant \sum_{1 \leqslant k \leqslant n} a_{k} b_{k} \leqslant \sum_{1 \leqslant k \leqslant n} \hat{a}_{k} \hat{b}_{k}$ ;

(б)

$\sum_{1 \leqslant k \leqslant n} \hat{a}_{k} \stackrel{\vee }{b}_{k} \leqslant \frac{1}{n} \sum_{1 \leqslant k \leqslant n} a_{k} \sum_{1 \leqslant k \leqslant n} b_{k} \leqslant \sum_{1 \leqslant k \leqslant n} \hat{a}_{k} \hat{b}_{k}$ .

При решении следующих задач может оказаться полезным преобразование Абеля (дискретный аналог формулы интегрирования по частям)

\sum _{1 \leqslant k \leqslant n} a_{k} b_{k}=a_{n} B_{n}+\sum _{1 \leqslant k<n}\left(a_{k}-a_{k+1}\right) B_{k},

где $B_{k}=b_{1}+\ldots +b_{k} \quad (k=1, \ldots , n)$ . Это равенство особенно удобно использовать в тех случаях, когда последовательность $\left\{ a_{k}\right\}$ монотонна.

Задача I.2.17

(а)(б)(в)

Пусть $\left\{ b_{k}\right\}_{k=1}^{n}$ — конечная последовательность вещественных чисел. Докажите, что для любой конечной неотрицательной невозрастающей последовательности $\left\{ a_{k}\right\}_{k=1}^{n}$ выполняются неравенства

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$a_{1} \min_{1 \leqslant k \leqslant n}\left(b_{1}+\ldots +b_{k}\right) \leqslant \sum_{1 \leqslant k \leqslant n} a_{k} b_{k} \leqslant a_{1} \max_{1 \leqslant k \leqslant n}\left(b_{1}+\ldots +b_{k}\right)$ ;

(б)

$\left|\sum_{1 \leqslant k \leqslant n} a_{k} b_{k}\right| \leqslant a_{1} \max_{1 \leqslant k \leqslant n}\left|b_{1}+\ldots +b_{k}\right|$ ;

(в)

$\beta \sum_{1 \leqslant k \leqslant n} a_{k} \leqslant \sum_{1 \leqslant k \leqslant n} a_{k} b_{k} \leqslant B \sum_{1 \leqslant k \leqslant n} a_{k}$ ,

где $\beta =\min_{1 \leqslant k \leqslant n} \frac{b_{1}+\ldots +b_{k}}{k}$ и $B=\max_{1 \leqslant k \leqslant n} \frac{b_{1}+\ldots +b_{k}}{k}$ . При этом множитель $B$ нельзя заменить на меньший, а множитель $\beta$ — на больший.

Задача I.2.18

Пусть $\left\{ a_{k}\right\}_{k=1}^{n}$ — конечная последовательность вещественных чисел. Докажите, что

\frac{\delta ^{2}}{12}\left(n^{2}-1\right) \leqslant \frac{1}{n} \sum _{1 \leqslant k \leqslant n} a_{k}^{2}-\left(\frac{1}{n} \sum _{1 \leqslant k \leqslant n} a_{k}\right)^{2} \leqslant \frac{\Delta ^{2}}{12}\left(n^{2}-1\right),

где $\Delta =\max_{1 \leqslant k<n}\left|a_{k}-a_{k+1}\right|, \delta =\min_{1 \leqslant j<k \leqslant n}\left|a_{k}-a_{j}\right|$ . В каких случаях эти неравенства обращаются в равенства?

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача I.2.19

Пусть $\left\{ a_{k}\right\}_{k=1}^{n}$ — неубывающая выпуклая (или невозрастающая вогнутая) последовательность вещественных чисел. Докажите неравенства

\begin{aligned} & \frac{1}{3 n^{2}} \sum _{1 \leqslant k<n}(n-k)^{3}\left(a_{k+1}-a_{k}\right)^{2} \leqslant \frac{1}{n} \sum _{1 \leqslant k \leqslant n} a_{k}^{2}-\left(\frac{1}{n} \sum _{1 \leqslant k \leqslant n} a_{k}\right)^{2} \leqslant \\ & \leqslant \frac{1}{3 n^{2}} \sum _{1 \leqslant k<n}(k+1)^{3}\left(a_{k+1}-a_{k}\right)^{2} \end{aligned}

Если последовательность $\left\{ a_{k}\right\}_{k=1}^{n}$ не возрастает и выпукла (или не убывает и вогнута), то знаки неравенств следует заменить на противоположные.

В задачах 2.21 и 2.22, посвящённых классическим неравенствам для многочленов, используются многочлены Чебышёва. Поэтому мы предваряем эту тему задачей, в которой изучаются основные свойства этих многочленов. Более подробную информацию можно найти в книге [Па].

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача I.2.20

(а)(б)(в)(г)(д)(е)

Многочленом Чебышёва $T_{n}$ называется многочлен, определяемый на промежутке $\left[-1,1\right]$ равенством

T_{n}(x)=\cos (n \arccos x) \quad (n=0,1,2, \ldots )

(графики $T_{n}$ при $n=1,2,3$ изображены на рис. 4 , при $n=8$ на рис. 5).

Рис. 4

Рис. 5

Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$T_{n}$ — многочлен степени $n$ ;

(б)

при $n \in \mathbb {N}$ старший коэффициент $T_{n}$ равен $2^{n-1}$ ;

(в)

многочлены Чебышёва удовлетворяют рекуррентному соотношению $T_{n+1}(x)=2 x T_{n}(x)-T_{n-1}(x) \quad (n \in \mathbb {N})$ ;

(г)

многочлены Чебышёва удовлетворяют дифференциальному уравнению $\left(1-x^{2}\right) y^{\prime \prime }-x y^{\prime }+n^{2} y=0$ ;

(д)

при $\left|x\right| \geqslant 1$ для многочленов Чебышёва справедливо равенство $T_{n}(x)=\frac{1}{2}\left(\left(x+\sqrt{x^{2}-1}\right)^{n}+\left(x-\sqrt{x^{2}-1}\right)^{n}\right) ;$

(е)

дробь $\frac{1-t x}{1-2 t x+t^{2}}$ является производящей функцией для полиномов Чебышёва, т.е.

\frac{1-t x}{1-2 t x+t^{2}}=\sum _{n \geqslant 0} t^{n} T_{n}(x) \quad \text{ при } \quad x, t \in (-1,1) .

Задача I.2.21

Докажите экстремальное свойство многочленов Чебышёва: если $P$ — алгебраический многочлен степени $n$ (с вещественными или комплексными коэффициентами) и $\left|P(x)\right| \leqslant 1$ для всех $x \in [-1,1]$ , то $\left|P^{(j)}(x)\right| \leqslant \left|T_{n}^{(j)}(x)\right|$ для всех $j=0,1, \ldots , n$ и $x \in \mathbb {R},\left|x\right|>1$ . Неравенство строгое, если $P \neq c T_{n}$ , где $c \in \mathbb {C},\left|c\right|=1$ .

В частности, при $j=0$ получаем $\left|P(x)\right| \leqslant \left|T_{n}(x)\right|$ вне промежутка $\left[-1,1\right]$ , а из неравенства при $j=n$ вытекает, что старший коэффициент многочлена $P$ по абсолютной величине не больше $2^{n-1}$ , причём равенство возможно лишь для $P=c T_{n}$ , где $c \in \mathbb {C},\left|c\right|=1$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача I.2.22

Пусть $P(\varphi )=a_{0}+\sum_{k=1}^{n}\left(a_{k} \cos k \varphi +b_{k} \sin k \varphi \right)$ — тригонометрический многочлен порядка $n$ с вещественными коэффициентами $a_{0}, a_{1}, \ldots , a_{n}$ и $b_{1}, \ldots , b_{n}$ . Положим $M=\max_{\varphi \in \mathbb {R}}\left|P(\varphi )\right|$ . Докажите неравенство Бернштейна:

\left|P^{\prime }(\varphi )\right| \leqslant n M \quad \text{ для всех } \quad \varphi \in \mathbb {R} .

Выведите отсюда неравенство Бернштейна для алгебраических многочленов:

\left|P^{\prime }(x)\right| \leqslant \frac{n M}{\sqrt{1-x^{2}}} \quad \text{ для всех } \quad x \in (-1,1),

где $P$ — алгебраический многочлен степени $n$ с вещественными коэффициентами, $M=\max_{\left|x\right| \leqslant 1}\left|P(x)\right|$ .

В каких случаях эти неравенства обращаются в равенства хотя бы в одной точке?

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача I.2.23

(а)(б)

Пусть $n \in \mathbb {N}$ . Докажите неравенства

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\frac{x^{2}}{n^{2}} e^{-x}<e^{-x}-\left(1-\frac{x}{n}\right)^{n} \leqslant \frac{x^{2}}{n} e^{-x} \quad$ при $x \in [0, n], n>1$ ;

(б)

$\frac{x^{2}}{4 n} e^{-x} \leqslant \left(1+\frac{x}{n}\right)^{-n}-e^{-x} \leqslant \frac{x^{2}}{n} e^{-x}$ при $x \in [0, \sqrt{n}]$ .

Задача I.2.24

Пусть $n \in \mathbb {N}$ и $\varphi_{n}(x)=e^{-\frac{x^{2}}{2 n}}-e^{x}\left(1-\frac{x}{n}\right)^{n}$ . Докажите, что функция $\varphi_{n}$ неотрицательна на промежутке $\left[0, n\right]$ и

\frac{1}{4 \sqrt{e n}} \leqslant \max _{\left[0, n\right]} \varphi _{n} \leqslant \frac{1}{\sqrt{e n}}

В следующей задаче рассматриваются соотношения, которые дополняют классические неравенства

\sin x<x<\operatorname {tg} x, \quad \ln (1+x)<x<e^{x}-1, \quad \operatorname {arctg} x<x<\arcsin x .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача I.2.25

(а)(б)(в)(г)(д)(е)

Докажите неравенства

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$(1+x) \ln^{2}(1+x)<x^{2} \quad$ при $x>-1, x \neq 0$ ;

(б)

$\frac{x}{1+\frac{2}{\pi } x}<\operatorname {arctg} x \quad$ при $x>0$ ;

(в)

$x^{2}<\ln \left(1+\operatorname {tg}^{2} x\right)<\sin x \operatorname {tg} x \quad$ при $x \in \left(0, \frac{\pi }{2}\right)$ ;

(г)

$3 x-x^{3}<2 \sin \left(\frac{\pi }{2} x\right) \quad$ при $x \in (0,1)$ ;

(д)

$x^{3}<\sin^{2} x \operatorname {tg} x \quad$ при $x \in \left(0, \frac{\pi }{2}\right)$ .

(е)

Справедливо ли на ( $0, \frac{\pi }{2}$ ) неравенство $x^{3+\varepsilon }<\sin^{2+\varepsilon } x \operatorname {tg} x$ при каком-нибудь фиксированном $\varepsilon >0$ ?

Задача I.2.26

(а)(б)

Докажите, что на промежутке $\left[-1,1\right]$ выполняются неравенства

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\left(1-x^{2}\right)\left(1-\frac{1}{4} x^{2}\right) \leqslant \cos \frac{\pi }{2} x \leqslant \left(1-x^{2}\right)\left(1-\frac{1}{5} x^{2}\right)$ ;

(б)

$\left(1-x^{2}\right)\left(1-\frac{2}{3} x^{2}\right) \leqslant \frac{\sin \pi x}{\pi x} \leqslant \left(1-x^{2}\right)\left(1-\frac{1}{2} x^{2}\right)$ .

Задача I.2.27

(а)(б)(в)(г)

Докажите неравенства

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\left(e^{x}-1\right) \ln (1+x)>x^{2} \quad$ при $x>0$ ;

(б)

$\operatorname {tg} x \operatorname {arctg} x>x^{2} \quad$ при $x \in \left(0, \frac{\pi }{2}\right)$ ;

(в)

$\left((1+x)^{p}-1\right)\left((1+x)^{1 / p}-1\right)>x^{2}$ при $x>0, p>0, p \neq 1$ .

Что будет при $p<0$ ?

(г)

$\left((1-x)^{p}-1\right)\left(1-(1+x)^{1 / p}\right)>x^{2}$ при $x \in (0,1), p<-1$ .

Что будет при $p \in (-1,0)$ ?

Задача I.2.28

Докажите неравенства

\frac{2}{\pi } \sin \left(\frac{\pi }{2} x\right) \arcsin x<x^{2}<\sin x \arcsin x \quad \text{ при } \quad x \in (0,1) .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача I.2.29

(а)(б)(в)

Докажите, что для любых $x \in \mathbb {R}$ и $n \in \mathbb {N}$ выполняются неравснства

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\left|\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{(n)}\right| \leqslant \frac{1}{n+1}$ ;

(б)

$\left|\left(\frac{1-\cos x}{x^{2}}\right)^{(n)}\right| \leqslant \frac{1}{(n+1)(n+2)}$ ;

(в)

$\left|\left(\frac{1}{1+x^{2}}\right)^{(n)}\right| \leqslant \frac{n!}{\left(1+x^{2}\right)^{\frac{n+1}{2}}}$ .

Задача I.2.30

Докажите, что $\left|\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\prime }\right| \leqslant \frac{1}{k \pi }$ при $x \in [k \pi , k \pi +\pi ](k \in \mathbb {N})$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача I.2.31

(а)(б)(в)(г)

Докажите, что при любом $x \in [0,1]$ справедливы неравенства

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$2 \leqslant (1+x)^{p}+(1-x)^{p} \leqslant 2^{p} \quad (p \geqslant 1)$ ;

(б)

$2\left(1+x^{p}\right) \leqslant (1+x)^{p}+(1-x)^{p} \leqslant 2^{p-1}\left(1+x^{p}\right) \quad (p \geqslant 2)$ ;

(в)

$\quad (1+x)^{p}+(1-x)^{p} \leqslant 2\left(1+(p-1) x^{2}\right)^{\frac{p}{2}} \quad (p \geqslant 2)$ ;

(г)

$\quad (1+x)^{p}+(1-x)^{p} \leqslant 2\left(1+x^{\frac{p}{p-1}}\right)^{p-1} \quad (p \geqslant 2)$ .

В случае, когда $1 \leqslant p \leqslant 2$ , знаки неравенств в б) - г) меняются на противоположные.

Задача I.2.32

Пусть $f, g \in C(\left[0,1\right])$ , причём функция $f$ не убывает и $0 \leqslant f, g \leqslant 1$ на $\left[0,1\right]$ . Докажите неравенство

\int _{0}^{1} f(g(x)) d x \leqslant \int _{0}^{1} f(x) d x+\int _{0}^{1} g(x) d x

В задачах $2.33-2.39$ рассматриваются интегральные неравенства, имеющие очевидные сумматорные аналоги. Их доказательства можно получить двумя путями: или предельным переходом в сумматорном неравенстве, или модификацией доказательств, использованных в дискретном случае. Отметим также, что с помощью предельного перехода некоторые неравенства (см., например, задачу 2.34) переносятся на случай несобственных интегралов по промежутку $[a,+\infty )$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача I.2.33

Пусть функция $f$ интегрируема на промежутке $\left[a, b\right]$ и $0<m=\inf f, M=\sup f$ . Тогда справедливы неравенства

\begin{aligned} 2 \sqrt{\frac{m}{M}}(b-a) & \leqslant \frac{1}{M} \int _{a}^{b} f(x) d x+m \int _{a}^{b} \frac{d x}{f(x)} \leqslant \left(1+\frac{m}{M}\right)(b-a) \\ (b-a)^{2} & \leqslant \int _{a}^{b} f(x) d x \int _{a}^{b} \frac{d x}{f(x)} \leqslant \frac{(m+M)^{2}}{4 m M}(b-a)^{2} \end{aligned}

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача I.2.34

(а)(б)(в)

Пусть функции $f$ и $g$ интегрируемы на промежутке $\left[a, b\right]$ , причём $f \downarrow , f \geqslant 0$ . Для $x \in [a, b]$ положим $G(x)=\int_{a}^{x} g(t) d t$ . Тогда справедливы неравенства

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$f(a) \inf_{a \leqslant x \leqslant b} G(x) \leqslant \int_{a}^{b} f(x) g(x) d x \leqslant f(a) \sup_{a \leqslant x \leqslant b} G(x)$ ;

(б)

$\left|\int_{a}^{b} f(x) g(x) d x\right| \leqslant f(a) \sup_{a \leqslant x \leqslant b}\left|G(x)\right|$ ;

(в)

$\left(\inf_{a<x \leqslant b} \frac{G(x)}{x-a}\right) \int_{a}^{b} f(x) d x \leqslant \int_{a}^{b} f(x) g(x) d x \leqslant$

\leqslant \left(\sup _{a<x \leqslant b} \frac{G(x)}{x-a}\right) \int _{a}^{b} f(x) d x

Задача I.2.35

Пусть функции $f$ и $g$ интегрируемы на промежутке $\left[a, b\right]$ , причём $f \downarrow$ и $0 \leqslant g \leqslant 1$ . Положим $c=\int_{a}^{b} g(x) d x$ . Тогда

\int _{b-c}^{b} f(x) d x \leqslant \int _{a}^{b} f(x) g(x) d x \leqslant \int _{a}^{a+c} f(x) d x

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача I.2.36

Пусть $f \in C^{1}(\left[a, b\right]), \delta =\min_{\left[a, b\right]}\left|f^{\prime }\right|, \Delta =\max_{\left[a, b\right]}\left|f^{\prime }\right|$ . Тогда

\frac{\delta ^{2}}{12}(b-a)^{2} \leqslant \frac{1}{b-a} \int _{a}^{b} f^{2}(x) d x-\left(\frac{1}{b-a} \int _{a}^{b} f(x) d x\right)^{2} \leqslant \frac{\Delta ^{2}}{12}(b-a)^{2}

Равенства выполняются лишь для линейных функций.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача I.2.37

Если непрерывно дифференцируемая функция $f$ не убывает и выпукла (или не возрастает и вогнута) на промежутке $\left[0,1\right]$ , то

\begin{aligned} \frac{1}{3} \int _{0}^{1}(1-x)^{3}\left(f^{\prime }(x)\right)^{2} d x \leqslant \int _{0}^{1} f^{2}(x) d x-\left(\int _{0}^{1} f(x) d x\right)^{2} & \leqslant \\ & \leqslant \frac{1}{3} \int _{0}^{1} x^{3}\left(f^{\prime }(x)\right)^{2} d x \end{aligned}

Для неубывающей вогнутой (или невозрастающей выпуклой) функции знаки неравенств заменяются на противоположные. Равенство возможно лишь для линейной функции.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача I.2.38

(а)(б)

Пусть функции $f$ и $g$ положительны и интегрируемы на промежуткс $\left[a, b\right]$ . Тогда справедливы неравенства

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\exp \left(\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} \ln f(x) d x\right) \leqslant \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) d x$ (аналог неравенства Коши между средним арифметическим и средним геометрическим);

(б)

$\exp \left(\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} \ln f(x) d x\right)+\exp \left(\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} \ln g(x) d x\right) \leqslant$

\leqslant \exp \left(\frac{1}{b-a} \int _{a}^{b} \ln (f(x)+g(x)) d x\right)

(аналог неравенства Минковского - см. задачу 2.7 б)).

Задача I.2.39

Пусть функции $f$ и $g$ монотонны на промежутке $\left[a, b\right]$ , а функция $h$ неотрицательна и интегрируема на нём. Если монотонность функций $f, g$ одного типа, то выполняется неравенство

\int _{a}^{b} f(x) h(x) d x \int _{a}^{b} g(x) h(x) d x \leqslant \int _{a}^{b} h(x) d x \int _{a}^{b} f(x) g(x) h(x) d x,

а если монотонность разного типа, то знак неравенства заменяется на противоположный.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача I.2.40

Пусть $f \in C^{1}(\left[0, \pi \right])$ , причём $f(0)=f(\pi )=0$ . Докажите неравенство
$\int _{0}^{\pi } f^{2}(x) d x \leqslant \int _{0}^{\pi }\left(f^{\prime }(x)\right)^{2} d x$
представив разность этих интегралов в виде интеграла от неотрицательной функции.
Докажите, что неравенство сохранится, если вместо условия $f(0)=f(\pi )=0$ предположить, что $f(0)=f(\pi )$ и $\int_{0}^{\pi } f(x) d x=0$ .
Пусть $f \in C^{1}(\left[0,2 \pi \right]), f(0)=f(2 \pi )$ и $\int_{0}^{2 \pi } f(x) d x=0$ . Докажите
$\int _{0}^{2 \pi } f^{2}(x) d x \leqslant \int _{0}^{2 \pi }\left(f^{\prime }(x)\right)^{2} d x$

Для каких функций эти неравенства обращаются в равенства?

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача I.2.41

Пусть гладкая замкнутая кривая длины $L$ ограничивает на шлоскости фигуру площади $S$ . Используя натуральную параметризацию кривой и неравенство Виртингера, докажите изопериметрическое неравенство: $4 \pi S \leqslant L^{2}$ . Выясните с его помощью, какова максимальная площадь фигуры, которую можно ограничить лежащей в полуплоскости кривой длины $L$ с концами на границе полуплоскости «задача Дидоны» ${ }^{*)}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

I.3 · Иррациональность[25/96%]

Задача I.3.1

Пусть $x \in \mathbb {R}$ . Докажите эквивалентность утверждений

$x \notin \mathbb {Q}$ ;
существует бесконечно много таких несократимых дробей $\frac{p}{q}$ ( $q \in \mathbb {N}, p \in \mathbb {Z}$ ), что $\left|x-\frac{p}{q}\right|<\frac{1}{q^{2}}$ ;
существует такая последовательность дробей $\frac{p_{k}}{q_{k}}\left(q_{k} \in \mathbb {N}, p_{k} \in \mathbb {Z}\right)$ , что $q_{k} \rightarrow +\infty$ и $0 \neq x-\frac{p_{k}}{q_{k}}=o\left(\frac{1}{q_{k}}\right)$ при $k \rightarrow +\infty$ .

В последующих задачах используется обозначение $\delta (x)=x-\left[x\right]-$ дробная часть вещественного числа $x$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача I.3.2

Пусть $x$ - иррациональное число. Докажите, что последоватсльность $\left\{ \delta (n x)\right\}$ плотна в $(0,1)$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача I.3.3

(а)(б)

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

Докажите, что последовательности $\left\{ \sin n^{2}\right\}$ и $\left\{ \sin 4^{n}\right\}$ не имеют пределов;

(б)

докажите, что если последовательность $\left\{ \sin \left(2^{n} \theta \right)\right\}$ имеет предел, то он равен нулю и $\theta =\frac{\pi p}{2^{q}}$ , где $q \in \mathbb {N}, p \in \mathbb {Z}$ .

Задача I.3.4

Пусть $x \in \mathbb {R}$ . Докажите эквивалентность утверждений

$x \in \mathbb {Q}$ ;
множество $\left\{ \delta \left(n^{2005} x\right) \mid n \in \mathbb {N}\right\}$ конечно.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача I.3.5

Покажите на примерах, что последовательность $\left\{ \delta \left(10^{n} x\right)\right\}$ можст быть всюду плотной и может быть бесконечной, но нигде не плотпой в $(0,1)$ .

*) Согласно легенде, корабль Дидоны, спасавшейся от преследований своего брата гирского царя Пигмалиона, пристал к африканскому берегу. Местный царь Иарб на просьбу беглецов дать им землю для проживания разрешил занять участок на берегу моря размером с воловью шкуру. Дидона велела разрезать шкуру на тонкие ремни и ограничила ими участок земли, на котором основала Карфаген.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача I.3.6

(а)(б)(в)(г)(д)

Найдите множества частичных пределов последовательностей

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\left\{ \sin n^{2 / 3}\right\}$ ;

(б)

$\left\{ \sqrt[4]{n} \sin \sqrt{n}\right\}$ ;

(в)

$\left\{ \sin \left(\pi n^{3 / 2}\right)\right\}$ ;

(г)

$\left\{ \sin \ln n\right\}$ ;

(д)

$\left\{ \sin (\pi n \ln n)\right\}$ .

Задача I.3.7

(а)(б)(в)(г)

Найдите множества частичных пределов последовательностей

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\left\{ \delta (n x)\right\}$ , где $x \in \mathbb {Q}$ ;

(б)

$\left\{ \delta (n x)\right\}$ , где $x \in \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q}$ ;

(в)

$\left\{ \delta \left(n^{\alpha }\right)\right\}$ , где $\alpha \in (0,1)$ ;

(г)

$\left\{ \delta \left(n^{5 / 2}\right)\right\}$ .

Задача I.3.8

Существует ли такое вещественное число $x$ , что $\delta \left(x^{n}\right) \in \left[\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right]$ для всех номеров $n$ ?

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача I.3.9

Пусть $f \in C(\left[0,1\right])$ и $x \in \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q}$ . Докажите, что

\frac{1}{n} \sum _{1 \leqslant k \leqslant n} f(\delta (k x)) \rightarrow \int _{0}^{1} f(t) d t \quad \text{ при } \quad n \rightarrow +\infty .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача I.3.10

Пусть $x=\left(x_{1}, \ldots , x_{m}\right) \in \mathbb {R}^{m}$ . Докажите, что найдутся такие дроби $\frac{p_{1}}{q}, \ldots , \frac{p_{m}}{q}$ со сколь угодно большим знаменателем $q \in \mathbb {N}$ ( $p_{1}, \ldots , p_{m} \in \mathbb {Z}$ ), что

\left|x_{j}-\frac{p_{j}}{q}\right|<q^{-\left(1+\frac{1}{m}\right)} \quad \text{ для всех } j=1,2, \ldots , m .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача I.3.11

(а)(б)

Пусть $\alpha_{q}=\min_{p \in \mathbb {Z}}\left|\sqrt{2}-\frac{p}{q}\right|, q \in \mathbb {N}$ . Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$(2 q)^{-2}<\alpha_{q}<(2 q)^{-1}$ ;

(б)

если строго возрастающая последовательность номеров $\left\{ q_{j}\right\}$ такова, что $\alpha_{q_{j}} \leqslant \frac{C}{q_{j}^{2}}(j \in \mathbb {N})$ , где $C$ - фиксированное число, то $\left\{ q_{j}\right\}$ растёт по крайней мере как геометрическая прогрессия: $\frac{q_{j+1}}{q_{j}} \geqslant 1+\frac{1}{8 C}$ . Таким образом, оценка снизу в неравенстве а) груба для большинства номеров.

Задача I.3.12

Пусть $\alpha$ - алгебраическое число степени не выше $r$ (т.е. $\alpha$ является корнем алгебраического многочлена степени $r$ с целыми коэффициентами). Докажите теорему Лиувилля: если $\alpha$ иррационально, то $\left|\alpha -\frac{p}{q}\right|>\frac{c_{\alpha }}{q^{r}}$ для всех $p \in \mathbb {Z}$ и $q \in \mathbb {N}$ (положительный коэффициент $c_{\alpha }$ зависит лишь от $\alpha$ ).

Иррациональное число $\alpha$ называется лиувиллевым числом, если оно имеет сколь угодно хорошие приближения дробями: для любого $r>0$ существует такая дробь $\frac{p}{q}(p \in \mathbb {Z}, q \in \mathbb {N}, q>1)$ , что $\left|\alpha -\frac{p}{q}\right|<\frac{1}{q^{r}}$ (примеры таких чисел см. в задаче 3.19). Из теоремы Лиувилля сразу следует, что $\alpha$ трансцендентное число.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача I.3.13

(а)(б)

Пусть $\alpha$ - иррациональное нелиувиллево число: $\left|\alpha -\frac{p}{q}\right| \geqslant \frac{c_{\alpha }}{q^{r}}$ для любой дроби $\frac{p}{q}(p \in \mathbb {Z}, q \in \mathbb {N})$ , где $c_{\alpha }$ и $r$ - фиксированные положительные числа (это возможно лишь при $r \geqslant 2$ - см. 3.1).

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

Обобщите результат задачи 3.11 б), доказав, что эта оценка груба для большинства дробей $\frac{p}{q}$ : если $\left|\alpha -\frac{p_{j}}{q_{j}}\right| \leqslant \frac{C}{q_{j}^{r}}$ , где $p_{j} \in \mathbb {Z}, q_{j} \in \mathbb {N}$ и $q_{j+1}>q_{j}$ для всех $j \in \mathbb {N}$ , то последовательность $\left\{ q_{j}\right\}$ растёт не медленнее геометрической прогрессии (точнее, $\frac{q_{j+1}}{q_{j}} \geqslant 1+\left(\frac{c_{\alpha }}{2 C}\right)^{\frac{1}{r-1}}$ ).

(б)

Оцените снизу знаменатели $q_{j}$ , если последовательность дробей $\left\{ \frac{p_{j}}{q_{j}}\right\}$ такова, что для всех номеров $j$

q_{j}<q_{j+1} \quad \text{ и } \quad \left|\alpha -\frac{p_{j}}{q_{j}}\right| \leqslant \frac{C}{q_{j}^{\rho }}

при некоторых $C>0$ и $\rho \in (1, r)$ . Заметим, что в силу теоремы Лиувилля в качестве $\alpha$ можно взять любое иррациональное алгебраическое число. Кроме того, при $r>2$ почти все вещественные числа $\alpha$ удовлетворяют неравенству $\left|\alpha -\frac{p}{q}\right| \geqslant \frac{c_{\alpha }}{q^{r}}$ для всех дробей $\frac{p}{q}$ (см. VIII.1.7).

В задачах $3.14-3.20\left\{ \varepsilon_{k}\right\}$ - произвольная последовательность из +1 и -1 , $\left\{ n_{k}\right\}$ - строго возрастающая последовательность натуральных чисел.

Задача I.3.14

Докажите, что сумма ряда $\sum \varepsilon_{k} 2^{-n_{k}}$ иррациональна, если $\overline{\lim }\left(n_{k+1}-n_{k}\right)=+\infty$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача I.3.15

(а)(б)

Пусть $\varlimsup \frac{n_{k+1}}{n_{1} n_{2} \ldots n_{k}}=+\infty$ . Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

сумма ряда $\sum \frac{(-1)^{k}}{n_{k}}$ иррациональна;

(б)

если $\frac{n_{k+1}}{n_{k}} \geqslant 2$ для всех $k \in \mathbb {N}$ , то сумма ряда $\sum \frac{\varepsilon_{k}}{n_{k}}$ иррациональна. Так ли это в случае $\frac{n_{k+1}}{n_{k}} \geqslant Q>1$ ?

Задача I.3.16

(а)(б)

Пусть $\varlimsup \frac{\ln n_{k}}{2^{k}}=+\infty$ . Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

сумма ряда $\sum \frac{(-1)^{k}}{n_{k}}$ иррациональна;

(б)

если $\frac{n_{k+1}}{n_{k}} \geqslant 2$ для всех $k \in \mathbb {N}$ , то сумма ряда $\sum \frac{\varepsilon_{k}}{n_{k}}$ иррациональна.

Задача I.3.17

(а)(б)

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

Докажите, что сумма ряда $S=\sum \frac{\varepsilon_{k}}{F_{k}}$ иррациональна, если $F_{k}=2^{2^{k}}+1$ - числа Ферма.

(б)

Пусть последовательность $\left\{ n_{k}\right\}$ такова, что

n_{k+1} \geqslant n_{k}^{2}-n_{k}+1 \quad \text{ при всех } \quad k \in \mathbb {N} .

Докажите рациональность суммы $\sum \frac{1}{n_{k}}$ , если $n_{k+1}=n_{k}^{2}-n_{k}+1$ для всех достаточно больших $k$ .

Верно ли обратное утверждение? Рационально ли число $\sum \frac{1}{2^{2^{k}}-2}$ ?

Задача I.3.18

(а)(б)

Пусть $\varlimsup \frac{\ln n_{k}}{3^{k}}=+\infty$ . Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

число $\sum \frac{(-1)^{k}}{n_{k}}$ не является квадратичной иррациональностью;

(б)

если $\frac{n_{k+1}}{n_{k}} \geqslant 2$ для всех $k \in \mathbb {N}$ , то число $\sum \frac{\varepsilon_{k}}{n_{k}}$ не является квадратичной иррациональностью.

Задача I.3.19

Докажите трансцендентность чисел $\sum \varepsilon_{k} 2^{-k!}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача I.3.20

(а)(б)

Пусть $\overline{\lim } \frac{\ln n_{k}}{k!}>0$ . Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

число $\sum \frac{(-1)^{k}}{n_{k}}$ трансцендентно;

(б)

если $\frac{n_{k+1}}{n_{k}} \geqslant 2$ для всех $k \in \mathbb {N}$ , то число $\sum \frac{\varepsilon_{k}}{n_{k}}$ трансцендентно.

Задача I.3.21

(а)(б)

Иррациональность числа $e$ . Пользуясь разложениями

e=\sum _{n \geqslant 0} \frac{1}{n!} \quad \text{ и } \quad \frac{1}{e}=\sum _{n \geqslant 0} \frac{(-1)^{n}}{n!},

докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

число $e$ иррационально;

(б)

$A e^{2}+B e+C \neq 0$ , если $A, B, C$ - целые числа, не равные нулю одновременно.

Задача I.3.22

(а)(б)

Пусть $\sigma (n)$ - сумма делителей натурального числа $n$ . Докажите иррациональность сумм рядов

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\sum \frac{\sigma (n)}{n!}$ ;

(б)

$\sum (-1)^{n} \frac{\sigma (n)}{n!}$ .

Задача I.3.23

(а)(б)

Иррациональность числа $\pi$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

Пусть $H_{n}=\frac{1}{n!} \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2}\left(\frac{\pi^{2}}{4}-t^{2}\right)^{n} \cos t d t(n=0,1,2, \ldots )$ . Докажите, что $H_{n}=P_{n}\left(\pi^{2}\right)$ , где $P_{n}$ - алгебраический многочлен степени не выше $n$ с целыми коэффициентами.

(б)

Выведите отсюда, что $\pi^{2}$ (а следовательно, и $\pi$ ) - иррациональное число.

Задача I.3.24

(а)(б)

Иррациональность значений экспоненты в рациональных точках.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

Пусть $J_{n}(x)=\frac{1}{n!} \int_{-x}^{x}\left(x^{2}-t^{2}\right)^{n} e^{t} d t \quad (n=0,1,2, \ldots )$ . Докажите, что $J_{n}(x)=A_{n}(x) e^{x}+B_{n}(x) e^{-x}$ , где $A_{n}, B_{n}$ - алгебраические многочлены степени не выше $n$ с целыми коэффициентами.

(б)

Выведите отсюда, что $e^{r} \notin \mathbb {Q}$ , если $r \in \mathbb {Q}, r \neq 0$ .

Задача I.3.25

(а)(б)

Иррациональность значений тангенса в рациональных точках.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

Пусть $H_{n}(x)=\frac{1}{n!} \int_{-x}^{x}\left(x^{2}-t^{2}\right)^{n} \cos t d t(n=0,1,2, \ldots )$ . Докажитс, что $H_{n}(x)=C_{n}(x) \cos x+S_{n}(x) \sin x$ , где $C_{n}, S_{n}$ - алгебраические многочлены степени не выше $n$ с целыми коэффициентами.

(б)

Выведите отсюда, что $\operatorname {tg} r \notin \mathbb {Q}$ , если $r \in \mathbb {Q}, r \neq 0$ .