Часть VI

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ

[61/84%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

25 · Центральная предельная теорема[25/64%]

Задача 25.1

Пусть для последовательности $\{ \xi_{n}\}$ выполнена ЦПТ, причём $\operatorname {Var}\left[S_{n}\right] = o(n^{2})$ при $n \rightarrow \infty$ . Доказать, что тогда справедлив и ЗБЧ.

Задача 25.2

Привести пример, подтверждающий, что условие Ляпунова не является необходимым для выполнения ЦПТ.

Задача 25.3

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — равномерно ограниченная последовательность независимых случайных величин, т. е. существует константа $A < \infty$ такая, что для всех $n$ выполнено неравенство $\left|\xi_{n}\right| < A$ . Пусть $S_{n} = \xi_{1} + \ldots + \xi_{n}$ . Доказать, что последовательность $\{ \xi_{n}\}$ удовлетворяет ЦПТ, если $\operatorname {Var}\left[S_{n}\right] \rightarrow \infty$ .

Задача 25.4

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин с конечной ненулевой дисперсией. Доказать, что для любых $a$ и $b$

\lim _{n \rightarrow \infty } \mathbb {P}\left(a \leqslant S_{n} \leqslant b\right) = 0.

Задача 25.5

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин с конечной дисперсией. Доказать, что для любого $b$ предел

\lim _{n \rightarrow \infty } \mathbb {P}\left(S_{n} < b\right)

равен либо 0, либо 1, либо 1/2. Найти условия, при которых имеет место каждая из указанных ситуаций.

Задача 25.6

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределённых (невырожденных) случайных величин с нулевым средним значением и с конечной дисперсией. Доказать, что для любого $b > 0$ предел

\lim _{n \rightarrow \infty } \mathbb {P}\left(\left|\frac{S_{n}}{n^{\alpha }}\right| < b\right)

равен 0 при $\alpha < 1/2$ и 1 при $\alpha > 1/2$ .

Задача 25.7

\lim _{n \rightarrow \infty } \mathbb {P}\left(\left|\frac{S_{n}}{\sqrt{n}}\right| < b\right).

Задача 25.8

(а)(б)

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин с нулевым средним значением и с конечной дисперсией. Найти $\operatorname {Var}\left[\xi_{1}\right]$ , если:

(а)

$\lim_{n \rightarrow \infty } \mathbb {P}\left(\frac{S_{n}}{\sqrt{n}} > 1\right) = \frac{1}{3}$ ;

(б)

$\lim_{n \rightarrow \infty } \mathbb {P}\left(\left|\frac{S_{n}}{\sqrt{n}}\right| > 1\right) = \frac{1}{5}$ .

Задача 25.9

Случайная величина $\eta_{n}$ имеет распределение Пуассона с параметром $n$ . Существует ли предел при $n \rightarrow \infty$ отношения $(\eta_{n} - n)/\sqrt{n}$ ?

Задача 25.10

Доказать, что при $n \rightarrow \infty$

e^{-n} \sum _{k=0}^{n} \frac{n^{k}}{k!} \rightarrow \frac{1}{2}.

Задача 25.11

Случайная величина $\eta_{n}$ имеет биномиальное распределение с параметрами $n$ и 1/2. Существует ли предел при $n \rightarrow \infty$ отношения $(2\eta_{n} - n)/\sqrt{n}$ ?

Задача 25.12

(а)(б)

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин. Пусть $\xi_{n}$ принимает значения $n$ и $-n$ с равными вероятностями. Сходится ли к нормальному закону распределение отношения:

(а)

$S_{n}/\sqrt{n}$ ;

(б)

$S_{n}/\sqrt{\operatorname {Var}\left[S_{n}\right]}$ ?

Задача 25.13

(а)(б)(в)(г)

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин. Пусть $\xi_{n}$ принимает значения $n$ , $-n$ и 0 с вероятностями:

(а)

$1/2n^{2}$ , $1/2n^{2}$ и $1 - 1/n^{2}$ ;

(б)

$1/2\sqrt{n}$ , $1/2\sqrt{n}$ и $1 - 1/\sqrt{n}$ ;

(в)

$1/4$ , $1/4$ и $1/2$ ;

(г)

$2^{-n}$ , $2^{-n}$ и $1 - 2^{-n+1}$ .

Выполнена ли ЦПТ для последовательности $\{ \xi_{n}\}$ ?

