Центральная предельная теорема

Пусть для последовательности $\{ \xi_{n}\}$ выполнена ЦПТ, причём $\operatorname {Var}\left[S_{n}\right] = o(n^{2})$ при $n \rightarrow \infty$. Доказать, что тогда справедлив и ЗБЧ.

Привести пример, подтверждающий, что условие Ляпунова не является необходимым для выполнения ЦПТ.

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — равномерно ограниченная последовательность независимых случайных величин, т. е. существует константа $A < \infty$ такая, что для всех $n$ выполнено неравенство $\left|\xi_{n}\right| < A$. Пусть $S_{n} = \xi_{1} + \ldots + \xi_{n}$. Доказать, что последовательность $\{ \xi_{n}\}$ удовлетворяет ЦПТ, если $\operatorname {Var}\left[S_{n}\right] \rightarrow \infty$.

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин с конечной ненулевой дисперсией. Доказать, что для любых $a$ и $b$

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин с конечной дисперсией. Доказать, что для любого $b$ предел

равен либо 0, либо 1, либо 1/2. Найти условия, при которых имеет место каждая из указанных ситуаций.

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределённых (невырожденных) случайных величин с нулевым средним значением и с конечной дисперсией. Доказать, что для любого $b > 0$ предел

равен 0 при $\alpha < 1/2$ и 1 при $\alpha > 1/2$.

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределённых (невырожденных) случайных величин с нулевым средним значением и с конечной дисперсией. Найти предел

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин с нулевым средним значением и с конечной дисперсией. Найти $\operatorname {Var}\left[\xi_{1}\right]$, если:

Случайная величина $\eta_{n}$ имеет распределение Пуассона с параметром $n$. Существует ли предел при $n \rightarrow \infty$ отношения $(\eta_{n} - n)/\sqrt{n}$?

Доказать, что при $n \rightarrow \infty$

Случайная величина $\eta_{n}$ имеет биномиальное распределение с параметрами $n$ и 1/2. Существует ли предел при $n \rightarrow \infty$ отношения $(2\eta_{n} - n)/\sqrt{n}$?

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин. Пусть $\xi_{n}$ принимает значения $n$ и $-n$ с равными вероятностями. Сходится ли к нормальному закону распределение отношения:

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин. Пусть $\xi_{n}$ принимает значения $n$, $-n$ и 0 с вероятностями:

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин. Пусть $\xi_{n}$ принимает значения $\sqrt{n}$, $-\sqrt{n}$ и 0 с вероятностями $1/2n$, $1/2n$ и $1 - 1/n$ соответственно. Будет ли выполнена ЦПТ для последовательности $\{ \xi_{n}\}$?

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин. Пусть $\xi_{n}$ принимает значения $2^{n}$ и $-2^{n}$ с вероятностью $1/2$ каждое. Выполнена ли ЦПТ для последовательности $\{ \xi_{n}\}$?

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин. Пусть $\xi_{n}$ принимает значения $2^{n}$, $-2^{n}$ и 0 с вероятностями $2^{-(2n+1)}$, $2^{-(2n+1)}$ и $1 - 2^{-2n}$ соответственно. Выполнена ли ЦПТ для последовательности $\{ \xi_{n}\}$?

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин. Пусть $\xi_{n}$ равномерно распределена на отрезке $[a_{n} - 1, a_{n} + 1]$, причём $\sum_{n} \left|a_{n}\right| < \infty$. Найти

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин. Пусть $\xi_{n}$ принимает значения 1 и $-1$ с вероятностью $(1 - 2^{-n})/2$ каждое и значения $2^{n}$ и $-2^{n}$ с вероятностью $2^{-n-1}$ каждое. Доказать, что для последовательности $\{ \xi_{n}\}$ выполнена ЦПТ.

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ имеют распределение Пуассона с параметром $\lambda$. Существует ли слабый предел при $n \rightarrow \infty$ выражения

Пусть $\xi$ и $\eta$ — независимые одинаково распределённые случайные величины с конечной дисперсией. Доказать, что если величины $\xi + \eta$ и $\xi - \eta$ независимы, то $\xi$ и $\eta$ имеют нормальное распределение, возможно вырожденное.

Пусть $\xi$ и $\eta$ — независимые одинаково распределённые случайные величины с нулевым средним значением и конечной дисперсией. Используя ЦПТ, доказать, что если величины $\xi$ и $(\xi + \eta )/\sqrt{2}$ имеют одинаковое невырожденное распределение, то это распределение — нормальное.

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин. Пусть $\xi_{n}$ принимает значения $a_{n}$, $-a_{n}$, и 0 с вероятностями $p_{n}$, $p_{n}$ и $1 - 2p_{n}$ соответственно. Найти условия для констант $a_{n}$ и $p_{n}$, обеспечивающие выполнение ЦПТ для последовательности $\{ \xi_{n}\}$.

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых случайных величин. Когда $n$ — точный квадрат, $\xi_{n}$ принимает значения $-\sqrt{n}$ и $\sqrt{n}$ с вероятностью $1/2$ каждое, при остальных $n$ величина $\xi_{n}$ принимает значения $-1$ и 1 с вероятностью $1/2$ каждое. Выполнена ли ЦПТ для последовательности $\{ \xi_{n}\}$?

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — независимые одинаково распределёные случайные величины, причём $\mathbb {E}\left[\xi_{1}\right] = 0$ и $\operatorname {Var}\left[\xi_{1}\right] = 1$. Найти предельное распределение случайных величин

Пусть $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$ — последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, причём $\mathbb {E}\left[\xi_{1}\right] = 0$ и $\operatorname {Var}\left[\xi_{1}\right] = \sigma^{2} > 0$. Сходятся ли по вероятности при $n \rightarrow \infty$ величины