Часть III

Базисы и фреймы в прикладном гармоническом анализе

[114/96%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

Содержание

9 · Преобразование Фурье на вещественной прямой

10 · Дискретизация, взвешенные экспоненты и сдвиги

11 · Базисы и фреймы Габора

12 · Вейвлет-базисы и фреймы

Глава

9 · Преобразование Фурье на вещественной прямой[9/89%]

Задача 9.1

Докажите, что функция sinc $d_{\pi }(\xi ) = \frac{\sin \pi \xi }{\pi \xi }$ не принадлежит $L^{1}(\mathbb {R})$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 9.2

(a)(b)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Докажите, что каждая функция $f \in C_{0}(\mathbb {R})$ равномерно непрерывна, и покажите, что равномерная непрерывность эквивалентна утверждению

\lim _{a \rightarrow 0}\left\| T_{a} f-f\right\| _{L^{\infty }} = 0 \tag {9.21}

Покажите, что уравнение (9.21) может не выполняться, если предполагать лишь $f \in C_{b}(\mathbb {R})$ .

(b)

Покажите, что если $1 \leq p < \infty$ и $f \in L^{p}(\mathbb {R})$ , то

\lim _{a \rightarrow 0}\left\| T_{a} f-f\right\| _{L^{p}} = 0

В связи с этим говорят, что сдвиг сильно непрерывен на $L^{p}(\mathbb {R})$ при конечном $p$ .

Задача 9.3

Докажите, что равенства в уравнениях (9.3) и (9.4) выполняются для всех функций $f \in L^{1}(\mathbb {R})$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 9.4

Докажите теорему 9.15.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Примечание.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Теорема 9.15: Пусть $f \in L^{1}(\mathbb {R})$ ; если $x^{m} f(x) \in L^{1}(\mathbb {R})$ для некоторого $m \in \mathbb {N}$ , то $\widehat{f} \in C_{0}^{m}(\mathbb {R})$ , то есть $\widehat{f}$ $m$ раз дифференцируема и $\widehat{f}, \widehat{f}^{\prime }, \ldots , \widehat{f}^{(m)} \in C_{0}(\mathbb {R})$ . Более того, в этом случае $x^{k} f(x) \in L^{1}(\mathbb {R})$ для $k = 0, \ldots , m$ , и $k$ -я производная $\widehat{f}$ является преобразованием Фурье функции $(-2 \pi i x)^{k} f(x)$ : $\widehat{f}^{(k)} = \frac{d^{k}}{d \xi^{k}}\widehat{f} = \widehat{\left((-2 \pi i x)^{k} f(x)\right)}$ для $k = 0, \ldots , m$ .

Задача 9.5

(a)(b)(c)(d)(e)

Это упражнение даёт детали, необходимые для доказательства теоремы 9.21. Пусть $f, g \in L^{1}(\mathbb {R})$ фиксированы; докажите следующие факты.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Преобразование Фурье инволюции $\widetilde{f}(x) = \overline{f(-x)}$ равно

(\tilde{f})^{\wedge }(\xi ) = \overline{\widehat{f}(\xi )}, \quad \xi \in \mathbb {R}

(b)

Свёртка

(f * g)(x) = \int _{-\infty }^{\infty } f(y) g(x-y) d y

существует для почти всех $x$ , причём $f * g \in L^{1}(\mathbb {R})$ и $\left\| f * g\right\|_{L^{1}} \leq \left\| f\right\|_{L^{1}}\left\| g\right\|_{L^{1}}$ . Кроме того, $f * g = g * f$ .

(c)

Преобразование Фурье $f * g$ равно

(f * g)^{\wedge }(\xi ) = \widehat{f}(\xi ) \widehat{g}(\xi ), \quad \xi \in \mathbb {R}

(d)

Если $f, g$ имеют компактный носитель, то и $f * g$ имеет компактный носитель.

(e)

Если $g$ дифференцируема и $g^{\prime }$ интегрируема и ограничена, то $f * g$ дифференцируема и $(f * g)^{\prime } = f * g^{\prime }$ .

Задача 9.6

(a)(b)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Покажите, что уравнения (9.3) и (9.4) выполняются для каждой $f \in C_{c}^{2}(\mathbb {R})$ .

(b)

Используя пункт (a), а также тот факт, что $L^{1}(\mathbb {R}) \cap L^{2}(\mathbb {R})$ плотно в $L^{2}(\mathbb {R})$ , покажите, что уравнения (9.3) и (9.4) выполняются для каждой $f \in L^{2}(\mathbb {R})$ в смысле поточечного равенства функций почти всюду.

Задача 9.7

(a)(b)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Докажите, что если $f \in L^{1}(\mathbb {R})$ вещественна и чётна, то $\widehat{f}$ вещественна и чётна.

(b)

Покажите, что пункт (a) верен также, если предположить $f \in L^{2}(\mathbb {R})$ .

Задача 9.8

(a)(b)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Докажите, что если $f \in L^{1}(\mathbb {R})$ и $\widehat{f} \in L^{1}(\mathbb {R})$ , то $f^{\wedge \wedge }(\xi ) = f(-\xi )$ и $f^{\wedge \wedge \wedge \wedge }(\xi ) = f(\xi )$ для всех $\xi \in \mathbb {R}$ .

(b)

Докажите, что если $f \in L^{2}(\mathbb {R})$ , то $f^{\wedge \wedge }(\xi ) = f(-\xi )$ и $f^{\wedge \wedge \wedge \wedge }(\xi ) = f(\xi )$ для почти всех $\xi \in \mathbb {R}$ .

Задача 9.9

Докажите теорему 9.28.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Примечание.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Теорема 9.28 (интегрирование по частям): Если $f, g$ абсолютно непрерывны на $[a, b]$ , то $\int_{a}^{b} f^{\prime }(x) g(x) d x = f(b) g(b)-f(a) g(a)-\int_{a}^{b} f(x) g^{\prime }(x) d x$ .

Глава

10 · Дискретизация, взвешенные экспоненты и сдвиги[23/100%]

Задача 10.1

Покажите, что преобразование Фурье $\mathcal{F}$ и обратное преобразование Фурье $\mathcal{F}^{-1}$ каждое унитарно отображает $L_{[-\Omega , \Omega ]}^{2}(\mathbb {R})$ на $\mathcal{F} L_{[-\Omega , \Omega ]}^{2}(\mathbb {R})$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 10.2

Покажите, что оператор растяжения $D_{r}$ унитарно отображает $\mathcal{F} L_{[-\Omega , \Omega ]}^{2}(\mathbb {R})$ на $\mathcal{F} L_{[-r \Omega , r \Omega ]}^{2}(\mathbb {R})$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 10.3

(a)(b)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Докажите утверждение (a) теоремы 10.4.

(b)

Покажите, что $\mathrm{PW}(\mathbb {R}) \subseteq C^{\infty }(\mathbb {R})$ , обосновав утверждения, сделанные в доказательстве теоремы 10.4(d).

Задача 10.4

(a)(b)(c)(d)

Для $f \in \mathrm{PW}(\mathbb {R})$ докажите следующие утверждения.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

$n$ -я производная $f$ может быть записана в виде

f^{(n)}(x) = \int _{-1 / 2}^{1 / 2}(2 \pi i \xi )^{n} \widehat{f}(\xi ) e^{2 \pi i \xi x} d \xi

(b)

$\left\| f^{(n)}\right\|_{\infty } \leq \pi^{n}\left\| \widehat{f}\right\|_{L^{1}}$ для каждого $n \geq 0$ .

(c)

Для $a \in \mathbb {R}$ ряд Тейлора функции $f$ в точке $a$ сходится к $f(x)$ при всех $x$ , т.е.

f(x) = \sum _{n = 0}^{\infty } \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}, \quad x \in \mathbb {R}

Замечание: Это означает, что $f$ является вещественно-аналитической функцией на $\mathbb {R}$ . Теорема Пэли–Винера утверждает больше: в частности, $f$ продолжается до функции, комплексно-аналитической на $\mathbb {C}$ .

(d)

Используя пункт (c), дайте другое доказательство следствия 10.6.

Задача 10.5

Докажите теорему 10.8.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Примечание.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Теорема 10.8: Пусть $\left\{ \lambda_{n}\right\}_{n \in \mathbb {N}}$ — произвольная последовательность вещественных чисел, такая что $\left\{ e_{\lambda_{n}}\right\}_{n \in \mathbb {N}}$ — фрейм для $L^{2}(\mathbf{T})$ . Пусть $\left\{ \widetilde{e}_{n}\right\}_{n \in \mathbb {N}}$ — канонический двойственный фрейм к $\left\{ e_{\lambda_{n}}\right\}_{n \in \mathbb {N}}$ в $L^{2}(\mathbf{T})$ , и положим $\widetilde{s}_{n} = \left(\widetilde{e}_{n} \chi_{\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]}\right)^{\vee }$ . Тогда для любой $f \in \mathrm{PW}(\mathbb {R})$ имеем $f = \sum_{n} f(\lambda_{n}) \widetilde{s}_{n}$ , где ряд сходится по норме $L^{2}$ .

Задача 10.6

Покажите, что если $b > 1$ , то функция $f \in \mathrm{PW}(\mathbb {R})$ не определяется однозначно последовательностью отсчётов $\left\{ f(b n)\right\}_{n \in \mathbb {Z}}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 10.7

Докажите, что подпространство $H_{\varphi }$ , определённое в уравнении (10.6), является замкнутым подпространством $L^{2}(\mathbf{T})$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 10.8

(a)(b)(c)(d)(e)(f)

Завершите доказательство теоремы 10.10: пусть $\varphi \in L^{2}(\mathbf{T})$ и пусть $\mathcal{E}(\varphi ) = \left\{ \varphi e_{n}\right\}_{n \in \mathbb {Z}}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

$\mathcal{E}(\varphi )$ полна в $L^{2}(\mathbf{T})$ тогда и только тогда, когда $\varphi (x) \neq 0$ п.в.

(b)

$\mathcal{E}(\varphi )$ минимальна в $L^{2}(\mathbf{T})$ тогда и только тогда, когда $1/\varphi \in L^{2}(\mathbf{T})$ (в этом случае $\mathcal{E}(\varphi )$ точна, биортогональна $\mathcal{E}(\widetilde{\varphi })$ , где $\widetilde{\varphi } = 1/\varphi$ ).

(c)

$\mathcal{E}(\varphi )$ — бесселева последовательность в $L^{2}(\mathbf{T})$ тогда и только тогда, когда $\varphi \in L^{\infty }(\mathbf{T})$ .

(d)

$\mathcal{E}(\varphi )$ — фреймовая последовательность в $L^{2}(\mathbf{T})$ тогда и только тогда, когда существуют $A, B > 0$ , такие что $A \leq \left|\varphi (x)\right|^{2} \leq B$ для п.в. $x \notin Z_{\varphi }$ (с замкнутым линейным пространством $H_{\varphi } = \left\{ f: f = 0\text{ п.в. на }Z_{\varphi }\right\}$ ).

(e)

$\mathcal{E}(\varphi )$ — безусловный базис для $L^{2}(\mathbf{T})$ тогда и только тогда, когда существуют $A, B > 0$ , такие что $A \leq \left|\varphi (x)\right|^{2} \leq B$ п.в. (в этом случае это базис Рисса).

(f)

$\mathcal{E}(\varphi )$ — ортонормированный базис для $L^{2}(\mathbf{T})$ тогда и только тогда, когда $\left|\varphi (x)\right| = 1$ п.в.

Задача 10.9

Пусть $\varphi (t) = \left|t-\frac{1}{2}\right|^{\alpha }$ , где $0 < \alpha < 1 / 2$ , как в примере 5.13. Покажите, что $\mathcal{E}(\varphi )$ точна в $L^{2}(\mathbf{T})$ , но не может быть безусловным базисом для $L^{2}(\mathbf{T})$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 10.10

Обоснуйте равенство в уравнении (10.9).

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 10.11

Для последовательности $c = \left(c_{k}\right)_{k \in \mathbb {Z}} \in \ell^{2}(\mathbb {Z})$ пусть $T_{n} c$ обозначает сдвинутую последовательность $T_{n} c = \left(c_{k-n}\right)_{k \in \mathbb {Z}}$ . Охарактеризуйте те последовательности $c$ , для которых $\left\{ T_{n} c\right\}_{n \in \mathbb {Z}}$ полна, бесселева, минимальна, является фреймом, базисом Шаудера, базисом Рисса или ортонормированным базисом для $\ell^{2}(\mathbb {Z})$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 10.12

Пусть заданы $g \in L^{2}(\mathbb {R})$ и $a > 0$ , и определим $h(x) = g(a x)$ . Покажите, что $\left\{ g(x-a k)\right\}_{k \in \mathbb {Z}}$ является фреймовой последовательностью в $L^{2}(\mathbb {R})$ тогда и только тогда, когда $\left\{ h(x-k)\right\}_{k \in \mathbb {Z}}$ является фреймовой последовательностью в $L^{2}(\mathbb {R})$ . Каково соотношение между замкнутыми линейными оболочками этих двух систем?

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 10.13

Для функции $f \in L^{1}(\mathbb {R})$ и $a > 0$ назовём функцию

\varphi (x) = \sum _{n \in \mathbb {Z}} f(x+a n)

$a$ -периодизацией функции $f$ (или просто периодизацией, если $a = 1$ ). Покажите, что ряд, определяющий $\varphi$ , сходится абсолютно в $L^{1}[0, a]$ , и

\int _{0}^{a} \varphi (x) d x = \int _{-\infty }^{\infty } f(x) d x

В частности, скобочным произведением функций $f, g \in L^{2}(\mathbb {R})$ называется функция $[f, g] \in L^{1}(\mathbf{T})$ , определённая формулой

[f, g](x) = \sum _{n \in \mathbb {Z}} f(x+n) \overline{g(x+n)}

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 10.14

Покажите, что если $g \in L^{2}(\mathbb {R})$ не является нулевой функцией, то $\left\{ T_{a} g\right\}_{a \in \mathbb {R}}$ конечно линейно независима.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 10.15

Предположим, что $g \in L^{2}(\mathbb {R})$ такова, что $\mathcal{M}(\widehat{g}) = \left\{ e^{-2 \pi i k \xi } \widehat{g}(\xi )\right\}_{k \in \mathbb {Z}}$ — бесселева последовательность в $L^{2}(\mathbb {R})$ . По теореме 7.2, если $\left(c_{k}\right)_{k \in \mathbb {Z}} \in \ell^{2}(\mathbb {Z})$ , то ряд $F(\xi ) = \sum_{k \in \mathbb {Z}} c_{k} e^{-2 \pi i k \xi } \widehat{g}(\xi )$ сходится безусловно в $L^{2}(\mathbb {R})$ . Также, поскольку $\left\{ e^{-2 \pi i k \xi }\right\}_{k \in \mathbb {Z}}$ — ортонормированный базис для $L^{2}(\mathbf{T})$ , ряд $\hat{c}(\xi ) = \sum_{k \in \mathbb {Z}} c_{k} e^{-2 \pi i k \xi }$ сходится безусловно в $L^{2}(\mathbf{T})$ . Покажите, что $F(\xi ) = \widehat{c}(\xi ) \widehat{g}(\xi )$ п.в.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 10.16

(a)(b)(c)(d)(e)(f)

Докажите оставшиеся утверждения теоремы 10.19.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Покажите, что $\mathcal{T}(g)$ является бесселевой последовательностью в $V_{0}(g)$ тогда и только тогда, когда $\Phi_{g} \in L^{\infty }(\mathbf{T})$ , и в этом случае $\Phi_{g} \leq B$ п.в., где $B$ — бесселева граница.

(b)

Покажите, что $\mathcal{T}(g)$ является фреймом для $V_{0}(g)$ тогда и только тогда, когда существуют такие $A, B > 0$ , что $A \leq \Phi_{g}(\xi ) \leq B$ п.в. при $\xi \notin Z_{\Phi_{g}}$ . В этом случае $A, B$ — границы фрейма для $\mathcal{T}(g)$ .

(c)

Покажите, что $\mathcal{T}(g)$ минимальна в $V_{0}(g)$ тогда и только тогда, когда $1 / \Phi_{g} \in L^{1}(\mathbf{T})$ , и в этом случае $\mathcal{T}(g)$ точна в $V_{0}(g)$ .

(d)

Покажите, что $\mathcal{T}(g)$ является безусловным базисом для $V_{0}(g)$ тогда и только тогда, когда существуют такие $A, B > 0$ , что $A \leq \Phi_{g} \leq B$ п.в., и в этом случае она является базисом Рисса для $V_{0}(g)$ .

(e)

Покажите, что $\mathcal{T}(g)$ является ортонормированным базисом тогда и только тогда, когда $\Phi_{g}(t) = 1$ п.в.

(f)

Покажите, что относительно упорядочения $\left\{ 0,-1,1,-2,2, \ldots \right\}$ индексного множества $\mathbb {Z}$ , $\mathcal{T}(g)$ является базисом Шаудера для $V_{0}(g)$ тогда и только тогда, когда $\Phi_{g} \in \mathcal{A}_{2}(\mathbf{T})$ .

Задача 10.17

(a)(b)

Предположим, что $g \in L^{2}(\mathbb {R})$ такова, что $\mathcal{T}(g)$ — фреймовая последовательность в $L^{2}(\mathbb {R})$ , и пусть $S: V_{0}(g) \rightarrow V_{0}(g)$ — её оператор фрейма.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Покажите, что $S\left(T_{k} f\right) = T_{k}(S f)$ для каждой $f \in V_{0}(g)$ . Используя это, покажите, что канонический дуальный фрейм в $V_{0}(g)$ — это $\mathcal{T}(h)$ , где $h = S^{-1} g$ .

(b)

Покажите, что

f \in V_{0}(g) \Longleftrightarrow \exists m \in L^{2}(\mathbf{T}) \text{ такое что } \widehat{f} = m \widehat{g} \text{ п.в. }

Задача 10.18

(a)(b)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Предположим, что $g \in L^{2}(\mathbb {R})$ и $\widehat{g}$ отлична от нуля почти всюду. Покажите, что если $f \in V_{0}(g)$ , то существует 1-периодическая функция $p$ такая, что $\widehat{f} = p \widehat{g}$ п.в.

(b)

Для произвольной функции $g$ из $L^{2}(\mathbb {R})$ покажите, что $\mathcal{T}(g)$ не полна в $L^{2}(\mathbb {R})$ .

Задача 10.19

(a)(b)

Предположим, что $f, g \in L^{2}(\mathbb {R})$ таковы, что $\mathcal{T}(f)$ и $\mathcal{T}(g)$ обе являются ортонормированными последовательностями.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Покажите, что $\mathcal{T}(f)$ и $\mathcal{T}(g)$ имеют одинаковые замкнутые линейные оболочки тогда и только тогда, когда $\widehat{f}(\xi ) = \alpha (\xi ) \widehat{g}(\xi )$ п.в., где $\alpha$ 1-периодична и $\left|\alpha (\xi )\right| = 1$ п.в.

(b)

Покажите, что если $f$ и $g$ каждая имеет компактный носитель, то $\overline{\operatorname {span}}(\mathcal{T}(f)) = \overline{\operatorname {span}}(\mathcal{T}(g))$ тогда и только тогда, когда $f = \alpha T_{k} g$ , где $k \in \mathbb {Z}$ , а $\alpha$ — скаляр с $\left|\alpha \right| = 1$ .

Задача 10.20

(a)(b)(c)

Пусть задана $g \in L^{2}(\mathbb {R})$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Покажите, что если $g$ имеет компактный носитель (равна нулю почти всюду вне некоторого конечного интервала), то $\mathcal{T}(g)$ — бесселева последовательность, но не может быть избыточным фреймом для своей замкнутой линейной оболочки $V_{0}(g)$ (ср. упражнение 10.22).

(b)

Покажите, что если $\widehat{g}$ непрерывна и имеет компактный носитель, то $\mathcal{T}(g)$ — бесселева последовательность, но не может быть избыточным фреймом для $V_{0}(g)$ .

(c)

Найдите функцию $g \in L^{2}(\mathbb {R})$ , для которой $\mathcal{T}(g)$ — избыточный фрейм для $V_{0}(g)$ .

Задача 10.21

Предположим, что $g \in L^{2}(\mathbb {R})$ такова, что $\mathcal{T}(g)$ — фреймовая последовательность в $L^{2}(\mathbb {R})$ , и пусть $g^{\sharp } \in L^{2}(\mathbb {R})$ — функция, преобразование Фурье которой равно

\widehat{g^{\sharp }}(\xi ) = \begin{cases} \widehat{g}(\xi ) \Phi _{g}(\xi )^{-1 / 2}, & \xi \notin Z_{\Phi _{g}}, \\ 0, & \xi \in Z_{\Phi _{g}}.\end{cases}

Покажите, что $g^{\sharp } \in V_{0}(g) = \overline{\operatorname {span}}(\mathcal{T}(g))$ и что $\mathcal{T}\left(g^{\sharp }\right)$ — фрейм Парсеваля для $V_{0}(g)$ . Покажите далее, что если $\mathcal{T}(g)$ — базис Рисса для $V_{0}(g)$ , то $\mathcal{T}\left(g^{\sharp }\right)$ — ортонормированный базис для $V_{0}(g)$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 10.22

Пусть $w(x) = \max \left\{ 1-\left|x\right|, 0\right\}$ — «шляпа» или «палатка»-функция на $[-1,1]$ . Используя лемму 10.20, покажите, что

\Phi _{w}(\xi ) = \frac{2+\cos 2 \pi \xi }{3} = \frac{1+2 \cos ^{2} \pi \xi }{3},

и заключите, что $\mathcal{T}(w)$ — базис Рисса для своей замкнутой линейной оболочки $V_{0}(g)$ . Найдите $\widehat{\widetilde{w}}, \Phi_{\widetilde{w}}$ , $\widehat{w^{\sharp }}$ и $\left[\widehat{w^{\sharp }}, \widehat{\widetilde{w}}\right]$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 10.23

Предположим, что $g \in L^{2}(\mathbb {R})$ и $a_{k} \in \mathbb {R}$ таковы, что $\left\{ g\left(x-a_{k}\right)\right\}_{k \in \mathbb {N}}$ — базис Шаудера для $L^{2}(\mathbb {R})$ . Покажите, что последовательность $\left(a_{k}\right)_{k \in \mathbb {N}}$ должна быть равномерно отделённой, т.е. $\inf_{j \neq k}\left|a_{j}-a_{k}\right| > 0$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Глава

11 · Базисы и фреймы Габора[42/98%]

Задача 11.1

Для $g \in L^{2}(\mathbb {R})$ покажите, что $\left\{ M_{b n} T_{a k} g\right\}_{k, n \in \mathbb {Z}}$ — фрейм для $L^{2}(\mathbb {R})$ тогда и только тогда, когда $\left\{ T_{a k} M_{b n} g\right\}_{k, n \in \mathbb {Z}}$ — фрейм, причём в этом случае их операторы фрейма совпадают.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 11.2

(a)(b)(c)(d)(e)(f)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Используя то, что $T_{a} M_{b} = e^{-2 \pi i a b} M_{b} T_{a}$ , покажите, что множество $\left\{ T_{a} M_{b}\right\}_{a, b \in \mathbb {R}}$ операторов сдвига по времени-частоте не замкнуто относительно композиции, а значит, не образует группу.

(b)

Определим

\mathbb {H}_{1} = \left\{ e^{2 \pi i t} T_{a} M_{b}\right\} _{a, b, t \in \mathbb {R}},

и покажите, что $\mathbb {H}_{1}$ — неабелева группа относительно композиции операторов.

(c)

Определим

\mathbb {H}_{2} = \mathbb {R}^{3} = \left\{ (a, b, t)\right\} _{a, b, t \in \mathbb {R}}.

Покажите, что $\mathbb {H}_{2}$ — неабелева группа относительно операции

(a, b, t) *(c, d, u) = (a+c, b+d, t+u+b c).

Покажите далее, что $\mathbb {H}_{2}$ изоморфна $\mathbb {H}_{1}$ .

(d)

Определим

\mathbb {H}_{3} = \left\{ \left[\begin{smallmatrix} 1 & b & t \\ 0 & 1 & a \\ 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right]\right\} _{a, b, t \in \mathbb {R}}.

Покажите, что $\mathbb {H}_{3}$ — неабелева группа относительно умножения матриц и что $\mathbb {H}_{3}$ изоморфна $\mathbb {H}_{1}$ .

(e)

Покажите, что $a \mathbb {Z} \times b \mathbb {Z} \times \left\{ 0\right\} = \left\{ (a k, b n, 0)\right\}_{k, n \in \mathbb {Z}}$ не является подгруппой $\mathbb {H}_{2}$ , но счётное подмножество $a \mathbb {Z} \times b \mathbb {Z} \times a b \mathbb {Z} = \left\{ (a k, b n, a b j)\right\}_{k, n, j \in \mathbb {Z}}$ является подгруппой.

(f)

Как множество, $\mathbb {H}_{2} = \mathbb {R}^{3}$ , и потому обладает естественной топологией. Фактически, $\mathbb {H}_{2}$ является примером локально компактной группы (ЛКГ). У каждой ЛКГ есть ассоциированные левая и правая меры Хаара (единственные с точностью до скалярного множителя). Покажите, что левой мерой Хаара для $\mathbb {H}_{2}$ является $d a d b d t$ , что означает, что для каждого $(c, d, u) \in \mathbb {H}_{2}$ выполняется

\iiint F((c, d, u) *(a, b, t)) d a d b d t = \iiint F(a, b, t) d a d b d t

для каждой интегрируемой функции $F$ на $\mathbb {H}_{2} = \mathbb {R}^{3}$ . Покажите, что правой мерой Хаара также является $d a d b d t$ . Таким образом, хотя $\mathbb {H}_{2}$ неабелева, её левая и правая меры Хаара совпадают (такую ЛКГ называют унимодулярной).

Замечание (Изоморфные между собой) группы $\mathbb {H}_{1}, \mathbb {H}_{2}, \mathbb {H}_{3}$ называются группой Гейзенберга. Свойства группы Гейзенберга следует сопоставить со свойствами аффинной группы, обсуждаемой в упражнении 12.2.

Задача 11.3

(a)(b)(c)(d)

Пусть $\mathcal{G}(g, a, b)$ — фрейм Габора для $L^{2}(\mathbb {R})$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Покажите, что оператор фрейма $S$ коммутирует с $M_{b n}$ и $T_{a k}$ при всех $k, n \in \mathbb {Z}$ , и используйте это, чтобы показать, что $S^{-1}$ также коммутирует с $M_{b n}$ и $T_{a k}$ .

(b)

Покажите, что канонический дуальный фрейм $\mathcal{G}(g, a, b)$ — это фрейм Габора $\mathcal{G}(\widetilde{g}, a, b)$ , где $\widetilde{g} = S^{-1} g$ .

(c)

Предположим, что $\mathcal{G}(g, a, b)$ — фрейм для $L^{2}(\mathbb {R})$ . Покажите, что $\mathcal{G}(g, a, b)$ — базис Рисса тогда и только тогда, когда $\left\langle g, \widetilde{g} \right\rangle = 1$ .

(d)

Покажите, что канонический фрейм Парсеваля решётчатого фрейма Габора является другим решётчатым фреймом Габора. А именно, если $\mathcal{G}(g, a, b)$ — фрейм для $L^{2}(\mathbb {R})$ и мы полагаем $g^{\sharp } = S^{-1 / 2} g$ , где $S$ — оператор фрейма, то $\mathcal{G}\left(g^{\sharp }, a, b\right)$ — фрейм Парсеваля для $L^{2}(\mathbb {R})$ .

Задача 11.4

Зафиксируем $g \in L^{2}(\mathbb {R})$ и $a, b > 0$ . Вспомним из уравнений (9.2) и (9.3), что преобразование Фурье меняет местами сдвиг и модуляцию. Используя это, покажите, что

\mathcal{G}(g, a, b) \text{ is a frame } \Longleftrightarrow \mathcal{G}(\widehat{g}, b, a) \text{ is a frame. }

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 11.5

(a)(b)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Покажите, что $\mathcal{G}\left(\chi_{[0,1]}, 1,1\right)$ — ортонормированный базис для $L^{2}(\mathbb {R})$ .

(b)

Покажите, что $\mathcal{G}\left(\chi_{[0,1]}, a, 1\right)$ — фрейм для $L^{2}(\mathbb {R})$ тогда и только тогда, когда $0 < a \leq 1$ .

Замечание: Удивительно, но неизвестна явная характеризация множества точек $(a, b)$ , для которых $\mathcal{G}\left(\chi_{[0,1]}, a, b\right)$ является фреймом для $L^{2}(\mathbb {R})$ , см. [Jan03].

Задача 11.6

(a)(b)(c)(d)

Предположим, что выполнены условия пункта (a) теоремы 11.4, т.е. $0 < a b \leq 1$ , $\operatorname {supp}\left(g\right) \subseteq \left[0, b^{-1}\right]$ и выполняется уравнение (11.3). Докажите следующие утверждения о фрейме $\mathcal{G}(g, a, b)$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Оператор фрейма является поточечным умножением на $b^{-1} G_{0}$ , т.е. $S f = b^{-1} G_{0} f$ для $f \in L^{2}(\mathbb {R})$ .

(b)

Канонический дуальный фрейм — это $\mathcal{G}(\widetilde{g}, a, b)$ , где $\widetilde{g} = b g / G_{0}$ .

(c)

Если $a b = 1$ , то $\mathcal{G}(g, a, b)$ — базис Рисса для $L^{2}(\mathbb {R})$ .

(d)

Если $0 < a b < 1$ , то $\mathcal{G}(g, a, b)$ — избыточный фрейм для $L^{2}(\mathbb {R})$ .

Задача 11.7

Покажите, что если $g \in C_{c}(\mathbb {R})$ не является нулевой функцией, то существуют $a, b > 0$ такие, что $\mathcal{G}(g, a, b)$ — фрейм для $L^{2}(\mathbb {R})$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 11.8

Пусть $g \in C_{c}(\mathbb {R})$ удовлетворяет $\operatorname {supp}\left(g\right) = \left[0, b_{0}^{-1}\right]$ и $g(x) > 0$ при $x \in \left(0, b_{0}^{-1}\right)$ . Покажите, что $\mathcal{G}(g, a, b)$ — фрейм для $L^{2}(\mathbb {R})$ при $0 < a < b_{0}^{-1}$ и $0 < b < b_{0}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 11.9

(a)(b)

Это упражнение построит бесконечно дифференцируемую функцию с компактным носителем на вещественной прямой. Определим $f(x) = e^{-1 / x^{2}} \chi_{(0, \infty )}(x)$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Покажите, что для каждого $n \in \mathbb {N}$ существует многочлен $p_{n}$ степени $3 n$ такой, что

f^{(n)}(x) = p_{n}\left(x^{-1}\right) e^{-x^{-2}} \chi _{(0, \infty )}(x)

Заключите, что $f$ бесконечно дифференцируема, каждая производная $f$ ограничена, и $f^{(n)}(x) = 0$ для всех $x \leq 0$ и $n \geq 0$ .

(b)

Покажите, что если $a < b$ , то $g(x) = f(x-a) f(b-x)$ бесконечно дифференцируема, равна нулю вне $(a, b)$ и строго положительна на $(a, b)$ .

Задача 11.10

(a)(b)

Пусть $0 < a b < 1$ фиксировано. По упражнению 11.9 существует функция $f \in C_{c}^{\infty }(\mathbb {R})$ с носителем в $\left[0, b^{-1}\right]$ , такая что $f > 0$ на $\left(0, b^{-1}\right)$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Положим $F_{0}(x) = \sum_{k \in \mathbb {Z}}\left|f(x-a k)\right|^{2}$ и покажите, что $g = f / F_{0}^{1 / 2}$ бесконечно дифференцируема, имеет компактный носитель и удовлетворяет $\sum_{k \in \mathbb {Z}}\left|g(x-a k)\right|^{2} = 1$ всюду.

(b)

Покажите, что существует функция $g \in C_{c}^{\infty }(\mathbb {R})$ , для которой $\mathcal{G}(g, a, b)$ — фрейм Парсеваля для $L^{2}(\mathbb {R})$ .

Задача 11.11

(a)(b)

Зафиксируем $g \in L^{2}(\mathbb {R})$ и $a, b > 0$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Покажите, что $\mathcal{G}(g, a, b)$ — базис Рисса для $L^{2}(\mathbb {R})$ тогда и только тогда, когда это фрейм и $a b = 1$ .

(b)

Покажите, что $\mathcal{G}(g, a, b)$ — ортонормированный базис для $L^{2}(\mathbb {R})$ тогда и только тогда, когда это тесный фрейм, $a b = 1$ и $\left\| g\right\|_{L^{2}} = 1$ .

Задача 11.12

Для $g \in L^{2}(\mathbb {R})$ покажите, что $\mathcal{T}(g) = \left\{ T_{k} g\right\}_{k \in \mathbb {Z}}$ — базис Рисса для своей замкнутой линейной оболочки с границами фрейма $A, B$ тогда и только тогда, когда выполняется уравнение (11.8).

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 11.13

Предположим, что $\mathcal{G}(g, a, b)$ — фрейм для $L^{2}(\mathbb {R})$ . Не прибегая к теореме 11.9, покажите, что $\left\{ M_{k / a} \widehat{g}\right\}_{n \in \mathbb {Z}}$ и $\left\{ M_{n / b} \widehat{g}\right\}_{n \in \mathbb {Z}}$ — последовательности Рисса в $L^{2}(\mathbb {R})$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 11.14

Предполагая теорему 11.9, покажите, что $\mathcal{G}(g, a, b)$ — тесный фрейм для $L^{2}(\mathbb {R})$ тогда и только тогда, когда $\mathcal{G}(g, 1 / b, 1 / a)$ — ортогональная последовательность в $L^{2}(\mathbb {R})$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 11.15

Докажите, что $W\left(L^{p}, \ell^{q}\right)$ — банахово пространство при любых $p, q$ , и что $W\left(C, \ell^{q}\right)$ — замкнутое подпространство $W\left(L^{\infty }, \ell^{q}\right)$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 11.16

Пусть $g$ — функция, определённая в примере 11.11. Покажите, что $\mathcal{G}(g, 1,1)$ — ортонормированный базис для $L^{2}(\mathbb {R})$ , но $g \notin W\left(L^{\infty }, \ell^{1}\right)$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 11.17

(a)(b)(c)(d)

Завершите доказательство теоремы 11.13.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

$W\left(L^{\infty }, \ell^{1}\right) \subseteq L^{p}(\mathbb {R})$ при $1 \leq p \leq \infty$ , и $W\left(L^{\infty }, \ell^{1}\right)$ плотно в $L^{p}(\mathbb {R})$ при $1 \leq p < \infty$ .

(b)

$W\left(L^{\infty }, \ell^{1}\right)$ замкнуто относительно сдвигов: $\left\| T_{b} f\right\|_{W(L^{\infty }, \ell^{1})} \leq 2\left\| f\right\|_{W(L^{\infty }, \ell^{1})}$ .

(c)

$W\left(L^{\infty }, \ell^{1}\right)$ является идеалом в $L^{\infty }(\mathbb {R})$ относительно поточечного произведения: если $f \in L^{\infty }(\mathbb {R})$ и $g \in W\left(L^{\infty }, \ell^{1}\right)$ , то $f g \in W\left(L^{\infty }, \ell^{1}\right)$ и $\left\| f g\right\|_{W(L^{\infty }, \ell^{1})} \leq \left\| f\right\|_{L^{\infty }}\left\| g\right\|_{W(L^{\infty }, \ell^{1})}$ .

(d)

$\displaystyle \frac{1}{C_{1/a}}\lvert \lvert \lvert f\rvert \rvert \rvert_{a} \leq \left\| f\right\|_{W(L^{\infty }, \ell^{1})}$ , где $\lvert \lvert \lvert f\rvert \rvert \rvert_{a} = \sum_{k \in \mathbb {Z}}\left\| f \cdot \chi_{[a k, a(k+1)]}\right\|_{L^{\infty }}$ .

Задача 11.18

(a)(b)(c)(d)

Обоснуйте использование теоремы Фубини в доказательстве теоремы 11.18.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Обоснуйте переход от равенства $\int f(x) e^{-2 \pi i b n x} \overline{g(x-a k)} \, d x$ к его периодизированной форме двойной суммы.

(b)

Обоснуйте равенство, полученное интегрированием $f(x) \overline{g(x-a k)} F_{k}(x)$ периодически, по сравнению с интегрированием по всему $\mathbb {R}$ .

(c)

Обоснуйте перестановку суммы по $k$ с суммой по $j$ и интегралом.

(d)

Обоснуйте перестановку суммы по $j$ с внешним интегралом.

Задача 11.19

(a)(b)

Это упражнение даёт теорему о возмущении для фреймов Габора.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Пусть $g \in L^{2}(\mathbb {R})$ и $a, b > 0$ таковы, что $\mathcal{G}(g, a, b)$ — фрейм для $L^{2}(\mathbb {R})$ . Покажите, что существует $\delta > 0$ такое, что если $h \in L^{2}(\mathbb {R})$ и $\left\| g-h\right\|_{W\left(L^{\infty }, \ell^{1}\right)} < \delta$ , то $\mathcal{G}(h, a, b)$ — фрейм для $L^{2}(\mathbb {R})$ .

(b)

Останется ли пункт (a) верным, если заменить амальгамную норму $\left\| \cdot \right\|_{W\left(L^{\infty }, \ell^{1}\right)}$ на норму $L^{2}$ $\left\| \cdot \right\|_{L^{2}}$ ?

Задача 11.20

Докажите, что существует единственный унитарный оператор, удовлетворяющий уравнению (11.19).

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 11.21

Докажите теорему 11.24.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Примечание.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Теорема 11.24: Если $f \in L^{2}(\mathbb {R})$ или $f \in W(L^{p}, \ell^{1})$ , то для $m, n \in \mathbb {Z}$ имеем $Z f(x+m, \xi +n) = e^{2 \pi i m \xi } Z f(x, \xi )$ , где равенство выполняется поточечно всюду на $\mathbb {R}^{2}$ , если $Z f$ непрерывна, и почти всюду в противном случае.

Задача 11.22

(a)(b)(c)(d)

Если $f \in L^{1}(\mathbb {R})$ , то по теореме 11.22 $Z f \in W\left(L^{1}, \ell^{1}\right) = L^{1}(Q)$ . Докажите следующие утверждения.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

$f(x) = \int_{0}^{1} Z f(x, \xi ) d \xi$ для почти всех $x \in \mathbb {R}$ .

(b)

Если $Z f$ непрерывна, то $f$ непрерывна.

(c)

$Z$ — инъективное отображение $L^{1}(\mathbb {R})$ в $L^{1}(Q)$ , и образ отображения $Z: L^{1}(\mathbb {R}) \rightarrow L^{1}(Q)$ является собственным плотным подпространством $L^{1}(Q)$ .

(d)

$Z^{-1}: L^{1}(Q) \rightarrow L^{1}(\mathbb {R})$ неограничен.

Задача 11.23

(a)(b)(c)

Предположим, что $f \in L^{2}(\mathbb {R})$ такова, что $Z f$ непрерывна.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Покажите, что если $f$ чётна, то $\operatorname {Zf}(1 / 2,1 / 2) = 0$ .

(b)

Покажите, что если $f$ нечётна, то $Z f(0,0) = Z f(0,1 / 2) = Z f(1 / 2,0) = 0$ .

(c)

Покажите, что если $f$ вещественнозначна, то $Z f(x, 1 / 2) = 0$ для некоторого $x \in [0,1]$ .

Задача 11.24

Докажите оставшиеся утверждения теоремы 11.31.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Примечание.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Теорема 11.31: Пусть $g \in L^{2}(\mathbb {R})$ фиксирована. (a) $\mathcal{G}(g, 1, 1)$ полна в $L^{2}(\mathbb {R})$ тогда и только тогда, когда $Z g \neq 0$ п.в. (b) $\mathcal{G}(g, 1, 1)$ минимальна в $L^{2}(\mathbb {R})$ тогда и только тогда, когда $1 / Z g \in L^{2}(Q)$ ; в этом случае $\mathcal{G}(g, 1, 1)$ точна, и её биортогональная система есть $\mathcal{G}(\widetilde{g}, 1, 1)$ , где $\widetilde{g} \in L^{2}(\mathbb {R})$ удовлетворяет $Z\widetilde{g} = 1 / Z g$ . (c) $\mathcal{G}(g, 1, 1)$ является бесселевой последовательностью в $L^{2}(\mathbb {R})$ тогда и только тогда, когда $Z g \in L^{\infty }(\mathbb {R})$ , и в этом случае $B = \left\| Z g\right\|_{L^{\infty }}^{2}$ — бесселева граница. (d) $\mathcal{G}(g, 1, 1)$ — фрейм для $L^{2}(\mathbb {R})$ тогда и только тогда, когда существуют $A, B > 0$ , такие что $A \leq \left|Z g(x, \xi )\right|^{2} \leq B$ п.в.; в этом случае $\mathcal{G}(g, 1, 1)$ — базис Рисса, и $A, B$ — фреймовые границы. (e) $\mathcal{G}(g, 1, 1)$ — ортонормированный базис для $L^{2}(\mathbb {R})$ тогда и только тогда, когда $\left|Z g(x, \xi )\right| = 1$ п.в.

Задача 11.25

(a)(b)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Пусть $p(x) = \sum_{k = -N}^{N} c_{k} e^{2 \pi i k x}$ — тригонометрический полином. Покажите, что если $\left|p\right| = 1$ п.в., то $p(x) = c_{n} e^{2 \pi i n x}$ для некоторого $n$ между $-N$ и $N$ .

(b)

Предположим, что $g \in L^{2}(\mathbb {R})$ имеет компактный носитель. Покажите, что $\mathcal{G}(g, 1,1)$ — ортонормированный базис для $L^{2}(\mathbb {R})$ тогда и только тогда, когда $\left|g\right| = \chi_{E}$ для некоторого ограниченного множества $E \subseteq \mathbb {R}$ , удовлетворяющего $\sum_{k \in \mathbb {Z}} \chi_{E}(x-k) = 1$ п.в.

