Метрические векторные пространства

Какие из векторных пространств с билинейными формами из задачи 37.1 являются метрическими?

Доказать, что вещественная часть $f(x, y)$ и мнимая часть $g(x, y)$ эрмитовой функции на комплексном векторном пространстве $V$ инвариантны относительно умножения на $i$, т.е. для любых векторов $x, y \in V$

Доказать, что метрическое векторное пространство является прямой суммой подпространства $L$ и его ортогонального дополнения $L^{\perp }$ тогда и только тогда, когда скалярное произведение на $L$ невырождено и что в этом случае скалярное произведение на $L^{\perp }$ также невырождено.

В пространстве $\mathbf{M}_{n}(\mathbb {C})$ с эрмитовым скалярным произведением

найти ортогональное дополнение к подпространству:

Показать, что эрмитово и евклидово пространства являются нормированными.

Какие из нормирований пространств $\mathbb {R}^{n}, \mathbb {C}^{n}$ из задачи 42.1 индуцированы евклидовой или эрмитовой метрикой?

Дополнить до ортогонального базиса систему векторов евклидова и эрмитова пространства:

Найти ортогональную проекцию вектора $x$ евклидова (эрмитова) пространства на линейную оболочку ортонормированной системы векторов $\left(e_{1}, \ldots , e_{k}\right)$.

Доказать, что в любых двух подпространствах евклидова (эрмитова) пространства можно выбрать ортонормированные базисы $\left(e_{1}, \ldots , e_{k}\right)$ и $\left(f_{1}, \ldots , f_{l}\right)$ таким образом, чтобы $\left(e_{i}, f_{j}\right)=0$ при $i \neq j$ и $\left(e_{i}, f_{i}\right) \geqslant 0$.

Пусть $\left(e_{1}, \ldots , e_{k}\right)$ и $\left(f_{1}, \ldots , f_{l}\right)$ — ортонормированные базисы подпространств $L$ и $M$ евклидова (эрмитова) пространства, $A=\left(\left(e_{i}, f_{j}\right)\right)$ — матрица порядка $k \times l$. Доказать, что все характеристические числа матрицы ${ }^{t} A \cdot A$ принадлежат отрезку $[0,1]$ и не зависят от выбора базисов в подпространствах $L$ и $M$.

Доказать, что всякая вещественная симметрическая матрица ранга $\leqslant n$ с неотрицательными (соответственно положительными) главными минорами является матрицей Грама некоторой системы (соответственно линейно независимой системы) векторов $n$-мерного евклидова пространства.

Доказать аналогичное утверждение для эрмитовой матрицы и эрмитова пространства.

Доказать, что сумма квадратов длин проекций векторов любого ортонормированного базиса евклидова (эрмитова) пространства на $k$-мерное подпространство равна $k$.

Пусть $G$ — матрица скалярного произведения в базисе $\left(e_{1}, \ldots , e_{n}\right)$ евклидова пространства $V$. Найти матрицу перехода к сопряжённому базису $\left(f_{1}, \ldots , f_{n}\right)$ и матрицу скалярного произведения в этом базисе.

Пусть $S$ — матрица перехода от базиса е к базису $\mathbf{e}^{\prime }$. Найти матрицу перехода от базиса $\mathbf{e}^{\prime }$, сопряжённого к $\mathbf{e}$, к базису $\mathbf{f}^{\prime }$, сопряжённому к $\mathbf{f}$ :

С помощью процесса ортогонализации построить ортогональный базис линейной оболочки системы векторов евклидова (эрмитова) пространства:

Найти базис ортогонального дополнения линейной оболочки системы векторов евклидова (эрмитова) пространства:

Доказать, что системы линейных уравнений, задающих линейное подпространство в $\mathbb {R}^{n}$ и его ортогональное дополнение, связаны следующим образом: коэффициенты линейно независимой системы, задающей одно из этих подпространств, являются координатами векторов базиса другого подпространства.

Найти уравнения, задающие ортогональное дополнение к подпространству, заданному системой уравнений:

Найти проекцию вектора $x$ на подпространство $L$ и ортогональную составляющую вектора $x$ :

Доказать, что если в процессе ортогонализации система векторов $a_{1}, \ldots , a_{n}$ переходит в систему $b_{1}, \ldots , b_{n}$, то вектор $b_{k}$ есть ортогональная составляющая вектора $a_{k}$ относительно линейной оболочки системы $a_{1}, \ldots , a_{k-1}(k>1)$.

Найти расстояние от вектора $x$ до подпространства, заданного системой уравнений:

Пусть $\left(e_{1}, \ldots , e_{k}\right)$ — ортонормированная система векторов $n$-мерного евклидова (эрмитова) пространства. Доказать, что для любого вектора $x$ выполняется неравенство Бесселя

причём равенство достигается для любого $x$ тогда и только тогда, когда $k=n$, т.е. данная система векторов является ортонормированным базисом пространства $V$ (равенство Парсевалля.)

Пользуясь неравенством Коши, доказать, что

для любых комплексных чисел $a_{1}, \ldots , a_{k}, b_{1}, \ldots , b_{k}$.

Доказать, что квадрат расстояния от вектора $x$ евклидова (эрмитова) пространства до подпространства с базисом $(e_{1}, \ldots , e_{k})$ равен отношению определителей Грама систем векторов $\left(e_{1}, \ldots , e_{k}, x\right)$ и $\left(e_{1}, \ldots , e_{k}\right)$.

Доказать, что определитель Грама любой системы векторов:

Доказать, что определитель матрицы положительно определённой квадратичной формы не превосходит произведения элементов её главной диагонали.

Доказать, что для любой вещественной квадратной матрицы $A=\left(a_{i j}\right)$ порядка $n$ выполняется неравенство $A$ дамара

причём равенство имеет место тогда и только тогда, когда либо

либо матрица $A$ имеет нулевую строку. Сформулировать и доказать аналогичное утверждение для комплексной матрицы $A$.

Найти длины сторон и внутренние углы треугольника $A B C$ в пространстве $\mathbb {R}^{5}$ :

С помощью скалярного произведения векторов доказать, что:

Методом наименьших квадратов решить переопределённую систему линейных уравнений:

Доказать, что квадрат диагонали $n$-мерного прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его рёбер, выходящих из одной вершины.

Найти число диагоналей $n$-мерного куба, ортогональных данной диагонали.

Найти длину диагонали $n$-мерного куба с ребром $a$ и углы между диагоналями куба и его рёбрами.

Найти радиус шара, описанного около $n$-мерного куба с ребром $a$, и решить неравенство $R<a$.

Доказать, что длина ортогональной проекции ребра $n$-мерного куба на любую его диагональ равна $1 / n$ длины диагонали.

Вычислить объём $n$-мерного параллелепипеда со сторонами:

Доказать, что для объёма параллелепипеда выполняется неравенство

причём равенство имеет место тогда и только тогда, когда $\left(a_{i}, b_{j}\right)=0$ при всех $i$ и $j$.

Найти угол между вектором $x$ и подпространством $L$ :

Доказать, что если каждые два различных из $k$ векторов евклидова пространства $V$ образуют между собой угол $\pi / 3$, то $k \leqslant \operatorname {dim} V$.

Доказать, что если каждые два различных из $k$ векторов евклидова пространства образуют тупой угол, то $k \leqslant 1+\operatorname {dim} V$.

Найти угол между диагональю $n$-мерного куба и его $k$-мерной гранью.

Найти угол между двумерными гранями $a_{0} a_{1} a_{2}$ и $a_{0} a_{3} a_{4}$ правильного четырехмерного симплекса $a_{0} a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}$.

Найти угол между подпространствами

Многочлены

называются многочленами Лежандра.

В пространстве $\mathbb {R}\left[x\right]_{n}$ со скалярным произведением

найти:

В пространстве $L$ непрерывных функций на отрезке $[-\pi , \pi ]$ со скалярным произведением

найти проекцию функции $t^{m}$ на подпространство

Пусть $V$ — псевдоевклидово пространство сигнатуры $(p, q)$ и $W$ — подпространство в $V$. Доказать, что:

Пусть на векторном пространстве задано невырожденное скалярное произведение сигнатуры $(p, q)$ и ограничение его на подпространство $W$ — невырожденное скалярное произведение сигнатуры $(p^{\prime }, q^{\prime })$. Доказать, что ограничение скалярного произведения на $W^{\perp }$ невырождено и имеет сигнатуру $\left(p-p^{\prime }, q-q^{\prime }\right)$.

Доказать, что в псев доевклидовом пространстве сигнатуры $(p, q)$, где $p$ и $q$ отличны от нуля, существует базис, состоящий из изотропных векторов.

Доказать следуюшие свойства операции перехода к сопряжённому оператору в метрическом пространстве:

Найти матрицу оператора $\mathcal{A}^{*}$ в базисе е метрического векторного пространства $V$, если оператор $\mathcal{A}$ имеет в этом базисе матрицу $A$, а скалярное произведение — матрицу $G$.

Пусть $\left(e_{1}, e_{2}\right)$ — ортонормированный базис метрического векторного пространства и оператор $\mathcal{A}$ имеет в базисе $\left(e_{1}, e_{1}+e_{2}\right)$ матрицу $\left(\begin{array}{rr}1 & 2 \\ 1 & -1\end{array}\right)$. Найти матрицу оператора $\mathcal{A}^{*}$ в этом базисе.

Найти оператор, сопряжённый к проектированию координатной плоскости на ось абсцисс параллельно биссектрисе первой и третьей четвертей.