Задача 25.14

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин. Пусть $\xi_{n}$ принимает значения $\sqrt{n}$ , $-\sqrt{n}$ и 0 с вероятностями $1/2n$ , $1/2n$ и $1 - 1/n$ соответственно. Будет ли выполнена ЦПТ для последовательности $\{ \xi_{n}\}$ ?

Задача 25.15

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин. Пусть $\xi_{n}$ принимает значения $2^{n}$ и $-2^{n}$ с вероятностью $1/2$ каждое. Выполнена ли ЦПТ для последовательности $\{ \xi_{n}\}$ ?

Задача 25.16

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин. Пусть $\xi_{n}$ принимает значения $2^{n}$ , $-2^{n}$ и 0 с вероятностями $2^{-(2n+1)}$ , $2^{-(2n+1)}$ и $1 - 2^{-2n}$ соответственно. Выполнена ли ЦПТ для последовательности $\{ \xi_{n}\}$ ?

Задача 25.17

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин. Пусть $\xi_{n}$ равномерно распределена на отрезке $[a_{n} - 1, a_{n} + 1]$ , причём $\sum_{n} \left|a_{n}\right| < \infty$ . Найти

\lim _{n \rightarrow \infty } \mathbb {P}\left(0 < \frac{S_{n}}{\sqrt{n}} < 1\right).

Задача 25.18

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин. Пусть $\xi_{n}$ принимает значения 1 и $-1$ с вероятностью $(1 - 2^{-n})/2$ каждое и значения $2^{n}$ и $-2^{n}$ с вероятностью $2^{-n-1}$ каждое. Доказать, что для последовательности $\{ \xi_{n}\}$ выполнена ЦПТ.

Задача 25.19

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ имеют распределение Пуассона с параметром $\lambda$ . Существует ли слабый предел при $n \rightarrow \infty$ выражения

\frac{1}{\sqrt{n}} \sum _{i=1}^{n} (\xi _{2i-1} - \xi _{2i})?

Задача 25.20

Пусть $\xi$ и $\eta$ — независимые одинаково распределённые случайные величины с конечной дисперсией. Доказать, что если величины $\xi + \eta$ и $\xi - \eta$ независимы, то $\xi$ и $\eta$ имеют нормальное распределение, возможно вырожденное.

Задача 25.21

Пусть $\xi$ и $\eta$ — независимые одинаково распределённые случайные величины с нулевым средним значением и конечной дисперсией. Используя ЦПТ, доказать, что если величины $\xi$ и $(\xi + \eta )/\sqrt{2}$ имеют одинаковое невырожденное распределение, то это распределение — нормальное.

Задача 25.22

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин. Пусть $\xi_{n}$ принимает значения $a_{n}$ , $-a_{n}$ , и 0 с вероятностями $p_{n}$ , $p_{n}$ и $1 - 2p_{n}$ соответственно. Найти условия для констант $a_{n}$ и $p_{n}$ , обеспечивающие выполнение ЦПТ для последовательности $\{ \xi_{n}\}$ .

Задача 25.23

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин. Когда $n$ — точный квадрат, $\xi_{n}$ принимает значения $-\sqrt{n}$ и $\sqrt{n}$ с вероятностью $1/2$ каждое, при остальных $n$ величина $\xi_{n}$ принимает значения $-1$ и 1 с вероятностью $1/2$ каждое. Выполнена ли ЦПТ для последовательности $\{ \xi_{n}\}$ ?

Задача 25.24

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — независимые одинаково распределёные случайные величины, причём $\mathbb {E}\left[\xi_{1}\right] = 0$ и $\operatorname {Var}\left[\xi_{1}\right] = 1$ . Найти предельное распределение случайных величин

\eta _{n} = \sqrt{n} \frac{\xi _{1} + \ldots + \xi _{n}}{\xi _{1}^{2} + \ldots + \xi _{n}^{2}} \quad \text{и} \quad \zeta _{n} = \frac{\xi _{1} + \ldots + \xi _{n}}{\sqrt{\xi _{1}^{2} + \ldots + \xi _{n}^{2}}}.

Задача 25.25

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, причём $\mathbb {E}\left[\xi_{1}\right] = 0$ и $\operatorname {Var}\left[\xi_{1}\right] = \sigma^{2} > 0$ . Сходятся ли по вероятности при $n \rightarrow \infty$ величины

\frac{\xi _{1} + \ldots + \xi _{n}}{\sqrt{n}}?