24

Связь комплексных чисел с геометрией на плоскости

[26/65%]
Показать
LaTeX
Задача 24.1

Изобразить на плоскости точки, соответствующие числам 5,−2,−3i,±1±i35,-2,-3 i, \pm 1 \pm i \sqrt{3}.

?
Задача 24.2

Найти комплексные числа, соответствующие:

?
(а)

вершинам квадрата с центром в начале координат, со сторонами длины 1, параллельными осям координат;

(б)

вершинам правильного треугольника с центром в начале координат, стороной, параллельной оси координат, вершиной на отрицательной вещественной полуоси и радиусом описанного круга, равным 1;

(в)

вершинам правильного шестиугольника с центром в точке 2+i32+i \sqrt{3}, стороной, параллельной оси абсцисс, и радиусом описанного круга, равным 2 ;

(г)

вершинам правильного nn-угольника с центром в начале координат, одной из вершин которого является 1.

Задача 24.3

Указать геометрический смысл выражения ∣z1−z2∣\left|z_{1}-z_{2}\right|, где z1z_{1} и z2z_{2} — заданные комплексные числа.

?
Задача 24.4

Указать геометрический смысл числа arg⁡z1−z2z2−z3\arg \frac{z_{1}-z_{2}}{z_{2}-z_{3}}, где z1,z2,z3z_{1}, z_{2}, z_{3} — различные комплексные числа.

?
Задача 24.5

Как расположены на плоскости точки, соответствующие:

?
(а)

комплексным числам z1,z2,z3z_{1}, z_{2}, z_{3}, для которых

z1+z2+z3=0,∣z1∣=∣z2∣=∣z3∣≠0 z_{1}+z_{2}+z_{3}=0, \quad \left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=\left|z_{3}\right| \neq 0
(б)

комплексным числам z1,z2,z3,z4z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}, для которых

z1+z2+z3+z4=0,∣z1∣=∣z2∣=∣z3∣=∣z4∣≠0 z_{1}+z_{2}+z_{3}+z_{4}=0, \quad \left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=\left|z_{3}\right|=\left|z_{4}\right| \neq 0
Задача 24.6

Изобразить на плоскости множество точек, соответствующих комплексным числам zz, удовлетворяющим условиям:

?
(а)

∣z∣=1\left|z\right|=1;

(б)

arg⁡z=π/3;\arg z=\pi / 3 ;

(в)

∣z∣⩽2\left|z\right| \leqslant 2;

(г)

∣z−1−i∣<1\left|z-1-i\right|<1;

(д)

∣z+3+4i∣⩽5\left|z+3+4 i\right| \leqslant 5;

(е)

2<∣z∣<32<\left|z\right|<3;

(ж)

1⩽∣z−2i∣<21 \leqslant \left|z-2 i\right|<2;

(з)

∣arg⁡z∣<π/6\left|\arg z\right|<\pi / 6;

(и)

∣Re⁡z∣⩽1\left|\operatorname {Re} z\right| \leqslant 1;

(к)

−1<Re⁡iz<0;-1<\operatorname {Re} i z<0 ; \quad

(л)

∣Im⁡z∣=1;\left|\operatorname {Im} z\right|=1 ; \quad

(м)

∣Re⁡z+Im⁡z∣<1;\left|\operatorname {Re} z+\operatorname {Im} z\right|<1 ;

(н)

∣z−1∣+∣z+1∣=3\left|z-1\right|+\left|z+1\right|=3;

(о)

∣z+2∣−∣z−2∣=3\left|z+2\right|-\left|z-2\right|=3;

(п)

∣z−2∣=Re⁡z+2\left|z-2\right|=\operatorname {Re} z+2;

(р)

α<arg⁡(z−z0)<β\alpha <\arg \left(z-z_{0}\right)<\beta, где −π<α<β⩽π-\pi <\alpha <\beta \leqslant \pi и z0z_{0} — заданное комплексное число.

Задача 24.7

Доказать тождество

∣z+w∣2+∣z−w∣2=2∣z∣2+2∣w∣2 \left|z+w\right|^{2}+\left|z-w\right|^{2}=2\left|z\right|^{2}+2\left|w\right|^{2}

и указать его геометрический смысл.

?
Задача 24.8

Пусть комплексные числа z1,z2,z3z_{1}, z_{2}, z_{3} соответствуют вершинам параллелограмма A1,A2,A3A_{1}, A_{2}, A_{3}. Найти число, соответствующее вершине A4A_{4}, противолежащей A2A_{2}.

?
Задача 24.9

Найти комплексные числа, соответствующие противоположным вершинам квадрата, если двум его другим противоположным вершинам соответствуют числа zz и ww.

?
Задача 24.10

Найти комплексные числа, соответствующие вершинам правильного nn-угольника, если двум его соседним вершинам соответствуют числа z0z_{0} и z1z_{1}.

?
Задача 24.11

Изобразить на плоскости множество точек, соответствующих комплексным числам z=1+ti1−tiz=\frac{1+t i}{1-t i}, где t∈Rt \in \mathbb {R}.

?
Задача 24.12

Доказать, что:

?
(а)

точки плоскости, соответствующие комплексным числам z1,z2z_{1}, z_{2}, z3z_{3}, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда существуют вещественные числа λ1,λ2,λ3\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}, не все равные нулю, такие, что

λ1z1+λ2z2+λ3z3=0,λ1+λ2+λ3=0 \lambda _{1} z_{1}+\lambda _{2} z_{2}+\lambda _{3} z_{3}=0, \quad \lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=0
(б)

точки плоскости, соответствующие различным комплексным числам z1,z2,z3z_{1}, z_{2}, z_{3}, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда число z1−z3z2−z3\frac{z_{1}-z_{3}}{z_{2}-z_{3}} является вещественным;

(в)

точки плоскости, соответствующие различным комплексным числам z1,z2,z3,z4z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4} и не лежащие на одной прямой, лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда их двойное отношение z1−z3z2−z3:z1−z4z2−z4\frac{z_{1}-z_{3}}{z_{2}-z_{3}}: \frac{z_{1}-z_{4}}{z_{2}-z_{4}} является вещественным числом.

Задача 24.13

Изобразить на плоскости множество точек, соответствующих комплексным числам zz, удовлетворяющим равенству ∣z−z1z−z2∣=λ\left|\frac{z-z_{1}}{z-z_{2}}\right|=\lambda, где z1,z2∈Cz_{1}, z_{2} \in \mathbb {C} и λ\lambda — положительное действительное число.

?
Задача 24.14

Найти min⁡∣3+2i−z∣\min \left|3+2 i-z\right| при ∣z∣⩽1\left|z\right| \leqslant 1.

?
Задача 24.15

Найти max⁡∣1+4i−z∣\max \left|1+4 i-z\right| при ∣z−10i+2∣⩽1\left|z-10 i+2\right| \leqslant 1.

?
Задача 24.16

Изобразить на плоскости множество точек, соответствующих комплексным числам zz, удовлетворяющим равенству ∣z2−1∣=λ\left|z^{2}-1\right|=\lambda. При λ=1\lambda =1 записать уравнение полученной кривой в полярных координатах.

?
Задача 24.17

Расширенной комплексной плоскостью называется комплексная плоскость, дополненная бесконечно удаленной точкой ∞\infty. Доказать, что если (z1,z2,z3)\left(z_{1}, z_{2}, z_{3}\right) и (w1,w2,w3)\left(w_{1}, w_{2}, w_{3}\right) — две тройки попарно различных точек расширенной комплексной плоскости, то существует дробно-линейное преобразование

w=az+bcz+d,a,b,c,d∈C,ad−bc≠0 w=\frac{a z+b}{c z+d}, \quad a, b, c, d \in \mathbb {C}, \quad a d-b c \neq 0

переводящее первую тройку во вторую.

?
Задача 24.18

Доказать, что если в каждой из двух четвёрок (z1,z2,z3\left(z_{1}, z_{2}, z_{3}\right., z4)\left.z_{4}\right) и (w1,w2,w3,w4)\left(w_{1}, w_{2}, w_{3}, w_{4}\right) точек расширенной комплексной плоскости все точки попарно различны, то дробно-линейное преобразование, переводящее одну из этих четвёрок в другую, существует тогда и только тогда, когда совпадают двойные отношения:

z1−z3z2−z3:z1−z4z2−z4=w1−w3w2−w3:w1−w4w2−w4 \frac{z_{1}-z_{3}}{z_{2}-z_{3}}: \frac{z_{1}-z_{4}}{z_{2}-z_{4}}=\frac{w_{1}-w_{3}}{w_{2}-w_{3}}: \frac{w_{1}-w_{4}}{w_{2}-w_{4}}
?
Задача 24.19

Доказать, что при дробно-линейном преобразовании расширенной комплексной плоскости прямые и окружности переходят в прямые и окружности.

?
Задача 24.20

Доказать, что дробно-линейное преобразование

w=az+bcz+d,ad−bc=1 w=\frac{a z+b}{c z+d}, \quad a d-b c=1

переходит вещественную прямую в себя тогда и только тогда, когда матрица (abcd)\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) пропорциональна вещественной матрице.

?
Задача 24.21

Выяснить геометрический смысл дробно-линейного преобразования w=1/zw=1 / z.

?
Задача 24.22

Выяснить геометрический смысл преобразования комплексной плоскости, заданного формулой w=zn(n⩾2)w=z^{n} \quad (n \geqslant 2).

?
Задача 24.23

Доказать, что функция Жуковского w=12(z+1z)w=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right) отображает:

?
(а)

окружность ∣z∣=1\left|z\right|=1 на отрезок [−1,1][-1,1] действительной оси;

(б)

окружность ∣z∣=R,R≠1\left|z\right|=R, R \neq 1, в эллипс с фокусами −1,1-1,1;

(в)

луч arg⁡z=φ\arg z=\varphi в ветвь гиперболы с фокусами −1,1-1,1.

Задача 24.24

Доказать, что всякое дробно-линейное преобразование, отображающее открытую верхнюю полуплоскость на внутренность единичного круга с центром в начале координат, имеет вид

w=az−bz−bˉ,∣a∣=1,Im⁡b>0 w=a \frac{z-b}{z-\bar{b}}, \quad \left|a\right|=1, \quad \operatorname {Im} b>0
?
Задача 24.25

Доказать, что всякое дробно-линейное преобразование, отображающее единичный круг с центром в начале координат на себя, имеет вид

w=az−b1−zbˉ,∣a∣=1,b<1 w=a \frac{z-b}{1-z \bar{b}}, \quad \left|a\right|=1, \quad b<1
?
Задача 24.26

Для каких комплексных чисел aa отображение z→z+az2z \rightarrow z+a z^{2} отображает круг ∣z∣⩽1\left|z\right| \leqslant 1 биективно в себя?

?