Пусть $\mathcal{A}$ — проектирование метрического векторного пространства $V$ на подпространство $V_{1}$ параллельно подпространству $V_{2}$. Доказать, что:

Доказать, что если подпространство метрического векторного пространства инвариантно относительно линейного оператора $\mathcal{A}$, то его ортогональное дополнение инвариантно относительно оператора $\mathcal{A}^{*}$.

Доказать, что ядро и образ сопряжённого оператора $\mathcal{A}^{*}$ являются ортогональными дополнениями соответственно к образу и ядру оператора $\mathcal{A}$.

Доказать, что если $x$ — собственный вектор операторов $\mathcal{A}$ и $\mathcal{A}^{*}$ в метрическом векторном пространстве с собственными значениями $\lambda$ и $\mu$, то $\mu =\bar{\lambda }$.

Пусть $V$ — пространство вещественных бесконечно дифференцируемых периодических функций периода $h>0$ со скалярным произведением $\int_{0}^{h} f(x) g(x) d x$.

Пусть $V$ — пространство вещественных бесконечно дифференцируемых функций на отрезке $[a, b]$ со скалярным произведением $\int_{a}^{b} f(x) g(x) d x$. Доказать, что:

Доказать, что если линейные операторы $\mathcal{A}$ и $\mathcal{B}$ в пространстве $\mathbb {R}\left[x\right]$ со скалярным произведением $\int_{a}^{b} f(x) g(x) d x$ определены правилами

где $P(x, y) \in \mathbb {R}\left[x, y\right]$, то $\mathcal{B}=\mathcal{A}^{*}$.

Доказать, что если $\mathcal{A}$ — самосопряжённый оператор, то функция $f(x, y)=(\mathcal{A} x, y)$ эрмитова.

Доказать, что если $\mathcal{A}$ и $\mathcal{B}$ — самосопряжённые операторы в метрическом векторном пространстве $V$ и $(\mathcal{A} x, x)=(\mathcal{B} x, x)$ для всех $x \in V$, то $\mathcal{A}=\mathcal{B}$.

Доказать, что оператор $\mathcal{A}$ в евклидовом или эрмитовом пространстве $V$ нормален тогда и только тогда, когда $\left|\mathcal{A} x\right|=\left|\mathcal{A}^{*} x\right|$ для всех $x \in V$.

Доказать, что если $x$ — собственный вектор нормального оператора $\mathcal{A}$ в евклидовом или эрмитовом пространстве с собственным значением $\lambda$, то $x$ — собственный вектор оператора $\mathcal{A}^{*}$ с собственным значением $\bar{\lambda }$.

Доказать, что собственные векторы нормального оператора в метрическом векторном пространстве с различными собственными значениями ортогональны.

Доказать, что:

Доказать, что любое множество перестановочных нормальных операторов в эрмитовом пространстве имеет общий ортонормированный базис.

Доказать, что если нормальный оператор $\mathcal{A}$ в эрмитовом пространстве перестановочен с оператором $\mathcal{B}$, то $\mathcal{A}$ перестановочен с $\mathcal{B}^{*}$.

Пусть $\mathcal{A}, B$ — нормальные операторы в эрмитовом пространстве, причём характеристические многочлены этих операторов равны. Доказать, что матрицы операторов $\mathcal{A}$ и $B$ в любом базисе подобны.

Пусть $\mathcal{A}$ — нормальный нильпотентный оператор в эрмитовом пространстве. Тогда $\mathcal{A}=0$.

Оператор $\mathcal{A}$ в эрмитовом пространстве нормален тогда и только тогда, когда $\mathcal{A}^{*}=p(\mathcal{A})$ для некоторого полинома $p(t)$.

Для всякого многочлена

положим

Доказать, что если $\mathcal{A}$ — оператор в метрическом пространстве, то:

Пусть $\mathcal{A}$ — нормальный оператор в метрическом векторном пространстве $V$ и $f(x) \in K[x]$.

Доказать, что:

Пусть $\mathcal{A}$ — нормальный оператор в евклидовом пространстве $V$, причём $\mathcal{A}^{2}=-E$. Доказать, что $\mathcal{A}^{*}=-\mathcal{A}$.

Пусть $p(t)=t^{2}+a t+b$ — вещественный неприводимый многочлен. Предположим, что $\mathcal{A}$ — нормальный оператор в евклидовом пространстве, причём $p(\mathcal{A})=0$. Доказать, что $A^{*}=-\mathcal{A}-a E$.

Пусть $\mathcal{A}$ — нормальный линейный оператор в евклидовом пространстве $V, U$ — двумерное инвариантное относительно $\mathcal{A}$ подпространство в $V$, причём $\mathcal{A}$ не имеет в $U$ собственных векторов. Доказать, что: