Условное математическое ожидание

Пусть $\mathcal{A}$ — алгебра, состоящая из двух элементов: $\emptyset$ и всего пространства $\Omega$. Найти $\mathbb {E}\left[\xi \mid \mathcal{A}\right]$.

Двумерное распределение пары целочисленных случайных величин $\xi$ и $\eta$ задаётся с помощью таблицы

, где в пересечении столбца $\xi = i$ и строки $\eta = j$ находится вероятность $\mathbb {P}\left(\xi =i, \eta =j\right)$. Найти:

Решить задачу 29.2 для таблицы

Решить задачу 29.2 для таблицы

На вероятностном пространстве $(\Omega , \mathcal{F}, \mathbb {P}\left(\right))$, где $\Omega = [0,1]$, $\mathcal{F}$ — $\sigma$-алгебра борелевских подмножеств и $\mathbb {P}\left(\right)$ — мера Лебега, задана случайная величина $\xi$. Пусть $\mathcal{A}$ — $\sigma$-алгебра, порождённая множествами $[0,1/3)$, $\{ 1/3\}$ и $(1/3,1/2)$. Найти $\mathbb {E}\left[\xi \mid \mathcal{A}\right]$, если:

На вероятностном пространстве $(\Omega , \mathcal{F}, \mathbb {P}\left(\right))$, где $\Omega = [0,1]$, $\mathcal{F}$ — $\sigma$-алгебра борелевских подмножеств и $\mathbb {P}\left(\right)$ — мера Лебега, задана случайная величина $\xi (\omega ) = \omega$. Найти $\mathbb {E}\left[\xi \mid \mathcal{A}\right]$, если $\mathcal{A}$ — $\sigma$-алгебра:

На вероятностном пространстве $(\Omega , \mathcal{F}, \mathbb {P}\left(\right))$, где $\Omega = [0,1]$, $\mathcal{F}$ — $\sigma$-алгебра борелевских подмножеств и $\mathbb {P}\left(\right)$ — мера Лебега, заданы случайные величины $\xi (\omega ) = \omega^{2}$ и

Построить графики:

Пусть случайная величина $\xi$ принимает не более $n$ значений. Верно ли, что $\mathbb {E}\left[\xi \mid \mathcal{A}\right]$ также принимает не более $n$ значений?

Обязана ли случайная величина $\mathbb {E}\left[\xi \mid \mathcal{A}\right]$ быть измеримой относительно $\sigma (\xi )$?

Пусть $\xi$ и $\eta$ — независимые одинаково распределённые случайные величины с конечным математическим ожиданием. Найти $\mathbb {E}\left[\xi \mid \xi +\eta \right]$.

Верно ли следующее утверждение: если $\xi_{n} \to \xi$ почти наверное, то $\mathbb {E}\left[\eta \mid \xi_{n}\right] \xrightarrow {p} \mathbb {E}\left[\eta \mid \xi \right]$ для любой случайной величины $\eta$?

Пусть случайная величина $\xi$ имеет показательное распределение с параметром $1$, а $t>0$. Найти:

Решить задачу 29.12, если случайная величина $\xi$ имеет равномерное распределение в отрезке $[0,2]$.

Пусть случайная величина $\xi$ имеет стандартное нормальное распределение. Найти $\mathbb {E}\left[\xi \mid \xi^{2}\right]$.

Пусть $\xi$ и $\eta$ — независимые случайные величины, имеющие стандартное нормальное распределение. Найти $\mathbb {E}\left[\xi^{2}+\eta^{2} \mid \xi +\eta \right]$.

Пусть независимые случайные величины $\xi$ и $\eta$ имеют геометрическое распределение с параметром $p$ каждая. Найти условное распределение $\mathbb {P}\left(\xi =k \mid \xi +\eta =n\right)$.

Пусть независимые случайные величины $\xi$ и $\eta$ имеют распределение Пуассона с параметром $\lambda$ каждая. Найти:

Пусть случайные величины $\xi$ и $\eta$ независимы и имеют биномиальное распределение с параметрами $m$ и $p$. Найти:

Пусть $\xi_{1}, \ldots , \xi_{n}$ — независимые случайные величины, имеющие равномерное распределение в отрезке $[0,1]$. Найти:

Решить задачу 29.19, если случайные величины $\xi_{k}$ имеют экспоненциальное распределение с параметром $1$.

Пусть $\xi$ и $\eta$ — независимые случайные величины, имеющие равномерное распределение в отрезке $[0,1]$. Найти:

Пусть $\mathbb {E}\left[\xi^{2}\right] < \infty$. Доказать, что случайная величина $\xi$ измерима относительно $\sigma$-алгебры $\mathcal{A}$ тогда и только тогда, когда

Пусть $\mathbb {E}\left[\xi^{2}\right] < \infty$ и $\mathbb {E}\left[\eta^{2}\right] < \infty$. Доказать, что если имеют место равенства $\mathbb {E}\left[\xi \mid \eta \right] = \eta$ и $\mathbb {E}\left[\eta \mid \xi \right] = \xi$, то $\xi = \eta$ п.н.

Найти $\mathbb {E}\left[\xi \mid \eta \right]$, если совместная плотность случайного вектора $(\xi ,\eta )$ равна:

Пусть совместная плотность случайного вектора $(\xi ,\eta )$ равна

Найти:

Пусть $\xi$ имеет распределение Пуассона с параметром $\lambda$, а распределение случайной величины $\mathbb {E}\left[\eta \mid \xi \right]$ имеет нормальную плотность с нулевым средним значением и дисперсией $\xi$.

Пусть случайная величина $\xi$ имеет показательное распределение с параметром $1$, а случайная величина $\mathbb {E}\left[\eta \mid \xi \right]$ имеет распределение Пуассона с параметром $\xi$. Найти распределение случайной величины $\eta$.

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — независимые одинаково распределённые случайные величины с конечным математическим ожиданием, а $S_{n} = \xi_{1} + \ldots + \xi_{n}$. Пусть $\mathcal{A}_{n}$ — $\sigma$-алгебра, порождённая суммами $S_{n}, S_{n+1}, \ldots$. Доказать, что