Конечно порождённые абелевы группы

Показать, что в конечной абелевой группе $A$ для любого $d|| A \mid$ существует по крайней мере одна подгруппа порядка $d$ (обращение теоремы Лагранжа).

Показать, что при надлежащем упорядочении инварианты любой подгруппы являются делителями инвариантов абелевой группы.

Если $A \oplus A \cong B \oplus B$, где $A$ и $B$ — конечные абелевы группы, то $A \cong B$.

Если $A, B, C$ — конечные абелевы группы и $A \oplus C \cong B \oplus C$, то $A \cong B$.

Всякая конечная абелева группа порядка $n$, не делящегося на квадрат целого числа $>1$, является циклической.

Перечислить все неизоморфные абелевы группы порядка 72.

Изоморфны ли группы $Z_{12} \oplus Z_{72}$ и $Z_{18} \oplus Z_{48}$?

Сформулировать и доказать теорему о конечно порождённых абелевых группах на языке целочисленных матриц (матриц с коэффициентами в $\mathbb {Z}$). Использовать надлежащим образом элементарные преобразования над такими матрицами.

Доказать, что индекс подгруппы $A \subseteq F_{n}^{a b}$ свободной абелевой группы $F_{n}^{a b}$ ранга $n$ конечен тогда и только тогда, когда $\operatorname {rank} A=n$.