Мартингалы

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — независимые случайные величины, причём $\mathbb {P}\left(\xi_{i}=0\right) = \mathbb {P}\left(\xi_{i}=2\right) = 1/2$. Доказать, что последовательность произведений $\eta_{n} = \prod_{i=1}^{n} \xi_{i}$ образует мартингал.

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — независимые случайные величины, причём $\mathbb {P}\left(\xi_{i}=1\right) = 1 - \mathbb {P}\left(\xi_{i}=-1\right) = p$, $p \neq 1/2$. Положим $S_{n} = \xi_{1} + \ldots + \xi_{n}$ и $\mathcal{A}_{n} = \sigma (S_{1}, \ldots , S_{n})$. Доказать, что следующая последовательность будет мартингалом относительно потока $\{ \mathcal{A}_{n}\}$:

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — независимые случайные величины, причём $\mathbb {P}\left(\xi_{i}=1\right) = \mathbb {P}\left(\xi_{i}=-1\right) = 1/2$. Положим $S_{n} = \xi_{1} + \ldots + \xi_{n}$ и $\mathcal{A}_{n} = \sigma (S_{1}, \ldots , S_{n})$. Доказать, что для любых чисел $A \in (-\infty ,\infty )$ и $\lambda \in (0,\pi /2)$ последовательность

будет мартингалом относительно потока $\{ \mathcal{A}_{n}\}$.

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — независимые одинаково распределённые случайные величины с нулевым средним значением. Положим $S_{n} = \xi_{1} + \ldots + \xi_{n}$ и $\mathcal{A}_{n} = \sigma (S_{1}, \ldots , S_{n})$. Доказать, что следующая последовательность будет мартингалом относительно потока $\{ \mathcal{A}_{n}\}$:

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — независимые случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями. Обозначим $S_{n} = \xi_{1} + \ldots + \xi_{n}$. Доказать, что последовательность сумм $\{ S_{n}\}$ образует мартингал.

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — неотрицательные случайные величины с конечными средними значениями, $S_{n} = \xi_{1} + \ldots + \xi_{n}$. Доказать, что последовательность сумм $\{ S_{n}\}$ образует субмартингал.

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — независимые случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и конечными дисперсиями. Обозначим $S_{n} = \xi_{1} + \ldots + \xi_{n}$. Доказать, что последовательность $\{ S_{n}^{2} - B_{n}\}$ образует мартингал, где $B_{n} = \operatorname {Var}\left[\xi_{1}\right] + \ldots + \operatorname {Var}\left[\xi_{n}\right]$.

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — независимые случайные величины, причём $\mathbb {E}\left[\xi_{n}\right] = 1$ для любого $n$. Доказать, что последовательность произведений $\eta_{n} = \prod_{i=1}^{n} \xi_{i}$ образует мартингал.

Пусть $\xi$ — случайная величина с конечным математическим ожиданием, $\{ \mathcal{A}_{n}\}_{n \geq 0}$ — неубывающая последовательность $\sigma$-алгебр. Доказать, что последовательность $\xi_{n} = \mathbb {E}\left[\xi \mid \mathcal{A}_{n}\right]$ образует мартингал.

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — независимые одинаково распределённые случайные величины с конечным математическим ожиданием, а $S_{n} = \xi_{1} + \ldots + \xi_{n}$. Доказать, что последовательность

образует мартингал.

Пусть $\xi (t)$ — мартингал относительно потока $\{ \mathcal{A}_{t}\}$. Доказать, что процесс $\xi (t)$ имеет некоррелированные приращения, т.е. $\operatorname {Cov}\left[ \xi (s)-\xi (t), \xi (v)-\xi (u) \right] = 0$ при $t<s<u<v$.

Пусть $\xi (t)$ — однородный процесс Пуассона с параметром $\lambda$. Доказать, что $\zeta (t) = \mathrm{exp}\left(\xi (t)-at\right)$ представляет собой субмартингал при $a \leq \lambda (e-1)$ и супермартингал при $a \geq \lambda (e-1)$.

Доказать, что винеровский процесс, выходящий из нуля, является мартингалом с непрерывным временем.

Пусть $\{ \xi_{n}\}$ — мартингал, причём $\mathbb {E}\left[(\xi_{n}-\xi_{n-1})^{2}\right] \leq c$ для некоторого $c<\infty$. Доказать, что $\xi_{n}/n \to \mathbb {E}\left[\xi_{1}\right]$ по вероятности.

Пусть $\xi_{0}, \xi_{1}, \ldots$ — ветвящийся процесс, $\xi_{0}=1$ и $\mathbb {E}\left[\xi_{1}\right]=m$. Положим $\eta_{n} = \xi_{n}/m^{n}$. Доказать, что $\{ \eta_{n}\}$ образует мартингал.

Пусть $w(t)$ — стандартный винеровский процесс. Выяснить, какие из следующих процессов мартингалы: