Численные задачи на использование центральной предельной теоремы и теоремы Пуассона

Известно, что левши составляют в среднем 1. Оценить вероятность того, что по меньшей мере четверо левшей окажется среди:

Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,001. Для поражения цели необходимо не менее двух попаданий. Произведено 5 000 независимых выстрелов. Найти вероятность поражения цели.

В некоторой группе людей дальтоники составляют 1. Найти вероятность того, что среди 100 человек:

Известно, что вероятность рождения мальчика приблизительно равна 0,515. Какова вероятность того, что среди 10 тысяч новорожденных число мальчиков будет не больше, чем девочек?

В стране насчитывается 10 млн избирателей, из которых 5,5 млн принадлежат к партии А, и 4,5 млн принадлежат к партии В. Назначаются жребием 20 000 выборщиков. Какова вероятность того, что большинство выборщиков окажется сторонниками партии В?

Среди семян пшеницы 0,6 семян сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 1 000 семян обнаружить:

Книга в 500 страниц содержит 50 опечаток. Оценить вероятность того, что на случайно выбранной странице не менее 3 опечаток.

Для лица, дожившего до 20-летнего возраста, вероятность смерти на 21-м году жизни равна 0,006. Застрахована группа в 10 000 человек 20-летнего возраста, причём каждый застрахованный внес 1 рубль 20 копеек страховых взносов за год. В случае смерти застрахованного страховое учреждение выплачивает наследникам 100 рублей. Какова вероятность того, что к концу года страховое учреждение:

Вероятность выпуска отдельного сверла повышенной хрупкости (брак) равна 0,02. Свёрла укладываются в коробки по 100 штук. Чему равна вероятность того, что:

Сколько изюминок в среднем должны содержать калорийные булочки для того, чтобы вероятность наличия в булочке хотя бы одной изюминки была не менее 0,99?

Театр, вмещающий 1 000 человек, имеет два отдельных входа. Около каждого входа имеется свой гардероб. Сколько мест должно быть в каждом гардеробе для того, чтобы в среднем в 99 случаях из 100 все зрители могли раздеться в гардеробе того входа, через который они вошли? Предполагается, что зрители приходят парами и каждая пара независимо от других выбирает с вероятностью 1/2 любой из входов. Насколько можно будет сократить число мест в гардеробе, если зрители будут приходить поодиночке и также независимо друг от друга с равной вероятностью выбирать любой из входов?

В посёлке 2 500 жителей. Каждый из них примерно 6 раз в месяц ездит на поезде в город, выбирая дни поездок по случайным мотивам независимо от остальных. Какой наименьшей вместимостью должен обладать поезд, чтобы он переполнялся в среднем не чаще одного раза в 100 дней (поезд ходит раз в сутки)?

Некоторая машина состоит из 10 тысяч деталей. Каждая деталь независимо от других деталей может оказаться неисправной с вероятностью $p_{i}$, причём для $n_{1} = 1 000$ деталей $p_{1} = 0,0003$, для $n_{2} = 2 000$ деталей $p_{2} = 0,0002$ и для $n_{3} = 7 000$ деталей $p_{3} = 0,0001$. Машина не работает, если в ней неисправны хотя бы две детали. Найти вероятность того, что машина не будет работать.

Для проверки влияния нового лекарства на кровяное давление у 100 пациентов было измерено давление до и после приёма лекарства. При этом оказалось, что в 32 случаях давление после приёма лекарства повысилось, а в 68 случаях понизилось. Можно ли считать установленным, что это лекарство влияет на кровяное давление? Какова вероятность, что чисто случайные колебания давления вызовут не меньшее отклонение от 50?

Игральная кость брошена 1 000 раз. Найти пределы, в которых с вероятностью не менее 0,99 лежит суммарное число очков.

Игральная кость подбрасывается до тех пор, пока общая сумма выпавших очков не превысит 700. Оценить вероятность того, что для этого потребуется:

Оценить вероятность того, что число выпадений единицы при 12 000 бросаний игральной кости заключено в пределах между 1 900 и 2 150.

При выстреле по мишени стрелок попадает в десятку с вероятностью 0,5; в девятку — 0,3; в восьмёрку — 0,1; в семёрку — 0,05; в шестёрку — 0,05. Стрелок сделал 100 выстрелов. Какова вероятность того, что он набрал:

При составлении статистического отчета надо сложить $10^{4}$ чисел, каждое из которых округлено с точностью до $10^{-m}$. Предположим, что ошибки, возникающие при округлении чисел, взаимно независимы и имеют равномерное распределение в интервале $(-0,5 \cdot 10^{-m}, 0,5 \cdot 10^{-m})$. Найти пределы, в которых с вероятностью не менее 0,997 будет лежать суммарная ошибка.

