Иррациональность

Докажите, что последовательности $\left\{ \sin n^{2}\right\}$ и $\left\{ \sin 4^{n}\right\}$ не имеют пределов;

докажите, что если последовательность $\left\{ \sin \left(2^{n} \theta \right)\right\}$ имеет предел, то он равен нулю и $\theta =\frac{\pi p}{2^{q}}$, где $q \in \mathbb {N}, p \in \mathbb {Z}$.

$\left\{ \sin n^{2 / 3}\right\}$;

$\left\{ \sqrt[4]{n} \sin \sqrt{n}\right\}$;

$\left\{ \sin \left(\pi n^{3 / 2}\right)\right\}$;

$\left\{ \sin \ln n\right\}$;

$\left\{ \sin (\pi n \ln n)\right\}$.

$\left\{ \delta (n x)\right\}$, где $x \in \mathbb {Q}$;

$\left\{ \delta (n x)\right\}$, где $x \in \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q}$;

$\left\{ \delta \left(n^{\alpha }\right)\right\}$, где $\alpha \in (0,1)$;

$\left\{ \delta \left(n^{5 / 2}\right)\right\}$.

$(2 q)^{-2}<\alpha_{q}<(2 q)^{-1}$;

если строго возрастающая последовательность номеров $\left\{ q_{j}\right\}$ такова, что $\alpha_{q_{j}} \leqslant \frac{C}{q_{j}^{2}}(j \in \mathbb {N})$, где $C$ - фиксированное число, то $\left\{ q_{j}\right\}$ растёт по крайней мере как геометрическая прогрессия: $\frac{q_{j+1}}{q_{j}} \geqslant 1+\frac{1}{8 C}$. Таким образом, оценка снизу в неравенстве а) груба для большинства номеров.

Обобщите результат задачи 3.11 б), доказав, что эта оценка груба для большинства дробей $\frac{p}{q}$ : если $\left|\alpha -\frac{p_{j}}{q_{j}}\right| \leqslant \frac{C}{q_{j}^{r}}$, где $p_{j} \in \mathbb {Z}, q_{j} \in \mathbb {N}$ и $q_{j+1}>q_{j}$ для всех $j \in \mathbb {N}$, то последовательность $\left\{ q_{j}\right\}$ растёт не медленнее геометрической прогрессии (точнее, $\frac{q_{j+1}}{q_{j}} \geqslant 1+\left(\frac{c_{\alpha }}{2 C}\right)^{\frac{1}{r-1}}$).

Оцените снизу знаменатели $q_{j}$, если последовательность дробей $\left\{ \frac{p_{j}}{q_{j}}\right\}$ такова, что для всех номеров $j$

при некоторых $C>0$ и $\rho \in (1, r)$. Заметим, что в силу теоремы Лиувилля в качестве $\alpha$ можно взять любое иррациональное алгебраическое число. Кроме того, при $r>2$ почти все вещественные числа $\alpha$ удовлетворяют неравенству $\left|\alpha -\frac{p}{q}\right| \geqslant \frac{c_{\alpha }}{q^{r}}$ для всех дробей $\frac{p}{q}$ (см. VIII.1.7).

сумма ряда $\sum \frac{(-1)^{k}}{n_{k}}$ иррациональна;

если $\frac{n_{k+1}}{n_{k}} \geqslant 2$ для всех $k \in \mathbb {N}$, то сумма ряда $\sum \frac{\varepsilon_{k}}{n_{k}}$ иррациональна. Так ли это в случае $\frac{n_{k+1}}{n_{k}} \geqslant Q>1$ ?

сумма ряда $\sum \frac{(-1)^{k}}{n_{k}}$ иррациональна;

если $\frac{n_{k+1}}{n_{k}} \geqslant 2$ для всех $k \in \mathbb {N}$, то сумма ряда $\sum \frac{\varepsilon_{k}}{n_{k}}$ иррациональна.

Докажите, что сумма ряда $S=\sum \frac{\varepsilon_{k}}{F_{k}}$ иррациональна, если $F_{k}=2^{2^{k}}+1$ - числа Ферма.

Пусть последовательность $\left\{ n_{k}\right\}$ такова, что

Докажите рациональность суммы $\sum \frac{1}{n_{k}}$, если $n_{k+1}=n_{k}^{2}-n_{k}+1$ для всех достаточно больших $k$.

Верно ли обратное утверждение? Рационально ли число $\sum \frac{1}{2^{2^{k}}-2}$ ?

число $\sum \frac{(-1)^{k}}{n_{k}}$ не является квадратичной иррациональностью;

если $\frac{n_{k+1}}{n_{k}} \geqslant 2$ для всех $k \in \mathbb {N}$, то число $\sum \frac{\varepsilon_{k}}{n_{k}}$ не является квадратичной иррациональностью.

число $\sum \frac{(-1)^{k}}{n_{k}}$ трансцендентно;

если $\frac{n_{k+1}}{n_{k}} \geqslant 2$ для всех $k \in \mathbb {N}$, то число $\sum \frac{\varepsilon_{k}}{n_{k}}$ трансцендентно.

число $e$ иррационально;

$A e^{2}+B e+C \neq 0$, если $A, B, C$ - целые числа, не равные нулю одновременно.

$\sum \frac{\sigma (n)}{n!}$;

$\sum (-1)^{n} \frac{\sigma (n)}{n!}$.

Пусть $H_{n}=\frac{1}{n!} \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2}\left(\frac{\pi^{2}}{4}-t^{2}\right)^{n} \cos t d t(n=0,1,2, \ldots )$. Докажите, что $H_{n}=P_{n}\left(\pi^{2}\right)$, где $P_{n}$ - алгебраический многочлен степени не выше $n$ с целыми коэффициентами.

Выведите отсюда, что $\pi^{2}$ (а следовательно, и $\pi$) - иррациональное число.

Пусть $J_{n}(x)=\frac{1}{n!} \int_{-x}^{x}\left(x^{2}-t^{2}\right)^{n} e^{t} d t \quad (n=0,1,2, \ldots )$. Докажите, что $J_{n}(x)=A_{n}(x) e^{x}+B_{n}(x) e^{-x}$, где $A_{n}, B_{n}$ - алгебраические многочлены степени не выше $n$ с целыми коэффициентами.

Выведите отсюда, что $e^{r} \notin \mathbb {Q}$, если $r \in \mathbb {Q}, r \neq 0$.

Пусть $H_{n}(x)=\frac{1}{n!} \int_{-x}^{x}\left(x^{2}-t^{2}\right)^{n} \cos t d t(n=0,1,2, \ldots )$. Докажитс, что $H_{n}(x)=C_{n}(x) \cos x+S_{n}(x) \sin x$, где $C_{n}, S_{n}$ - алгебраические многочлены степени не выше $n$ с целыми коэффициентами.

Выведите отсюда, что $\operatorname {tg} r \notin \mathbb {Q}$, если $r \in \mathbb {Q}, r \neq 0$.