III.2.2

Теоремы Силова

[6/50%]
Показать
LaTeX
Задача III.2.2.1

Найти число силовских 5 -подгрупп в A5A_{5}.

?
Задача III.2.2.2

Проверить, что множество PP матриц

±∥1001∥,±∥1−1−1−1∥,±∥−1−1−11∥,±∥01−10∥ \pm \left\Vert \begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\right\Vert , \quad \pm \left\Vert \begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ -1 & -1 \end{smallmatrix}\right\Vert , \quad \pm \left\Vert \begin{smallmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{smallmatrix}\right\Vert , \quad \pm \left\Vert \begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{smallmatrix}\right\Vert

над Z3Z_{3} составляет группу, изоморфную группе кватернионов Q8Q_{8} и являющуюся силовской 2 -подгруппой в SL(2,Z3)\mathrm{SL}\left(2, Z_{3}\right). Показать, что P◃SL(2,Z3)P \triangleleft \mathrm{SL}\left(2, Z_{3}\right).

?
Задача III.2.2.3

Показать, что группы S4S_{4} и SL(2,Z3)\mathrm{SL}\left(2, Z_{3}\right) не изоморфны. Будут ли изоморфны группы PSL⁡(2,Z3)\operatorname {PSL}\left(2, Z_{3}\right) и A4A_{4}?

?
Задача III.2.2.4

Доказать, что всякая группа GG порядка pqp q (p<qp<q — простые числа) является либо циклической, либо неабелевой с нормальной силовской qq-подгруппой, причём последнее возможно тогда и только тогда, когда q−1q-1 делится на pp. В частности, все группы порядка 15 циклические.

?
Задача III.2.2.5

Получить заново (см. [ВА I, гл. 6§16 \S 1, пример]) сравнение (p−1)!+1≡0( mod p)(p-1) !+1 \equiv 0(\bmod p) для простого pp путём прямого подсчёта числа NpN_{p} силовских pp-подгрупп в симметрической группе SpS_{p}.

?
Задача III.2.2.6

Убедиться в том, что группа GG порядка ∣G∣⩽30\left|G\right| \leqslant 30 не может быть простой.

?