УСЛОВНОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ. МАРТИНГАЛЫ

Пусть $\mathcal{A}$ — алгебра, состоящая из двух элементов: $\emptyset$ и всего пространства $\Omega$. Найти $\mathbb {E}\left[\xi \mid \mathcal{A}\right]$.

Двумерное распределение пары целочисленных случайных величин $\xi$ и $\eta$ задаётся с помощью таблицы

, где в пересечении столбца $\xi = i$ и строки $\eta = j$ находится вероятность $\mathbb {P}\left(\xi =i, \eta =j\right)$. Найти:

Решить задачу 29.2 для таблицы

Решить задачу 29.2 для таблицы

На вероятностном пространстве $(\Omega , \mathcal{F}, \mathbb {P}\left(\right))$, где $\Omega = [0,1]$, $\mathcal{F}$ — $\sigma$-алгебра борелевских подмножеств и $\mathbb {P}\left(\right)$ — мера Лебега, задана случайная величина $\xi$. Пусть $\mathcal{A}$ — $\sigma$-алгебра, порождённая множествами $[0,1/3)$, $\{ 1/3\}$ и $(1/3,1/2)$. Найти $\mathbb {E}\left[\xi \mid \mathcal{A}\right]$, если:

На вероятностном пространстве $(\Omega , \mathcal{F}, \mathbb {P}\left(\right))$, где $\Omega = [0,1]$, $\mathcal{F}$ — $\sigma$-алгебра борелевских подмножеств и $\mathbb {P}\left(\right)$ — мера Лебега, задана случайная величина $\xi (\omega ) = \omega$. Найти $\mathbb {E}\left[\xi \mid \mathcal{A}\right]$, если $\mathcal{A}$ — $\sigma$-алгебра:

На вероятностном пространстве $(\Omega , \mathcal{F}, \mathbb {P}\left(\right))$, где $\Omega = [0,1]$, $\mathcal{F}$ — $\sigma$-алгебра борелевских подмножеств и $\mathbb {P}\left(\right)$ — мера Лебега, заданы случайные величины $\xi (\omega ) = \omega^{2}$ и

Построить графики:

Пусть случайная величина $\xi$ принимает не более $n$ значений. Верно ли, что $\mathbb {E}\left[\xi \mid \mathcal{A}\right]$ также принимает не более $n$ значений?

Обязана ли случайная величина $\mathbb {E}\left[\xi \mid \mathcal{A}\right]$ быть измеримой относительно $\sigma (\xi )$?

Пусть $\xi$ и $\eta$ — независимые одинаково распределённые случайные величины с конечным математическим ожиданием. Найти $\mathbb {E}\left[\xi \mid \xi +\eta \right]$.

Верно ли следующее утверждение: если $\xi_{n} \to \xi$ почти наверное, то $\mathbb {E}\left[\eta \mid \xi_{n}\right] \xrightarrow {p} \mathbb {E}\left[\eta \mid \xi \right]$ для любой случайной величины $\eta$?

Пусть случайная величина $\xi$ имеет показательное распределение с параметром $1$, а $t>0$. Найти:

Решить задачу 29.12, если случайная величина $\xi$ имеет равномерное распределение в отрезке $[0,2]$.

Пусть случайная величина $\xi$ имеет стандартное нормальное распределение. Найти $\mathbb {E}\left[\xi \mid \xi^{2}\right]$.

Пусть $\xi$ и $\eta$ — независимые случайные величины, имеющие стандартное нормальное распределение. Найти $\mathbb {E}\left[\xi^{2}+\eta^{2} \mid \xi +\eta \right]$.

Пусть независимые случайные величины $\xi$ и $\eta$ имеют геометрическое распределение с параметром $p$ каждая. Найти условное распределение $\mathbb {P}\left(\xi =k \mid \xi +\eta =n\right)$.

Пусть независимые случайные величины $\xi$ и $\eta$ имеют распределение Пуассона с параметром $\lambda$ каждая. Найти:

Пусть случайные величины $\xi$ и $\eta$ независимы и имеют биномиальное распределение с параметрами $m$ и $p$. Найти:

Пусть $\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}$ — независимые случайные величины, имеющие равномерное распределение в отрезке $[0,1]$. Найти:

Решить задачу 29.19, если случайные величины $\xi_{k}$ имеют экспоненциальное распределение с параметром $1$.

Пусть $\xi$ и $\eta$ — независимые случайные величины, имеющие равномерное распределение в отрезке $[0,1]$. Найти:

Пусть $\mathbb {E}\left[\xi^{2}\right] < \infty$. Доказать, что случайная величина $\xi$ измерима относительно $\sigma$-алгебры $\mathcal{A}$ тогда и только тогда, когда

Пусть $\mathbb {E}\left[\xi^{2}\right] < \infty$ и $\mathbb {E}\left[\eta^{2}\right] < \infty$. Доказать, что если имеют место равенства $\mathbb {E}\left[\xi \mid \eta \right] = \eta$ и $\mathbb {E}\left[\eta \mid \xi \right] = \xi$, то $\xi = \eta$ п.н.

Найти $\mathbb {E}\left[\xi \mid \eta \right]$, если совместная плотность случайного вектора $(\xi ,\eta )$ равна:

Пусть совместная плотность случайного вектора $(\xi ,\eta )$ равна

Найти:

Пусть $\xi$ имеет распределение Пуассона с параметром $\lambda$, а распределение случайной величины $\mathbb {E}\left[\eta \mid \xi \right]$ имеет нормальную плотность с нулевым средним значением и дисперсией $\xi$.

Пусть случайная величина $\xi$ имеет показательное распределение с параметром $1$, а случайная величина $\mathbb {E}\left[\eta \mid \xi \right]$ имеет распределение Пуассона с параметром $\xi$. Найти распределение случайной величины $\eta$.

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — независимые одинаково распределённые случайные величины с конечным математическим ожиданием, а $S_{n} = \xi_{1} + \ldots + \xi_{n}$. Пусть $\mathcal{A}_{n}$ — $\sigma$-алгебра, порождённая суммами $S_{n}, S_{n+1}, \ldots$. Доказать, что

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — независимые случайные величины, причём $\mathbb {P}\left(\xi_{i}=0\right) = \mathbb {P}\left(\xi_{i}=2\right) = 1/2$. Доказать, что последовательность произведений $\eta_{n} = \prod_{i=1}^{n} \xi_{i}$ образует мартингал.

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — независимые случайные величины, причём $\mathbb {P}\left(\xi_{i}=1\right) = 1 - \mathbb {P}\left(\xi_{i}=-1\right) = p$, $p \neq 1/2$. Положим $S_{n} = \xi_{1} + \ldots + \xi_{n}$ и $\mathcal{A}_{n} = \sigma (S_{1}, \ldots , S_{n})$. Доказать, что следующая последовательность будет мартингалом относительно потока $\{ \mathcal{A}_{n}\}$:

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — независимые случайные величины, причём $\mathbb {P}\left(\xi_{i}=1\right) = \mathbb {P}\left(\xi_{i}=-1\right) = 1/2$. Положим $S_{n} = \xi_{1} + \ldots + \xi_{n}$ и $\mathcal{A}_{n} = \sigma (S_{1}, \ldots , S_{n})$. Доказать, что для любых чисел $A \in (-\infty ,\infty )$ и $\lambda \in (0,\pi /2)$ последовательность

будет мартингалом относительно потока $\{ \mathcal{A}_{n}\}$.

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — независимые одинаково распределённые случайные величины с нулевым средним значением. Положим $S_{n} = \xi_{1} + \ldots + \xi_{n}$ и $\mathcal{A}_{n} = \sigma (S_{1}, \ldots , S_{n})$. Доказать, что следующая последовательность будет мартингалом относительно потока $\{ \mathcal{A}_{n}\}$:

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — независимые случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями. Обозначим $S_{n} = \xi_{1} + \ldots + \xi_{n}$. Доказать, что последовательность сумм $\{ S_{n}\}$ образует мартингал.

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — неотрицательные случайные величины с конечными средними значениями, $S_{n} = \xi_{1} + \ldots + \xi_{n}$. Доказать, что последовательность сумм $\{ S_{n}\}$ образует субмартингал.

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — независимые случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и конечными дисперсиями. Обозначим $S_{n} = \xi_{1} + \ldots + \xi_{n}$. Доказать, что последовательность $\{ S_{n}^{2} - B_{n}\}$ образует мартингал, где $B_{n} = \operatorname {Var}\left[\xi_{1}\right] + \ldots + \operatorname {Var}\left[\xi_{n}\right]$.

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — независимые случайные величины, причём $\mathbb {E}\left[\xi_{n}\right] = 1$ для любого $n$. Доказать, что последовательность произведений $\eta_{n} = \prod_{i=1}^{n} \xi_{i}$ образует мартингал.

Пусть $\xi$ — случайная величина с конечным математическим ожиданием, $\{ \mathcal{A}_{n}\}_{n \geq 0}$ — неубывающая последовательность $\sigma$-алгебр. Доказать, что последовательность $\xi_{n} = \mathbb {E}\left[\xi \mid \mathcal{A}_{n}\right]$ образует мартингал.

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — независимые одинаково распределённые случайные величины с конечным математическим ожиданием, а $S_{n} = \xi_{1} + \ldots + \xi_{n}$. Доказать, что последовательность

образует мартингал.

Пусть $\xi (t)$ — мартингал относительно потока $\{ \mathcal{A}_{t}\}$. Доказать, что процесс $\xi (t)$ имеет некоррелированные приращения, т.е. $\operatorname {Cov}\left[ \xi (s)-\xi (t), \xi (v)-\xi (u) \right] = 0$ при $t<s<u<v$.

Пусть $\xi (t)$ — однородный процесс Пуассона с параметром $\lambda$. Доказать, что $\zeta (t) = \mathrm{exp}\left(\xi (t)-at\right)$ представляет собой субмартингал при $a \leq \lambda (e-1)$ и супермартингал при $a \geq \lambda (e-1)$.

Доказать, что винеровский процесс, выходящий из нуля, является мартингалом с непрерывным временем.

Пусть $\{ \xi_{n}\}$ — мартингал, причём $\mathbb {E}\left[(\xi_{n}-\xi_{n-1})^{2}\right] \leq c$ для некоторого $c<\infty$. Доказать, что $\xi_{n}/n \to \mathbb {E}\left[\xi_{1}\right]$ по вероятности.

Пусть $\xi_{0}, \xi_{1}, \ldots$ — ветвящийся процесс, $\xi_{0}=1$ и $\mathbb {E}\left[\xi_{1}\right]=m$. Положим $\eta_{n} = \xi_{n}/m^{n}$. Доказать, что $\{ \eta_{n}\}$ образует мартингал.

Пусть $w(t)$ — стандартный винеровский процесс. Выяснить, какие из следующих процессов мартингалы: