Глава V

Комплексные числа

[85/69%]
Показать
LaTeX
§
20 · Комплексные числа в алгебраической форме[11/73%]
Задача 20.1

Вычислить выражения:

?
(а)

(2+i)(3−i)+(2+3i)(3+4i)(2+i)(3-i)+(2+3 i)(3+4 i);

(б)

(2+i)(3+7i)−(1+2i)(5+3i)(2+i)(3+7 i)-(1+2 i)(5+3 i);

(в)

(4+i)(5+3i)−(3+i)(3−i)(4+i)(5+3 i)-(3+i)(3-i);

(г)

(5+i)(7−6i)3+i\frac{(5+i)(7-6 i)}{3+i};

(д)

(5+i)(3+5i)2i\frac{(5+i)(3+5 i)}{2 i};

(е)

(1+3i)(8−i)(2+i)2\frac{(1+3 i)(8-i)}{(2+i)^{2}};

(ж)

(2+i)(4+i)1+i\frac{(2+i)(4+i)}{1+i};

(з)

(3−i)(1−4i)2−i\frac{(3-i)(1-4 i)}{2-i};

(и)

(2+i)3+(2−i)3(2+i)^{3}+(2-i)^{3};

(к)

(3+i)3−(3−i)3(3+i)^{3}-(3-i)^{3};

(л)

(1+i)5(1−i)3\frac{(1+i)^{5}}{(1-i)^{3}};

(м)

(−12+32i)3\left(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i\right)^{3};

(н)

(−12−32i)3\left(-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i\right)^{3}.

Задача 20.2

Вычислить i77,i98,i−57,ini^{77}, i^{98}, i^{-57}, i^{n}, где nn — целое число.

?
Задача 20.3

Доказать равенства:

?
(а)

(1+i)8n=24n,n∈Z(1+i)^{8 n}=2^{4 n}, \quad n \in \mathbb {Z};

(б)

(1+i)4n=(−1)22n,n∈Z(1+i)^{4 n}=(-1) 2^{2 n}, \quad n \in \mathbb {Z}.

Задача 20.4

Решить систему уравнений:

?
(а)

{(1+i)z1+(1−i)z2=1+i,(1−i)z1+(1+i)z2=1+3i;\begin{cases} (1+i) z_{1}+(1-i) z_{2}=1+i, \\ (1-i) z_{1}+(1+i) z_{2}=1+3 i ; \end{cases}

(б)

{iz1+(1+i)z2=2+2i,2iz1+(3+2i)z2=5+3i;\begin{cases} i z_{1}+(1+i) z_{2}=2+2 i, \\ 2 i z_{1}+(3+2 i) z_{2}=5+3 i ; \end{cases}

(в)

{(1−i)z1−3iz2=−i,2z1−(3+3i)z2=3−i;\begin{cases} (1-i) z_{1}-3 i z_{2}=-i, \\ 2 z_{1}-(3+3 i) z_{2}=3-i ; \end{cases}

(г)

{2z1−(2+i)z2=−i,(4−2i)z1−5z2=−1−2i;\begin{cases} 2 z_{1}-(2+i) z_{2}=-i, \\ (4-2 i) z_{1}-5 z_{2}=-1-2 i ; \end{cases}

(д)

{x+iy−2z=10,x−y+2iz=20,ix+3iy−(1+i)z=30.\begin{cases} x+i y-2 z=10, \\ x-y+2 i z=20, \\ i x+3 i y-(1+i) z=30. \end{cases}

Задача 20.5

Найти вещественные числа xx и yy, удовлетворяющие уравнению:

?
(а)

(2+i)x+(1+2i)y=1−4i(2+i) x+(1+2 i) y=1-4 i;

(б)

(3+2i)x+(1+3i)y=4−9i(3+2 i) x+(1+3 i) y=4-9 i.

Задача 20.6

Доказать, что:

?
(а)

комплексное число zz является вещественным тогда и только тогда, когда zˉ=z\bar{z}=z;

(б)

комплексное число zz является чисто мнимым тогда и только тогда, когда zˉ=−z\bar{z}=-z.

Задача 20.7

Доказать, что:

?
(а)

произведение двух комплексных чисел является вещественным тогда и только тогда, когда одно из них отличается от сопряжённого к другому вещественным множителем;

(б)

сумма и произведение двух комплексных чисел являются вещественными тогда и только тогда, когда данные числа или сопряжены, или оба вещественны.

Задача 20.8

Найти все комплексные числа, сопряжённые:

?
(а)

своему квадрату;

(б)

своему кубу.

Задача 20.9

Доказать, что если из данных комплексных чисел z1,z2,…,znz_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n} при применении конечного числа операций сложения, вычитания, умножения и деления получается число zz, то из чисел zˉ1,zˉ2,…,zˉn\bar{z}_{1}, \bar{z}_{2}, \ldots , \bar{z}_{n} при применении тех же операций получается число zˉ\bar{z}.

?
Задача 20.10

Доказать, что определитель

[z1zˉ1az2zˉ2bz3zˉ3c] \left[\begin{smallmatrix} z_{1} & \bar{z}_{1} & a \\ z_{2} & \bar{z}_{2} & b \\ z_{3} & \bar{z}_{3} & c \end{smallmatrix}\right]

где z1,z2,z3z_{1}, z_{2}, z_{3} — комплексные и a,b,ca, b, c — вещественные числа, является чисто мнимым числом.

?
Задача 20.11

Решить уравнения:

?
(а)

z2=iz^{2}=i;

(б)

z2=3−4iz^{2}=3-4 i;

(в)

z2=5−12iz^{2}=5-12 i;

(г)

z2−(1+i)z+6+3i=0z^{2}-(1+i) z+6+3 i=0;

(д)

z2−5z+4+10i=0z^{2}-5 z+4+10 i=0;

(е)

z2+(2i−7)z+13−i=0z^{2}+(2 i-7) z+13-i=0.

§
21 · Комплексные числа в тригонометрической форме[14/71%]
Задача 21.1

Найти тригонометрическую форму числа:

?
(а)

5 ;

(б)

ii;

(в)

-2 ;

(г)

−3i-3 i;

(д)

1+i1+i;

(е)

1−i1-i;

(ж)

1+i31+i \sqrt{3};

(з)

−1+i3-1+i \sqrt{3};

(и)

−1−i3-1-i \sqrt{3};

(к)

1−i31-i \sqrt{3};

(л)

3+i\sqrt{3}+i;

(м)

−3+i-\sqrt{3}+i;

(н)

−3−i-\sqrt{3}-i;

(о)

3−i\sqrt{3}-i;

(п)

1+i331+i \frac{\sqrt{3}}{3};

(р)

2+3+i2+\sqrt{3}+i;

(с)

1−(2+3)i1-(2+\sqrt{3}) i;

(т)

cos⁡α−isin⁡α\cos \alpha -i \sin \alpha;

(у)

sin⁡α+icos⁡α\sin \alpha +i \cos \alpha;

(ф)

1+itg⁡α1−itg⁡α\frac{1+i \operatorname {tg} \alpha }{1-i \operatorname {tg} \alpha };

(х)

1+cos⁡φ+isin⁡φ,φ∈[−π,π];1+\cos \varphi +i \sin \varphi , \quad \varphi \in [-\pi , \pi ] ;

(ц)

cos⁡φ+isin⁡φcos⁡ψ+isin⁡ψ\frac{\cos \varphi +i \sin \varphi }{\cos \psi +i \sin \psi }.

Задача 21.2

Вычислить выражения:

?
(а)

(1+i)1000(1+i)^{1000};

(б)

(1+i3)150(1+i \sqrt{3})^{150};

(в)

(3+i)30(\sqrt{3}+i)^{30};

(г)

(1+32+i2)24\left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}\right)^{24};

(д)

(2−3+i)12(2-\sqrt{3}+i)^{12};

(е)

(1−i31+i)12\left(\frac{1-i \sqrt{3}}{1+i}\right)^{12};

(ж)

(3+i1−i)30\left(\frac{\sqrt{3}+i}{1-i}\right)^{30};

(з)

(−1+i3)15(1−i)20+(−1−i3)15(1+i)20\frac{(-1+i \sqrt{3})^{15}}{(1-i)^{20}}+\frac{(-1-i \sqrt{3})^{15}}{(1+i)^{20}}.

Задача 21.3

Решить уравнения:

?
(а)

∣z∣+z=8+4i\left|z\right|+z=8+4 i;

(б)

∣z∣−z=8+12i\left|z\right|-z=8+12 i.

Задача 21.4

Доказать следующие свойства модуля комплексных чисел:

?
(а)

∣z1±z2∣⩽∣z1∣+∣z2∣\left|z_{1} \pm z_{2}\right| \leqslant \left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|;

(б)

∣∣z1∣−∣z2∣∣⩽∣z1±z2∣\left|\left|z_{1}\right|-\left|z_{2}\right|\right| \leqslant \left|z_{1} \pm z_{2}\right|;

(в)

∣z1+z2∣=∣z1∣+∣z2∣\left|z_{1}+z_{2}\right|=\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right| тогда и только тогда, когда векторы z1z_{1} и z2z_{2} имеют одинаковые направления;

(г)

∣z1+z2∣=∣∣z1∣−∣z2∣∣\left|z_{1}+z_{2}\right|=\left|\left|z_{1}\right|-\left|z_{2}\right|\right| тогда и только тогда, когда векторы z1z_{1} и z2z_{2} имеют противоположные направления.

Задача 21.5

Доказать, что:

?
(а)

если ∣z∣<1\left|z\right|<1, то ∣z2−z+i∣<3\left|z^{2}-z+i\right|<3;

(б)

если ∣z∣⩽2\left|z\right| \leqslant 2, то 1⩽∣z2−5∣⩽91 \leqslant \left|z^{2}-5\right| \leqslant 9;

(в)

если ∣z∣<1/2\left|z\right|<1 / 2, то ∣(1+i)z3+iz∣<3/4\left|(1+i) z^{3}+i z\right|<3 / 4.

Задача 21.6

Доказать неравенство

∣z1−z2∣⩽∣∣z1∣−∣z2∣∣+min⁡{∣z1∣,∣z2∣}⋅∣arg⁡z1−arg⁡z2∣. \left|z_{1}-z_{2}\right| \leqslant \left|\left|z_{1}\right|-\left|z_{2}\right|\right|+\min \left\{ \left|z_{1}\right|,\left|z_{2}\right|\right\} \cdot \left|\arg z_{1}-\arg z_{2}\right|.

В каком случае это неравенство обращается в равенство?

?
Задача 21.7

Доказать, что если u=z1z2u=\sqrt{z_{1} z_{2}}, то

∣z1∣+∣z2∣=∣z1+z22−z1z2∣+∣z1+z22+z1z2∣. \left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|=\left|\frac{z_{1}+z_{2}}{2}-\sqrt{z_{1} z_{2}}\right|+\left|\frac{z_{1}+z_{2}}{2}+\sqrt{z_{1} z_{2}}\right|.
?
Задача 21.8

Доказать формулу Муавра

[r(cos⁡φ+isin⁡φ)]n=rn(cos⁡nφ+isin⁡nφ) [r(\cos \varphi +i \sin \varphi )]^{n}=r^{n}(\cos n \varphi +i \sin n \varphi )

для целых n≠0n \neq 0.

?
Задача 21.9

При n∈Zn \in \mathbb {Z} вычислить выражения:

?
(а)

(1+i)n(1+i)^{n};

(б)

(1−i32)n\left(\frac{1-i \sqrt{3}}{2}\right)^{n};

(в)

(1−itg⁡α1+itg⁡α)n\left(\frac{1-i \operatorname {tg} \alpha }{1+i \operatorname {tg} \alpha }\right)^{n};

(г)

(1+cos⁡φ+isin⁡φ)n(1+\cos \varphi +i \sin \varphi )^{n}.

Задача 21.10

Доказать, что если z+z−1=2cos⁡φz+z^{-1}=2 \cos \varphi, то zn+z−n=2cos⁡nφz^{n}+z^{-n}=2 \cos n \varphi, где n∈Zn \in \mathbb {Z}.

?
Задача 21.11

Представить в виде многочленов от sin⁡x\sin x и cos⁡x\cos x функции:

?
(а)

sin⁡4x\sin 4 x;

(б)

cos⁡4x;\cos 4 x ;

(в)

sin⁡5x\sin 5 x;

(г)

cos⁡5x\cos 5 x.

Задача 21.12

Доказать равенства:

?
(а)

cos⁡nx=∑k=0[n/2](−1)k(n2k)cos⁡n−2kx⋅sin⁡2kx\cos n x=\sum_{k=0}^{[n / 2]}(-1)^{k}\binom {n}{2 k} \cos^{n-2 k} x \cdot \sin^{2 k} x;

(б)

sin⁡nx=∑k=0[(n−1)/2](−1)k(n2k+1)cos⁡n−2k−1x⋅sin⁡2k+1x\sin n x=\sum_{k=0}^{[(n-1) / 2]}(-1)^{k}\binom {n}{2 k+1} \cos^{n-2 k-1} x \cdot \sin^{2 k+1} x.

Задача 21.13

Выразить через первые степени синуса и косинуса аргументов, кратных xx, функции:

?
(а)

sin⁡4x\sin^{4} x;

(б)

cos⁡4x\cos^{4} x;

(в)

sin⁡5x\sin^{5} x;

(г)

cos⁡5x\cos^{5} x.

Задача 21.14

Доказать равенства:

?
(а)

cos⁡2mx=122m−1[∑k=0m−1(2mk)cos⁡(2m−2k)x+12(2mm)]\cos^{2 m} x=\frac{1}{2^{2 m-1}}\left[\sum_{k=0}^{m-1}\binom {2 m}{k} \cos (2 m-2 k) x+\frac{1}{2}\binom {2 m}{m}\right];

(б)

cos⁡2m+1x=122m∑k=0m(2m+1k)cos⁡(2m+1−2k)x\cos^{2 m+1} x=\frac{1}{2^{2 m}} \sum_{k=0}^{m}\binom {2 m+1}{k} \cos (2 m+1-2 k) x;

(в)

sin⁡2mx=\sin^{2 m} x=

=(−1)m22m−1[∑k=0m−1(−1)k(2mk)cos⁡(2m−2k)x+(−1)m2(2mm)] =\frac{(-1)^{m}}{2^{2 m-1}}\left[\sum _{k=0}^{m-1}(-1)^{k}\binom {2 m}{k} \cos (2 m-2 k) x+\frac{(-1)^{m}}{2}\binom {2 m}{m}\right]
(г)

sin⁡2m+1x=(−1)22m∑k=0m(−1)k(2m+1k)sin⁡(2m+1−2k)x\sin^{2 m+1} x=\frac{(-1)}{2^{2 m}} \sum_{k=0}^{m}(-1)^{k}\binom {2 m+1}{k} \sin (2 m+1-2 k) x.

§
22 · Корни из комплексных чисел и многочлены деления круга[27/67%]
Задача 22.1

Доказать, что если комплексное число zz является одним из корней степени nn из числа вещественного aa, то и сопряжённое число zˉ\bar{z} является одним из корней степени nn из aa.

?
Задача 22.2

Доказать, что если zn={z1,z2,…,zn}\sqrt[n]{z}=\left\{ z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}\right\}, то zˉn={zˉ1,zˉ2,…,zˉn}\sqrt[n]{\bar{z}}=\left\{ \bar{z}_{1}, \bar{z}_{2}, \ldots , \bar{z}_{n}\right\}.

?
Задача 22.3

Какие из множеств zn\sqrt[n]{z} содержат хотя бы одно вещественное число?

?
Задача 22.4

Пусть zz и ww — комплексные числа. Доказать равенства 1:

Footnotes

  1. Множество zAz A есть по определению {za∣a∈A}\left\{ z a \mid a \in A\right\}. ↩

?
(а)

znwn=zwn\sqrt[n]{z^{n} w}=z \sqrt[n]{w};

(б)

−znwn=−zwn\sqrt[n]{-z^{n} w}=-z \sqrt[n]{w};

(в)

zwn=uwn\sqrt[n]{z w}=u \sqrt[n]{w}, где uu — одно из значений zn\sqrt[n]{z}.

Задача 22.5

Доказать, что объединение множеств zn\sqrt[n]{z} и −zn\sqrt[n]{-z} есть множество z22n\sqrt[2 n]{z^{2}}.

?
Задача 22.6

Верно ли равенство zsns=zn(s>1)\sqrt[n s]{z^{s}}=\sqrt[n]{z}(s>1)?

?
Задача 22.7

Вычислить:

?
(а)

i6\sqrt[6]{i};

(б)

512(1−i3)10\sqrt[10]{512(1-i \sqrt{3})};

(в)

22(1−i)8\sqrt[8]{2 \sqrt{2}(1-i)};

(г)

13\sqrt[3]{1};

(д)

14\sqrt[4]{1};

(е)

16\sqrt[6]{1};

(ж)

i3\sqrt[3]{i};

(з)

−44\sqrt[4]{-4};

(и)

646\sqrt[6]{64};

(к)

168\sqrt[8]{16};

(л)

−276\sqrt[6]{-27};

(м)

83i−84\sqrt[4]{8 \sqrt{3} i-8};

(н)

−72(1−i3)4\sqrt[4]{-72(1-i \sqrt{3})};

(о)

1+i3\sqrt[3]{1+i};

(п)

2−2i3\sqrt[3]{2-2 i};

(р)

−181+i34\sqrt[4]{-\frac{18}{1+i \sqrt{3}}};

(с)

7−2i1+i2+4+14i2+2i−(8−2i)4\sqrt[4]{\frac{7-2 i}{1+i \sqrt{2}}+\frac{4+14 i}{\sqrt{2}+2 i}-(8-2 i)};

(т)

1−5i1+i−51+2i2−i+23\sqrt[3]{\frac{1-5 i}{1+i}-5 \frac{1+2 i}{2-i}+2};

(у)

−2+23i2+i5−53+i25+5i4\sqrt[4]{\frac{-2+2 \sqrt{3} i}{2+i \sqrt{5}}-5 \frac{\sqrt{3}+i}{2 \sqrt{5}+5 i}}.

Задача 22.8

Найти двумя способами корни степени 5 из единицы и выразить в радикалах:

?
(а)

cos⁡2π5\cos \frac{2 \pi }{5};

(б)

sin⁡2π5;\sin \frac{2 \pi }{5} ;

(в)

cos⁡4π5\cos \frac{4 \pi }{5};

(г)

sin⁡4π5\sin \frac{4 \pi }{5}.

Задача 22.9

Решить уравнения:

?
(а)

(z+1)n+(z−1)n=0(z+1)^{n}+(z-1)^{n}=0;

(б)

(z+1)n−(z−1)n=0(z+1)^{n}-(z-1)^{n}=0;

(в)

(z+i)n+(z−i)n=0(z+i)^{n}+(z-i)^{n}=0.

Задача 22.10

Выразить в радикалах вещественные и мнимые части корней из единицы степеней 2,3,4,6,8,122,3,4,6,8,12.

?
Задача 22.11

Найти произведение всех корней степени nn из единицы.

?
Задача 22.12

Пусть εk=cos⁡2πkn+isin⁡2πkn(0⩽k<n)\varepsilon_{k}=\cos \frac{2 \pi k}{n}+i \sin \frac{2 \pi k}{n} \quad (0 \leqslant k<n). Доказать, что:

?
(а)

1n={ε0,ε1,…,εn−1}\sqrt[n]{1}=\left\{ \varepsilon_{0}, \varepsilon_{1}, \ldots , \varepsilon_{n-1}\right\};

(б)

εk=ε1k(0⩽k<n)\varepsilon_{k}=\varepsilon_{1}^{k}(0 \leqslant k<n);

(в)

εkεl={εk+l, если k+l<n,εk+l−n, если k+l⩾n(0⩽k<n,0⩽l<n)\varepsilon_{k} \varepsilon_{l}= \begin{cases} \varepsilon_{k+l}, & \text{ если } k+l<n, \\ \varepsilon_{k+l-n}, & \text{ если } k+l \geqslant n \end{cases} \quad (0 \leqslant k<n, 0 \leqslant l<n);

(г)

множество Un\mathrm{U}_{n} корней степени nn из единицы является циклической группой порядка nn относительно умножения;

(д)

всякая циклическая группа порядка nn изоморфна группе Un\mathbf{U}_{n}.

Задача 22.13

Доказать, что:

?
(а)

если числа rr и ss взаимно просты и αr=αs=1\alpha^{r}=\alpha^{s}=1, то α=1\alpha =1;

(б)

если dd — наибольший общий делитель чисел rr и ss, то Ur∩Us=Ud\mathbf{U}_{r} \cap \mathbf{U}_{s}=\mathrm{U}_{d};

(в)

если числа rr и ss взаимно просты, то всякий корень из единицы степени rsr s однозначно представляется в виде произведения корня степени rr на корень степени ss.

Задача 22.14

Доказать, что следующие утверждения равносильны:

?
(а)

ε\varepsilon является первообразным корнем из единицы степени nn;

(б)

порядок ε\varepsilon в группе Un\mathbf{U}_{n} равен nn;

(в)

ε\varepsilon является порождающим элементом группы Un\mathbf{U}_{n}.

Задача 22.15

Доказать, что если ε\varepsilon является первообразным корнем степени nn из единицы, то εˉ\bar{\varepsilon } также является первообразным корнем степени nn из единицы.

?
Задача 22.16

Доказать, что если числа rr и ss взаимно просты, то ε\varepsilon является первообразным корнем степени rsr s из единицы тогда и только тогда, когда ε\varepsilon является произведением первообразного корня степени rr и первообразного корня степени ss.

?
Задача 22.17
?
(а)

Пусть zz — первообразный корень nn-й степени из 1. Вычислить

1+2z+3z2+…+nzn−1 1+2 z+3 z^{2}+\ldots +n z^{n-1}
(б)

Пусть zz — первообразный корень степени 2n2 n из 1. Вычислить

1+z+…+zn−1 1+z+\ldots +z^{n-1}
(в)

Пусть zz — корень из 1 и zn±zm±1=0z^{n} \pm z^{m} \pm 1=0. Найти nn и mm.

Задача 22.18

Доказать, что:

?
(а)

число первообразных корней степени nn из единицы равно φ(n)\varphi (n) (см. 1.4);

(б)

если числа mm и nn взаимно просты, то φ(mn)=φ(m)φ(n)\varphi (m n)=\varphi (m) \varphi (n).

Задача 22.19

Доказать, что если zz — первообразный корень нечётной степени nn из единицы, то −z-z — первообразный корень степени 2n2 n.

?
Задача 22.20

Обозначим через σ(n)\sigma (n) сумму всех первообразных корней степени nn из единицы. Доказать, что:

?
(а)

σ(1)=1\sigma (1)=1;

(б)

если n>1n>1, то ∑d∣nσ(d)=0\sum_{d \mid n} \sigma (d)=0;

(в)

σ(p)=−1\sigma (p)=-1, если p−p- простое число;

(г)

σ(pk)=0\sigma \left(p^{k}\right)=0, если p−p- простое число, k>1k>1;

(д)

σ(rs)=σ(r)⋅σ(s)\sigma (r s)=\sigma (r) \cdot \sigma (s), если числа rr и ss взаимно просты;

(е)

функция σ(n)\sigma (n) совпадает с функцией Мёбиуса μ(n)\mu (n).

Задача 22.21

Пусть dd - (положительный) наибольший общий делитель целого числа ss и натурального числа n,εin, \varepsilon_{i} — первообразный корень степени nn из единицы (i=1,2,…,φ(n))(i=1,2, \ldots , \varphi (n)). Доказать равенство

∑i=1φ(n)εis=φ(n)φ(n/d)μ(nd) \sum _{i=1}^{\varphi (n)} \varepsilon _{i}^{s}=\frac{\varphi (n)}{\varphi (n / d)} \mu \left(\frac{n}{d}\right)
?
Задача 22.22

Является ли число 2+i2−i\frac{2+i}{2-i} корнем некоторой степени из единицы?

?
Задача 22.23

Найти многочлены деления круга (круговые многочлены) Φn(x)\Phi_{n}(x) для nn, равного:

?
(а)

1 ;

(б)

2 ;

(в)

3 ;

(г)

4;

(д)

6 ;

(е)

12 ;

(ж)

pp, где pp — простое число;

(з)

pkp^{k}, где pp — простое число, k>1k>1.

Задача 22.24

Доказать следующие свойства круговых многочленов:

?
(а)

∏d∣nΦd(x)=xn−1\prod_{d \mid n} \Phi_{d}(x)=x^{n}-1;

(б)

Φ2n(x)=Φn(−x)(n\Phi_{2 n}(x)=\Phi_{n}(-x) \quad (n — нечётное число, большее 1));

(в)

Φn(x)=∏d∣n(xd−1)μ(n/d)\Phi_{n}(x)=\prod_{d \mid n}\left(x^{d}-1\right)^{\mu (n / d)};

(г)

если kk делится на любой простой делитель числа nn, то

Φn(x)=Φk(xn/k); \Phi _{n}(x)=\Phi _{k}\left(x^{n / k}\right) ;
(д)

если nn делится на простое число pp и не делится на p2p^{2}, то

Φn(x)=Φn/p(xp)(Φn/p(x))−1 \Phi _{n}(x)=\Phi _{n / p}\left(x^{p}\right)\left(\Phi _{n / p}(x)\right)^{-1}
Задача 22.25

Найти круговые многочлены для nn, равного:

?
(а)

1010;

(б)

1414;

(в)

1515;

(г)

3030;

(д)

3636;

(е)

100100;

(ж)

216216;

(з)

288288;

(и)

10001000.

Задача 22.26

Доказать, что у всякого кругового многочлена:

?
(а)

все коэффициенты — целые числа;

(б)

старший коэффициент равен 1 ;

(в)

свободный член равен -1 при n=1n=1 и равен 1 при n>1n>1.

Задача 22.27

Найти сумму коэффициентов кругового многочлена Φn(x)\Phi_{n}(x).

?
§
23 · Вычисления с помощью комплексных чисел[7/86%]
Задача 23.1

Вычислить суммы:

?
(а)

1−(n2)+(n4)−(n6)+…1-\binom {n}{2}+\binom {n}{4}-\binom {n}{6}+\ldots;

(б)

(n1)−(n3)+(n5)−(n7)+…\binom {n}{1}-\binom {n}{3}+\binom {n}{5}-\binom {n}{7}+\ldots;

(в)

1+(n4)+(n8)+…;1+\binom {n}{4}+\binom {n}{8}+\ldots ;

(г)

(n1)+(n5)+(n9)+…\binom {n}{1}+\binom {n}{5}+\binom {n}{9}+\ldots

(д)
Задача 23.2

Доказать равенства:

?
(а)

cos⁡x+cos⁡2x+…+cos⁡nx=sin⁡nx2cos⁡(n+1)x2sin⁡x2(x≠2kπ,k∈Z)\cos x+\cos 2 x+\ldots +\cos n x=\frac{\sin \frac{n x}{2} \cos \frac{(n+1) x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} \quad (x \neq 2 k \pi , k \in \mathbb {Z});

(б)

sin⁡x+sin⁡2x+…+sin⁡nx=sin⁡nx2sin⁡(n+1)x2sin⁡x2(x≠2kπ,k∈Z)\sin x+\sin 2 x+\ldots +\sin n x=\frac{\sin \frac{n x}{2} \sin \frac{(n+1) x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} \quad (x \neq 2 k \pi , k \in \mathbb {Z});

(в)

cos⁡πn+cos⁡3πn+cos⁡5πn+…+cos⁡(2n−1)πn=0;\cos \frac{\pi }{n}+\cos \frac{3 \pi }{n}+\cos \frac{5 \pi }{n}+\ldots +\cos \frac{(2 n-1) \pi }{n}=0 ;

(г)

sin⁡πn+sin⁡3πn+sin⁡5πn+…+sin⁡(2n−1)πn=0\sin \frac{\pi }{n}+\sin \frac{3 \pi }{n}+\sin \frac{5 \pi }{n}+\ldots +\sin \frac{(2 n-1) \pi }{n}=0;

(д)

1n∑k=0n−1(x+εky)n=xn+yn(ε0,ε1,…,εn−1\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1}\left(x+\varepsilon_{k} y\right)^{n}=x^{n}+y^{n} \quad \left(\varepsilon_{0}, \varepsilon_{1}, \ldots , \varepsilon_{n-1}\right. — корни степени nn из единицы);

(е)

x2n+1−1=(x−1)∏k=1n(x2−2xcos⁡πk2n+1+1);x^{2 n+1}-1=(x-1) \prod_{k=1}^{n}\left(x^{2}-2 x \cos \frac{\pi k}{2 n+1}+1\right) ;

(ж)

x2n−1=(x2−1)∏k=1n−1(x2−2xcos⁡πkn+1)x^{2 n}-1=\left(x^{2}-1\right) \prod_{k=1}^{n-1}\left(x^{2}-2 x \cos \frac{\pi k}{n}+1\right);

(з)

∏k=1n−1sin⁡πk2n=n2n−1\prod_{k=1}^{n-1} \sin \frac{\pi k}{2 n}=\frac{\sqrt{n}}{2^{n-1}};

(и)

∏k=1nsin⁡πk2n+1=2n+12n\prod_{k=1}^{n} \sin \frac{\pi k}{2 n+1}=\frac{\sqrt{2 n+1}}{2^{n}}.

Задача 23.3

Решить уравнение cos⁡φ+(n1)cos⁡(φ+α)x+(n2)cos⁡(φ+2α)x2+…+(nn)cos⁡(φ+nα)xn=0\cos \varphi +\binom {n}{1} \cos (\varphi +\alpha ) x+\binom {n}{2} \cos (\varphi +2 \alpha ) x^{2}+\ldots +\binom {n}{n} \cos (\varphi +n \alpha ) x^{n}=0.

?
Задача 23.4

Доказать, что:

?
(а)

1+(n3)+(n6)+…=13(2n+2cos⁡πn3)1+\binom {n}{3}+\binom {n}{6}+\ldots =\frac{1}{3}\left(2^{n}+2 \cos \frac{\pi n}{3}\right);

(б)

(n1)+(n4)+(n7)+…=13(2n+2cos⁡(n−2)π4)\binom {n}{1}+\binom {n}{4}+\binom {n}{7}+\ldots =\frac{1}{3}\left(2^{n}+2 \cos \frac{(n-2) \pi }{4}\right);

(в)

(n2)+(n5)+(n8)+…=13(2n+2cos⁡(n−4)π3)\binom {n}{2}+\binom {n}{5}+\binom {n}{8}+\ldots =\frac{1}{3}\left(2^{n}+2 \cos \frac{(n-4) \pi }{3}\right);

(г)

2cos⁡mx=(2cos⁡x)m−m1(2cos⁡x)m−2+m(m−3)1⋅2(2cos⁡x)m−4+…2 \cos m x=(2 \cos x)^{m}-\frac{m}{1}(2 \cos x)^{m-2}+\frac{m(m-3)}{1 \cdot 2}(2 \cos x)^{m-4}+\ldots

…+(−1)km(m−k−1)…(m−2k+1)k!(2cos⁡x)m−2k+… \ldots +(-1)^{k} \frac{m(m-k-1) \ldots (m-2 k+1)}{k!}(2 \cos x)^{m-2 k}+\ldots
Задача 23.5

Найти суммы:

?
(а)

cos⁡x+(n1)cos⁡2x+…+(nn)cos⁡(n+1)x\cos x+\binom {n}{1} \cos 2 x+\ldots +\binom {n}{n} \cos (n+1) x;

(б)

sin⁡x+(n1)sin⁡2x+…+(nn)sin⁡(n+1)x\sin x+\binom {n}{1} \sin 2 x+\ldots +\binom {n}{n} \sin (n+1) x;

(в)

sin⁡2x+sin⁡23x+…+sin⁡2(2n−1)x\sin^{2} x+\sin^{2} 3 x+\ldots +\sin^{2}(2 n-1) x;

(г)

cos⁡x+2cos⁡2x+3cos⁡3x+…+ncos⁡nx\cos x+2 \cos 2 x+3 \cos 3 x+\ldots +n \cos n x;

(д)

sin⁡x+2sin⁡2x+3sin⁡3x+…+nsin⁡nx\sin x+2 \sin 2 x+3 \sin 3 x+\ldots +n \sin n x.

Задача 23.6

Доказать, что:

?
(а)

cos⁡2x+cos⁡22x+…+cos⁡2nx=n2+cos⁡(n+1)xsin⁡nx2sin⁡x\cos^{2} x+\cos^{2} 2 x+\ldots +\cos^{2} n x=\frac{n}{2}+\frac{\cos (n+1) x \sin n x}{2 \sin x};

(б)

sin⁡2x+sin⁡22x+…+sin⁡2nx=n2−cos⁡(n+1)xsin⁡nx2sin⁡x\sin^{2} x+\sin^{2} 2 x+\ldots +\sin^{2} n x=\frac{n}{2}-\frac{\cos (n+1) x \sin n x}{2 \sin x}.

Задача 23.7

Доказать, что для нечётного натурального числа mm

sin⁡mxsin⁡x=(−4)(m−1)/2∏1⩽j⩽(m−1)/2(sin⁡2x−sin⁡22πjm) \frac{\sin m x}{\sin x}=(-4)^{(m-1) / 2} \prod _{1 \leqslant j \leqslant (m-1) / 2}\left(\sin ^{2} x-\sin ^{2} \frac{2 \pi j}{m}\right)
?
§
24 · Связь комплексных чисел с геометрией на плоскости[26/65%]
Задача 24.1

Изобразить на плоскости точки, соответствующие числам 5,−2,−3i,±1±i35,-2,-3 i, \pm 1 \pm i \sqrt{3}.

?
Задача 24.2

Найти комплексные числа, соответствующие:

?
(а)

вершинам квадрата с центром в начале координат, со сторонами длины 1, параллельными осям координат;

(б)

вершинам правильного треугольника с центром в начале координат, стороной, параллельной оси координат, вершиной на отрицательной вещественной полуоси и радиусом описанного круга, равным 1;

(в)

вершинам правильного шестиугольника с центром в точке 2+i32+i \sqrt{3}, стороной, параллельной оси абсцисс, и радиусом описанного круга, равным 2 ;

(г)

вершинам правильного nn-угольника с центром в начале координат, одной из вершин которого является 1.

Задача 24.3

Указать геометрический смысл выражения ∣z1−z2∣\left|z_{1}-z_{2}\right|, где z1z_{1} и z2z_{2} — заданные комплексные числа.

?
Задача 24.4

Указать геометрический смысл числа arg⁡z1−z2z2−z3\arg \frac{z_{1}-z_{2}}{z_{2}-z_{3}}, где z1,z2,z3z_{1}, z_{2}, z_{3} — различные комплексные числа.

?
Задача 24.5

Как расположены на плоскости точки, соответствующие:

?
(а)

комплексным числам z1,z2,z3z_{1}, z_{2}, z_{3}, для которых

z1+z2+z3=0,∣z1∣=∣z2∣=∣z3∣≠0 z_{1}+z_{2}+z_{3}=0, \quad \left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=\left|z_{3}\right| \neq 0
(б)

комплексным числам z1,z2,z3,z4z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}, для которых

z1+z2+z3+z4=0,∣z1∣=∣z2∣=∣z3∣=∣z4∣≠0 z_{1}+z_{2}+z_{3}+z_{4}=0, \quad \left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=\left|z_{3}\right|=\left|z_{4}\right| \neq 0
Задача 24.6

Изобразить на плоскости множество точек, соответствующих комплексным числам zz, удовлетворяющим условиям:

?
(а)

∣z∣=1\left|z\right|=1;

(б)

arg⁡z=π/3;\arg z=\pi / 3 ;

(в)

∣z∣⩽2\left|z\right| \leqslant 2;

(г)

∣z−1−i∣<1\left|z-1-i\right|<1;

(д)

∣z+3+4i∣⩽5\left|z+3+4 i\right| \leqslant 5;

(е)

2<∣z∣<32<\left|z\right|<3;

(ж)

1⩽∣z−2i∣<21 \leqslant \left|z-2 i\right|<2;

(з)

∣arg⁡z∣<π/6\left|\arg z\right|<\pi / 6;

(и)

∣Re⁡z∣⩽1\left|\operatorname {Re} z\right| \leqslant 1;

(к)

−1<Re⁡iz<0;-1<\operatorname {Re} i z<0 ; \quad

(л)

∣Im⁡z∣=1;\left|\operatorname {Im} z\right|=1 ; \quad

(м)

∣Re⁡z+Im⁡z∣<1;\left|\operatorname {Re} z+\operatorname {Im} z\right|<1 ;

(н)

∣z−1∣+∣z+1∣=3\left|z-1\right|+\left|z+1\right|=3;

(о)

∣z+2∣−∣z−2∣=3\left|z+2\right|-\left|z-2\right|=3;

(п)

∣z−2∣=Re⁡z+2\left|z-2\right|=\operatorname {Re} z+2;

(р)

α<arg⁡(z−z0)<β\alpha <\arg \left(z-z_{0}\right)<\beta, где −π<α<β⩽π-\pi <\alpha <\beta \leqslant \pi и z0z_{0} — заданное комплексное число.

Задача 24.7

Доказать тождество

∣z+w∣2+∣z−w∣2=2∣z∣2+2∣w∣2 \left|z+w\right|^{2}+\left|z-w\right|^{2}=2\left|z\right|^{2}+2\left|w\right|^{2}

и указать его геометрический смысл.

?
Задача 24.8

Пусть комплексные числа z1,z2,z3z_{1}, z_{2}, z_{3} соответствуют вершинам параллелограмма A1,A2,A3A_{1}, A_{2}, A_{3}. Найти число, соответствующее вершине A4A_{4}, противолежащей A2A_{2}.

?
Задача 24.9

Найти комплексные числа, соответствующие противоположным вершинам квадрата, если двум его другим противоположным вершинам соответствуют числа zz и ww.

?
Задача 24.10

Найти комплексные числа, соответствующие вершинам правильного nn-угольника, если двум его соседним вершинам соответствуют числа z0z_{0} и z1z_{1}.

?
Задача 24.11

Изобразить на плоскости множество точек, соответствующих комплексным числам z=1+ti1−tiz=\frac{1+t i}{1-t i}, где t∈Rt \in \mathbb {R}.

?
Задача 24.12

Доказать, что:

?
(а)

точки плоскости, соответствующие комплексным числам z1,z2z_{1}, z_{2}, z3z_{3}, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда существуют вещественные числа λ1,λ2,λ3\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}, не все равные нулю, такие, что

λ1z1+λ2z2+λ3z3=0,λ1+λ2+λ3=0 \lambda _{1} z_{1}+\lambda _{2} z_{2}+\lambda _{3} z_{3}=0, \quad \lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=0
(б)

точки плоскости, соответствующие различным комплексным числам z1,z2,z3z_{1}, z_{2}, z_{3}, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда число z1−z3z2−z3\frac{z_{1}-z_{3}}{z_{2}-z_{3}} является вещественным;

(в)

точки плоскости, соответствующие различным комплексным числам z1,z2,z3,z4z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4} и не лежащие на одной прямой, лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда их двойное отношение z1−z3z2−z3:z1−z4z2−z4\frac{z_{1}-z_{3}}{z_{2}-z_{3}}: \frac{z_{1}-z_{4}}{z_{2}-z_{4}} является вещественным числом.

Задача 24.13

Изобразить на плоскости множество точек, соответствующих комплексным числам zz, удовлетворяющим равенству ∣z−z1z−z2∣=λ\left|\frac{z-z_{1}}{z-z_{2}}\right|=\lambda, где z1,z2∈Cz_{1}, z_{2} \in \mathbb {C} и λ\lambda — положительное действительное число.

?
Задача 24.14

Найти min⁡∣3+2i−z∣\min \left|3+2 i-z\right| при ∣z∣⩽1\left|z\right| \leqslant 1.

?
Задача 24.15

Найти max⁡∣1+4i−z∣\max \left|1+4 i-z\right| при ∣z−10i+2∣⩽1\left|z-10 i+2\right| \leqslant 1.

?
Задача 24.16

Изобразить на плоскости множество точек, соответствующих комплексным числам zz, удовлетворяющим равенству ∣z2−1∣=λ\left|z^{2}-1\right|=\lambda. При λ=1\lambda =1 записать уравнение полученной кривой в полярных координатах.

?
Задача 24.17

Расширенной комплексной плоскостью называется комплексная плоскость, дополненная бесконечно удаленной точкой ∞\infty. Доказать, что если (z1,z2,z3)\left(z_{1}, z_{2}, z_{3}\right) и (w1,w2,w3)\left(w_{1}, w_{2}, w_{3}\right) — две тройки попарно различных точек расширенной комплексной плоскости, то существует дробно-линейное преобразование

w=az+bcz+d,a,b,c,d∈C,ad−bc≠0 w=\frac{a z+b}{c z+d}, \quad a, b, c, d \in \mathbb {C}, \quad a d-b c \neq 0

переводящее первую тройку во вторую.

?
Задача 24.18

Доказать, что если в каждой из двух четвёрок (z1,z2,z3\left(z_{1}, z_{2}, z_{3}\right., z4)\left.z_{4}\right) и (w1,w2,w3,w4)\left(w_{1}, w_{2}, w_{3}, w_{4}\right) точек расширенной комплексной плоскости все точки попарно различны, то дробно-линейное преобразование, переводящее одну из этих четвёрок в другую, существует тогда и только тогда, когда совпадают двойные отношения:

z1−z3z2−z3:z1−z4z2−z4=w1−w3w2−w3:w1−w4w2−w4 \frac{z_{1}-z_{3}}{z_{2}-z_{3}}: \frac{z_{1}-z_{4}}{z_{2}-z_{4}}=\frac{w_{1}-w_{3}}{w_{2}-w_{3}}: \frac{w_{1}-w_{4}}{w_{2}-w_{4}}
?
Задача 24.19

Доказать, что при дробно-линейном преобразовании расширенной комплексной плоскости прямые и окружности переходят в прямые и окружности.

?
Задача 24.20

Доказать, что дробно-линейное преобразование

w=az+bcz+d,ad−bc=1 w=\frac{a z+b}{c z+d}, \quad a d-b c=1

переходит вещественную прямую в себя тогда и только тогда, когда матрица (abcd)\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) пропорциональна вещественной матрице.

?
Задача 24.21

Выяснить геометрический смысл дробно-линейного преобразования w=1/zw=1 / z.

?
Задача 24.22

Выяснить геометрический смысл преобразования комплексной плоскости, заданного формулой w=zn(n⩾2)w=z^{n} \quad (n \geqslant 2).

?
Задача 24.23

Доказать, что функция Жуковского w=12(z+1z)w=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right) отображает:

?
(а)

окружность ∣z∣=1\left|z\right|=1 на отрезок [−1,1][-1,1] действительной оси;

(б)

окружность ∣z∣=R,R≠1\left|z\right|=R, R \neq 1, в эллипс с фокусами −1,1-1,1;

(в)

луч arg⁡z=φ\arg z=\varphi в ветвь гиперболы с фокусами −1,1-1,1.

Задача 24.24

Доказать, что всякое дробно-линейное преобразование, отображающее открытую верхнюю полуплоскость на внутренность единичного круга с центром в начале координат, имеет вид

w=az−bz−bˉ,∣a∣=1,Im⁡b>0 w=a \frac{z-b}{z-\bar{b}}, \quad \left|a\right|=1, \quad \operatorname {Im} b>0
?
Задача 24.25

Доказать, что всякое дробно-линейное преобразование, отображающее единичный круг с центром в начале координат на себя, имеет вид

w=az−b1−zbˉ,∣a∣=1,b<1 w=a \frac{z-b}{1-z \bar{b}}, \quad \left|a\right|=1, \quad b<1
?
Задача 24.26

Для каких комплексных чисел aa отображение z→z+az2z \rightarrow z+a z^{2} отображает круг ∣z∣⩽1\left|z\right| \leqslant 1 биективно в себя?

?