Неравенства

Докажите, что для любой конечной последовательности $\left\{ a_{k}\right\}_{k=1}^{n}$ вещественных чисел

Пусть $\left\{ a_{k}\right\}_{k=1}^{n}$ и $\left\{ b_{k}\right\}_{k=1}^{n}$ — конечные неотрицательные последовательности, причём последовательность $\left\{ a_{k}\right\}$ не возрастает; $B=\max_{1 \leqslant k \leqslant n} b_{k}$. Докажите, что если номера $m, M$ не превосходят $n$ и удовлетворяют неравенству $m B \leqslant \sum_{1 \leqslant k \leqslant n} b_{k} \leqslant M B$, то

Пусть $\left\{ a_{k}\right\}_{k=1}^{n}$ — конечная последовательность положительных чисел и $M=\max_{1 \leqslant k \leqslant n} a_{k}, m=\min_{1 \leqslant k \leqslant n} a_{k}$. Докажите, что

Пусть $\left\{ q_{k}\right\}_{k=1}^{n}$ — конечная последовательность чисел, причём $q_{k} \geqslant 1$ для всех $k$. Докажите неравенство

Пусть $\left\{ a_{k}\right\}_{k=1}^{n}$ — конечная последовательность неотрицательных чисел, причём $S=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}<1$. Докажите неравенства

правые неравенства строгие, если $S>0$; левые неравенства строгие, если среди чисел $\left\{ a_{k}\right\}_{k=1}^{n}$ по крайней мере два положительны.

Пусть $\left\{ a_{k}\right\}_{k=1}^{n}$ — конечная последовательность вещественных чисел, причём $a_{k}>-1$ при $k=1, \ldots , n$. Докажите, что

Пусть $\left\{ a_{k}\right\}_{k=1}^{n}$ и $\left\{ b_{k}\right\}_{k=1}^{n}$ — конечные последовательности неотрицательных чисел. Докажите, что

Пусть $\left\{ z_{k}\right\}_{k=1}^{n}$ — конечная последовательность комплексных чисел, $S_{n}=\left|z_{1}\right|+\ldots +\left|z_{n}\right|$ и $P_{n}=\left(1+z_{1}\right) \ldots \left(1+z_{n}\right)$. Докажите, что $\left|P_{n}\right| \leqslant e^{S_{n}}$ и $\left|1-P_{n}\right| \leqslant S_{n} e^{S_{n}}$.

Пусть $t, p>0$. Докажите, что для всех $n \in \mathbb {N}$ выполняются неравенства

Для каких $p \leqslant 1$ эти неравенства точны по порядку при неограниченном возрастании $n$ ?

Докажите, что

Пусть $s>0$. Докажите что

Докажите, что при $s>1$ выполняются неравенства

Пусть $\pi (n)$ — число простых чисел, не превосходящих числа $n$. Убедитесь в том, что

Выведите отсюда, что для всех $n \in \mathbb {N}$ выполняются неравенства

Пусть $Q_{n}$ — наименьшее общее кратное чисел $n+1, n+2, \ldots$, $2 n+1$. Проверьте, что

Докажите, что

Для конечных последовательностей вещественных чисел $\left\{ a_{k}\right\}_{k=1}^{n}$ и $\left\{ b_{k}\right\}_{k=1}^{n}$ символами $\left\{ \hat{a}_{k}\right\}_{k=1}^{n}$ и $\left\{ \hat{b}_{k}\right\}_{k=1}^{n}$ (соответственно $\left\{ \stackrel{V}{a}_{k}\right\}_{k=1}^{n}$ и $\left\{ \stackrel{V}{b_{k}}\right\}_{k=1}^{n}$) обозначим неубывающие (соответственно невозрастающие) перестановки этих последовательностей. Докажите неравенства

Пусть $\left\{ b_{k}\right\}_{k=1}^{n}$ — конечная последовательность вещественных чисел. Докажите, что для любой конечной неотрицательной невозрастающей последовательности $\left\{ a_{k}\right\}_{k=1}^{n}$ выполняются неравенства

Пусть $\left\{ a_{k}\right\}_{k=1}^{n}$ — конечная последовательность вещественных чисел. Докажите, что

где $\Delta =\max_{1 \leqslant k<n}\left|a_{k}-a_{k+1}\right|, \delta =\min_{1 \leqslant j<k \leqslant n}\left|a_{k}-a_{j}\right|$. В каких случаях эти неравенства обращаются в равенства?

Пусть $\left\{ a_{k}\right\}_{k=1}^{n}$ — неубывающая выпуклая (или невозрастающая вогнутая) последовательность вещественных чисел. Докажите неравенства

Если последовательность $\left\{ a_{k}\right\}_{k=1}^{n}$ не возрастает и выпукла (или не убывает и вогнута), то знаки неравенств следует заменить на противоположные.

В задачах 2.21 и 2.22, посвящённых классическим неравенствам для многочленов, используются многочлены Чебышёва. Поэтому мы предваряем эту тему задачей, в которой изучаются основные свойства этих многочленов. Более подробную информацию можно найти в книге [Па].

Многочленом Чебышёва $T_{n}$ называется многочлен, определяемый на промежутке $\left[-1,1\right]$ равенством

(графики $T_{n}$ при $n=1,2,3$ изображены на рис. 4 , при $n=8$ на рис. 5).

Рис. 4

Рис. 5

Докажите, что

Докажите экстремальное свойство многочленов Чебышёва: если $P$ — алгебраический многочлен степени $n$ (с вещественными или комплексными коэффициентами) и $\left|P(x)\right| \leqslant 1$ для всех $x \in [-1,1]$, то $\left|P^{(j)}(x)\right| \leqslant \left|T_{n}^{(j)}(x)\right|$ для всех $j=0,1, \ldots , n$ и $x \in \mathbb {R},\left|x\right|>1$. Неравенство строгое, если $P \neq c T_{n}$, где $c \in \mathbb {C},\left|c\right|=1$.

В частности, при $j=0$ получаем $\left|P(x)\right| \leqslant \left|T_{n}(x)\right|$ вне промежутка $\left[-1,1\right]$, а из неравенства при $j=n$ вытекает, что старший коэффициент многочлена $P$ по абсолютной величине не больше $2^{n-1}$, причём равенство возможно лишь для $P=c T_{n}$, где $c \in \mathbb {C},\left|c\right|=1$.

Пусть $P(\varphi )=a_{0}+\sum_{k=1}^{n}\left(a_{k} \cos k \varphi +b_{k} \sin k \varphi \right)$ — тригонометрический многочлен порядка $n$ с вещественными коэффициентами $a_{0}, a_{1}, \ldots , a_{n}$ и $b_{1}, \ldots , b_{n}$. Положим $M=\max_{\varphi \in \mathbb {R}}\left|P(\varphi )\right|$. Докажите неравенство Бернштейна:

Выведите отсюда неравенство Бернштейна для алгебраических многочленов:

где $P$ — алгебраический многочлен степени $n$ с вещественными коэффициентами, $M=\max_{\left|x\right| \leqslant 1}\left|P(x)\right|$.

В каких случаях эти неравенства обращаются в равенства хотя бы в одной точке?

Пусть $n \in \mathbb {N}$. Докажите неравенства

Пусть $n \in \mathbb {N}$ и $\varphi_{n}(x)=e^{-\frac{x^{2}}{2 n}}-e^{x}\left(1-\frac{x}{n}\right)^{n}$. Докажите, что функция $\varphi_{n}$ неотрицательна на промежутке $\left[0, n\right]$ и

В следующей задаче рассматриваются соотношения, которые дополняют классические неравенства

Докажите неравенства

Докажите, что на промежутке $\left[-1,1\right]$ выполняются неравенства

Докажите неравенства

Докажите неравенства

Докажите, что для любых $x \in \mathbb {R}$ и $n \in \mathbb {N}$ выполняются неравснства

Докажите, что $\left|\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\prime }\right| \leqslant \frac{1}{k \pi }$ при $x \in [k \pi , k \pi +\pi ](k \in \mathbb {N})$.

Докажите, что при любом $x \in [0,1]$ справедливы неравенства

Пусть $f, g \in C(\left[0,1\right])$, причём функция $f$ не убывает и $0 \leqslant f, g \leqslant 1$ на $\left[0,1\right]$. Докажите неравенство

В задачах $2.33-2.39$ рассматриваются интегральные неравенства, имеющие очевидные сумматорные аналоги. Их доказательства можно получить двумя путями: или предельным переходом в сумматорном неравенстве, или модификацией доказательств, использованных в дискретном случае. Отметим также, что с помощью предельного перехода некоторые неравенства (см., например, задачу 2.34) переносятся на случай несобственных интегралов по промежутку $[a,+\infty )$.

Пусть функция $f$ интегрируема на промежутке $\left[a, b\right]$ и $0<m=\inf f, M=\sup f$. Тогда справедливы неравенства

Пусть функции $f$ и $g$ интегрируемы на промежутке $\left[a, b\right]$, причём $f \downarrow , f \geqslant 0$. Для $x \in [a, b]$ положим $G(x)=\int_{a}^{x} g(t) d t$. Тогда справедливы неравенства

Пусть функции $f$ и $g$ интегрируемы на промежутке $\left[a, b\right]$, причём $f \downarrow$ и $0 \leqslant g \leqslant 1$. Положим $c=\int_{a}^{b} g(x) d x$. Тогда

Пусть $f \in C^{1}(\left[a, b\right]), \delta =\min_{\left[a, b\right]}\left|f^{\prime }\right|, \Delta =\max_{\left[a, b\right]}\left|f^{\prime }\right|$. Тогда

Равенства выполняются лишь для линейных функций.

Если непрерывно дифференцируемая функция $f$ не убывает и выпукла (или не возрастает и вогнута) на промежутке $\left[0,1\right]$, то

Для неубывающей вогнутой (или невозрастающей выпуклой) функции знаки неравенств заменяются на противоположные. Равенство возможно лишь для линейной функции.

Пусть функции $f$ и $g$ положительны и интегрируемы на промежуткс $\left[a, b\right]$. Тогда справедливы неравенства

Пусть функции $f$ и $g$ монотонны на промежутке $\left[a, b\right]$, а функция $h$ неотрицательна и интегрируема на нём. Если монотонность функций $f, g$ одного типа, то выполняется неравенство

а если монотонность разного типа, то знак неравенства заменяется на противоположный.

1. Пусть $f \in C^{1}(\left[0, \pi \right])$, причём $f(0)=f(\pi )=0$. Докажите неравенство

   $$\int _{0}^{\pi } f^{2}(x) d x \leqslant \int _{0}^{\pi }\left(f^{\prime }(x)\right)^{2} d x$$

   представив разность этих интегралов в виде интеграла от неотрицательной функции.

2. Докажите, что неравенство сохранится, если вместо условия $f(0)=f(\pi )=0$ предположить, что $f(0)=f(\pi )$ и $\int_{0}^{\pi } f(x) d x=0$.

3. Пусть $f \in C^{1}(\left[0,2 \pi \right]), f(0)=f(2 \pi )$ и $\int_{0}^{2 \pi } f(x) d x=0$. Докажите

   $$\int _{0}^{2 \pi } f^{2}(x) d x \leqslant \int _{0}^{2 \pi }\left(f^{\prime }(x)\right)^{2} d x$$

Для каких функций эти неравенства обращаются в равенства?

Пусть гладкая замкнутая кривая длины $L$ ограничивает на шлоскости фигуру площади $S$. Используя натуральную параметризацию кривой и неравенство Виртингера, докажите изопериметрическое неравенство: $4 \pi S \leqslant L^{2}$. Выясните с его помощью, какова максимальная площадь фигуры, которую можно ограничить лежащей в полуплоскости кривой длины $L$ с концами на границе полуплоскости «задача Дидоны» ${ }^{*)}$.