Урожайность куста картофеля равна 0 кг с вероятностью 0,1; 1 кг с вероятностью 0,2; 1,5 кг с вероятностью 0,2; 2 кг с вероятностью 0,3; 2,5 кг с вероятностью 0,2. На участке посажено 900 кустов. В каких пределах с вероятностью 0,95 будет находиться урожай? Какое наименьшее число кустов надо посадить, чтобы с вероятностью не менее 0,975 урожай был не менее тонны?

Мера длины фут, как видно из названия, — длина ступни. Но, как известно, размеры ног бывают разные. Немцы в XVI веке выходили из положения следующим способом. В воскресный день ставили рядом 16 первых вышедших из церкви мужчин. Сумма длин их левых ступней делилась на 16. Средняя длина и была <<правильным и законным>> футом. Известно, что размер стопы взрослого мужчины — случайная величина, имеющая нормальное распределение со средним значением 262,5 мм и квадратичным отклонением $\sigma = 12$ мм. Найти вероятность того, что два <<правильных и законных>> значения фута, определённых по двум различным группам мужчин, отличаются более чем на 5 мм. Сколько нужно было бы взять мужчин для того, чтобы с вероятностью не менее 0,99 средний размер их ступней отличался от 262,5 мм менее чем на 0,5 мм?

Студент получает на экзамене 5 с вероятностью 0,2; 4 с вероятностью 0,4; 3 с вероятностью 0,3 и 2 с вероятностью 0,1. За время обучения он сдаёт 40 экзаменов. Найти пределы, в которых с вероятностью 0,95 лежит средний балл студента.

Имеется 1 000 прямоугольных параллелепипедов, у каждого из которых длина каждой стороны принимает значения 1/2 и 1 с вероятностями 0,3 и 0,7 соответственно. Пусть $V$ — суммарный объём этих параллелепипедов. Оценить вероятность того, что $590 < V < 605$.

Рыбак забросил спиннинг 80 раз. Какова вероятность того, что он поймал хотя бы одну рыбу, если одна рыба приходится в среднем на 200 забрасываний?

Предположим, что при наборе книги существует постоянная вероятность $p = 0,0001$ того, что любая буква будет набрана неправильно. После набора гранки прочитывает корректор, который обнаруживает каждую опечатку с вероятностью $q = 0,9$. После корректора — автор, обнаруживающий каждую из оставшихся опечаток с вероятностью $r = 0,5$. Найти вероятность того, что в книге с миллионом печатных знаков останется после этого менее 10 незамеченных опечаток.

Найти вероятность того, что среди 10 000 случайных цифр цифра 7 появится не более 968 раз.

Сколько случайных цифр нужно взять, чтобы вероятность появления среди них цифры 7 была не меньше 9/10?

Монета брошена 1 000 раз. При каком $k$ число выпадений герба лежит между 490 и $k$ с вероятностью 1/2.

При $n = 14 400$ бросаниях монеты герб выпал 7 377 раз. Как вероятно столь большое или большее уклонение числа выпадений герба от $n/2$?

В некоторой группе людей дальтоники составляют 1. Как велика должна быть случайная выборка, чтобы вероятность присутствия в ней хотя бы одного дальтоника была не меньше 0,95?

В жюри, состоящем из нечётного числа $n = 2m+1$ членов, каждый независимо от других принимает правильное решение с вероятностью $p = 0,7$. Каково минимальное число членов жюри, при котором решение, принятое большинством голосов, будет справедливым с вероятностью не меньшей, чем 0,99?

Берутся два сосуда $A$ и $B$, каждый из которых имеет объём 1 дм$^{3}$ и содержит $2,7 \cdot 10^{22}$ молекул газа. Эти сосуды приведены в соприкосновение так, что между ними происходит свободный обмен молекулами. Чему равна вероятность того, что через одни сутки в одном из сосудов молекул окажется по меньшей мере на одну десятимиллиардную часть больше, чем в другом?

Сколько раз надо бросить игральную кость, чтобы с вероятностью 1/2 сумма выпавших очков превысила 100?

На фабрике имеется 300 одинаковых станков. Ежедневно в среднем 70 станков работают, а остальные находятся в ремонте. Каким количеством энергии нужно обеспечить фабрику, чтобы с вероятностью 0,999 все исправные станки могли работать?

Маршрут перехода состоит из 10 отдельных этапов. Длина каждого этапа измеряется по карте с точностью до целых километров. Какова вероятность того, что ошибка в определении всей длины маршрута вследствие этих округлений будет не более 1,5 км?

На улице стоит человек и продает газеты. Предположим, что каждый из проходящих мимо людей покупает газету с вероятностью 1/3. Пусть $\xi$ означает число людей, прошедших мимо продавца за время, пока он продавал первые 100 экземпляров газет. Найти приближённое распределение $\xi$.