Сопряжённые и нормальные операторы

Доказать следуюшие свойства операции перехода к сопряжённому оператору в метрическом пространстве:

Найти матрицу оператора $\mathcal{A}^{*}$ в базисе е метрического векторного пространства $V$, если оператор $\mathcal{A}$ имеет в этом базисе матрицу $A$, а скалярное произведение — матрицу $G$.

Пусть $\left(e_{1}, e_{2}\right)$ — ортонормированный базис метрического векторного пространства и оператор $\mathcal{A}$ имеет в базисе $\left(e_{1}, e_{1}+e_{2}\right)$ матрицу $\left(\begin{array}{rr}1 & 2 \\ 1 & -1\end{array}\right)$. Найти матрицу оператора $\mathcal{A}^{*}$ в этом базисе.

Найти оператор, сопряжённый к проектированию координатной плоскости на ось абсцисс параллельно биссектрисе первой и третьей четвертей.

Пусть $\mathcal{A}$ — проектирование метрического векторного пространства $V$ на подпространство $V_{1}$ параллельно подпространству $V_{2}$. Доказать, что:

Доказать, что если подпространство метрического векторного пространства инвариантно относительно линейного оператора $\mathcal{A}$, то его ортогональное дополнение инвариантно относительно оператора $\mathcal{A}^{*}$.

Доказать, что ядро и образ сопряжённого оператора $\mathcal{A}^{*}$ являются ортогональными дополнениями соответственно к образу и ядру оператора $\mathcal{A}$.

Доказать, что если $x$ — собственный вектор операторов $\mathcal{A}$ и $\mathcal{A}^{*}$ в метрическом векторном пространстве с собственными значениями $\lambda$ и $\mu$, то $\mu =\bar{\lambda }$.

Пусть $V$ — пространство вещественных бесконечно дифференцируемых периодических функций периода $h>0$ со скалярным произведением $\int_{0}^{h} f(x) g(x) d x$.

Пусть $V$ — пространство вещественных бесконечно дифференцируемых функций на отрезке $[a, b]$ со скалярным произведением $\int_{a}^{b} f(x) g(x) d x$. Доказать, что:

Доказать, что если линейные операторы $\mathcal{A}$ и $\mathcal{B}$ в пространстве $\mathbb {R}\left[x\right]$ со скалярным произведением $\int_{a}^{b} f(x) g(x) d x$ определены правилами

где $P(x, y) \in \mathbb {R}\left[x, y\right]$, то $\mathcal{B}=\mathcal{A}^{*}$.

Доказать, что если $\mathcal{A}$ — самосопряжённый оператор, то функция $f(x, y)=(\mathcal{A} x, y)$ эрмитова.

Доказать, что если $\mathcal{A}$ и $\mathcal{B}$ — самосопряжённые операторы в метрическом векторном пространстве $V$ и $(\mathcal{A} x, x)=(\mathcal{B} x, x)$ для всех $x \in V$, то $\mathcal{A}=\mathcal{B}$.

Доказать, что оператор $\mathcal{A}$ в евклидовом или эрмитовом пространстве $V$ нормален тогда и только тогда, когда $\left|\mathcal{A} x\right|=\left|\mathcal{A}^{*} x\right|$ для всех $x \in V$.

Доказать, что если $x$ — собственный вектор нормального оператора $\mathcal{A}$ в евклидовом или эрмитовом пространстве с собственным значением $\lambda$, то $x$ — собственный вектор оператора $\mathcal{A}^{*}$ с собственным значением $\bar{\lambda }$.

Доказать, что собственные векторы нормального оператора в метрическом векторном пространстве с различными собственными значениями ортогональны.

Доказать, что:

Доказать, что любое множество перестановочных нормальных операторов в эрмитовом пространстве имеет общий ортонормированный базис.

Доказать, что если нормальный оператор $\mathcal{A}$ в эрмитовом пространстве перестановочен с оператором $\mathcal{B}$, то $\mathcal{A}$ перестановочен с $\mathcal{B}^{*}$.

Пусть $\mathcal{A}, B$ — нормальные операторы в эрмитовом пространстве, причём характеристические многочлены этих операторов равны. Доказать, что матрицы операторов $\mathcal{A}$ и $B$ в любом базисе подобны.

Пусть $\mathcal{A}$ — нормальный нильпотентный оператор в эрмитовом пространстве. Тогда $\mathcal{A}=0$.

Оператор $\mathcal{A}$ в эрмитовом пространстве нормален тогда и только тогда, когда $\mathcal{A}^{*}=p(\mathcal{A})$ для некоторого полинома $p(t)$.

Для всякого многочлена

положим

Доказать, что если $\mathcal{A}$ — оператор в метрическом пространстве, то:

Пусть $\mathcal{A}$ — нормальный оператор в метрическом векторном пространстве $V$ и $f(x) \in K[x]$.

Доказать, что:

Пусть $\mathcal{A}$ — нормальный оператор в евклидовом пространстве $V$, причём $\mathcal{A}^{2}=-E$. Доказать, что $\mathcal{A}^{*}=-\mathcal{A}$.

Пусть $p(t)=t^{2}+a t+b$ — вещественный неприводимый многочлен. Предположим, что $\mathcal{A}$ — нормальный оператор в евклидовом пространстве, причём $p(\mathcal{A})=0$. Доказать, что $A^{*}=-\mathcal{A}-a E$.

Пусть $\mathcal{A}$ — нормальный линейный оператор в евклидовом пространстве $V, U$ — двумерное инвариантное относительно $\mathcal{A}$ подпространство в $V$, причём $\mathcal{A}$ не имеет в $U$ собственных векторов. Доказать, что:

Пусть $\mathcal{A}$ — нормальный линейный оператор в двумерном евклидовом пространстве $U$, причём $\mathcal{A}$ не имеет собственных векторов. Пусть е $=\left(e_{1}, e_{2}\right)$ — ортонормированный базис. Доказать, что матрица оператора $\mathcal{A}$ в базисе $\mathbf{e}$ имеет вид

Пусть $\mathcal{A}$ — нормальный оператор в евклидовом пространстве $V$. Доказать, что в $V$ существует ортонормированный базис, в котором матрица оператора $\mathcal{A}$ имеет блочно-диагональный вид

размер клеток $A_{i}$ не выше двух, причём клетки $A_{i}$ размера два имеют вид

Доказать, что всякий оператор в евклидовом (эрмитовом) пространстве является суммой симметрического и кососимметрического (эрмитова и косоэрмитова) операторов.

Доказать, что всякий оператор $\mathcal{A}$ в евклидовом пространстве $V$ кососимметричен тогда и только тогда, когда для любого $x \in V$ векторы $x$ и $\mathcal{A} x$ ортогональны.

Доказать, что для всякого кососимметрического оператора в евклидовом пространстве существует ортонормированный базис, в котором его матрица имеет клеточно-диагональный вид, где по главной диагонали стоят нули или клетки вида