§ III.2.1

Разрешимые и простые группы

[4/0%]
LaTeX
Задача III.2.1.1

Цепочка подгрупп

e=G0⊂G1⊂…⊂Gn⊂Gn+1=G e=G_{0} \subset G_{1} \subset \ldots \subset G_{n} \subset G_{n+1}=G

где Gi−1◃Gi,1⩽i⩽n+1G_{i-1} \triangleleft G_{i}, 1 \leqslant i \leqslant n+1, называется нормальным рядом группы GG. Нормальным называется также ряд убывающих подгрупп

G=G0⊃G1⊃…⊃Gn⊃Gn+1=e G=G_{0} \supset G_{1} \supset \ldots \supset G_{n} \supset G_{n+1}=e

где Gi+1◃GiG_{i+1} \triangleleft G_{i}.

Если все члены ряда (*) различны и Gi−1◃H◃Gi⟹H=Gi−1G_{i-1} \triangleleft H \triangleleft G_{i} \Longrightarrow H=G_{i-1} или H=GiH=G_{i} при всех ii, то говорят о композиционном ряде группы GG. Факторгруппы Fi=Gi/Gi−1F_{i}=G_{i} / G_{i-1} в этом случае называются композиционными факторами.

Показать, что:

  1. любой нормальный ряд конечной группы можно уплотнить до композиционного ряда, вставляя в него дополнительные члены до тех пор, пока это будет возможно;

  2. факторы FiF_{i} являются простыми группами (или циклическими группами простых порядков);

  3. группа GG разрешима ровно тогда, когда все её композиционные факторы являются циклическими группами простых порядков. Упомянем без доказательства о теореме Жордана-Гёльдера, согласно которой набор композиционных факторов группы GG с точностью до изоморфизма и порядка следования не зависит от выбора композиционного ряда.

?
Задача III.2.1.2

Доказать, что любая конечная pp-группа разрешима.

?
Задача III.2.1.3

Доказать простоту знакопеременной группы An,n⩾5A_{n}, n \geqslant 5, следуя набросанной ниже схеме рассуждений.

?
(а)

В нормальной подгруппе K◃An,K≠eK \triangleleft A_{n}, K \neq e, следует взять перестановку π≠e\pi \neq e, оставляющую на месте максимально возможное число mm символов из Ω={1,2,…,n}\Omega =\left\{ 1,2, \ldots , n\right\}. Если m=n−3m=n-3, то π=(ijk)\pi =(i j k) и K=AnK=A_{n} (см. [ВА I, гл. 4,§24, \S 2, упр. 11]), поэтому считаем m<n−3m<n-3.

(б)

Если π=(123…)…\pi =(123 \ldots ) \ldots — разложение π\pi на независимые циклы, то чётность π\pi и условие m<n−3m<n-3 влекут неравенство m<n−5m<n-5. Возможно ещё, что π=(12)(34)…\pi =(12)(34) \ldots состоит из независимых циклов длины 2.

(в)

В любом случае рассмотреть коммутатор (π,σ)=πσπ−1σ−1≠e(\pi , \sigma )=\pi \sigma \pi^{-1} \sigma^{-1} \neq e с σ=(345)\sigma =(345) и проверить, что он оставляет на месте более mm символов. Это противоречит выбору mm и доказывает утверждение.

Задача III.2.1.4

Показать, что знакопеременная группа A5A_{5} не содержит подгрупп порядков 15 и 20.

?