Задача 11.26

Пусть $\phi (x) = e^{-\pi x^{2}}$ — функция Гаусса. Покажите, что $\mathcal{G}(\phi , 1,1)$ является $\ell^{2}$ -независимой, т.е. если $c = \left(c_{k n}\right)_{k, n \in \mathbb {Z}} \in \ell^{2}\left(\mathbb {Z}^{2}\right)$ и $\sum c_{k n} M_{n} T_{k} \phi = 0$ , то $c_{k n} = 0$ для всех $k$ и $n$ . Заметим, что, поскольку $\mathcal{G}(\phi , 1,1)$ — бесселева последовательность, если обозначить через $R$ оператор синтеза для $\mathcal{G}(\phi , 1,1)$ , то $\ell^{2}$ -независимость эквивалентна утверждению, что $R: \ell^{2}\left(\mathbb {Z}^{2}\right) \rightarrow L^{2}(\mathbb {R})$ инъективен.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 11.27

Покажите, что если $g \in L^{2}(\mathbb {R})$ и $\lim_{x \rightarrow \infty } x\left|g(x)\right|^{2}$ существует, то этот предел должен быть равен нулю.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 11.28

Пусть $P, M$ — операторы положения и импульса, введённые в уравнении (11.26). Эти операторы не определены на всём $L^{2}(\mathbb {R})$ . Вместо этого определим области определения

\begin{aligned} D_{P} & = \left\{ f \in L^{2}(\mathbb {R}): x f(x) \in L^{2}(\mathbb {R})\right\} , \\ D_{M} & = \left\{ f \in L^{2}(\mathbb {R}): f \text{ дифференцируема и } f^{\prime } \in L^{2}(\mathbb {R})\right\} , \end{aligned}

которые являются плотными подпространствами $L^{2}(\mathbb {R})$ . Ограниченные на эти области, $P$ отображает $D_{P}$ в $L^{2}(\mathbb {R})$ , а $M$ отображает $D_{M}$ в $L^{2}(\mathbb {R})$ . Покажите, что $P$ и $M$ неограничены даже при ограничении на эти области, т.е.

\sup _{\substack {f \in D_{P},\left\| f\right\| _{L^{2}} = 1}}\left\| P f\right\| _{L^{2}} = \infty = \sup _{\substack {f \in D_{M},\left\| f\right\| _{L^{2}} = 1}}\left\| M f\right\| _{L^{2}}

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 11.29

Пусть $\mathcal{S}(\mathbb {R})$ — пространство Шварца, введённое в определении 9.18. Покажите, что операторы положения и импульса отображают $\mathcal{S}(\mathbb {R})$ в себя и являются самосопряжёнными при ограничении на эту область, т.е.

\left\langle P f, g \right\rangle = \left\langle f, P g \right\rangle \quad \text{ и } \quad \left\langle M f, g \right\rangle = \left\langle f, M g \right\rangle

для всех $f \in \mathcal{S}(\mathbb {R})$ . (Пространство Шварца — удобное плотное подпространство $L^{2}(\mathbb {R})$ , но при желании его можно заменить в этой задаче некоторыми более широкими подпространствами $L^{2}(\mathbb {R})$ .)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 11.30

Коммутатором положения и импульса называется оператор $[P, M] = P M-M P$ . Покажите, что $[P, M] = -\frac{1}{2 \pi i} I$ в том смысле, что $[P, M] f = -\frac{1}{2 \pi i} f$ для всех дифференцируемых функций $f$ . Как это соотносится с уравнением (11.32)?

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 11.31

(a)(b)

Это упражнение даёт абстрактную операторно-теоретическую версию принципа неопределённости.

Пусть $S$ — подпространство гильбертова пространства $H$ , и пусть $A, B: S \rightarrow H$ — линейные, но, возможно, неограниченные операторы. Заменив при необходимости $S$ на меньшее пространство domain $(A B) \cap$ domain $(B A)$ , можно считать, что $A, B, A B$ и $B A$ все определены на $S$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Покажите, что если $A, B$ самосопряжены в том смысле, что

\forall f, g \in S, \quad \left\langle A f, g \right\rangle = \left\langle f, A g \right\rangle \quad \text{ и } \quad \left\langle B f, g \right\rangle = \left\langle f, B g \right\rangle ,

то

\forall f \in S, \quad \left\| A f\right\| \left\| B f\right\| \geq \frac{1}{2}\left| \left\langle [A, B] f, f \right\rangle \right|,

где $[A, B] = A B-B A$ — коммутатор $A$ и $B$ .

(b)

Покажите, что равенство в пункте (a) выполняется тогда и только тогда, когда $A f = i c B f$ для некоторого $c \in \mathbb {R}$ .

Задача 11.32

Примените упражнения $11.29$ – $11.31$ к операторам положения и импульса $P$ и $M$ , чтобы вывести классический принцип неопределённости,

\left\| x g(x)\right\| _{L^{2}}\left\| \xi \widehat{g}(\xi )\right\| _{L^{2}} \geq \frac{1}{4 \pi }\left\| g\right\| _{L^{2}}^{2}, \tag {11.33}

для $g \in \mathcal{S}(\mathbb {R})$ .

Замечание Продолжение по плотности можно использовать, чтобы доказать, что уравнение (11.33) распространяется на все $g \in L^{2}(\mathbb {R})$ , либо интегрирование по частям для абсолютно непрерывных функций можно использовать, чтобы напрямую доказать, что уравнение (11.33) выполняется всякий раз, когда $\left\| x g(x)\right\|_{L^{2}}\left\| \xi \widehat{g}(\xi )\right\|_{L^{2}}$ конечно, см. [Heil].

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 11.33

Модифицируйте рассуждение Баттла, чтобы доказать слабую теорему Балиана–Лоу (weak BLT): если $\mathcal{G}(g, 1,1)$ — базис Рисса для $L^{2}(\mathbb {R})$ , то

\left\| x g(x)\right\| _{L^{2}}\left\| \xi \widehat{g}(\xi )\right\| _{L^{2}}\left\| x \widetilde{g}(x)\right\| _{L^{2}}\left\| \xi \widehat{\widetilde{g}}(\xi )\right\| _{L^{2}} = \infty ,

где $\widetilde{g}$ — генератор дуальной системы из теоремы 11.31(b).

Замечание Это требует некоторой работы, но можно показать, что слабая теорема Балиана–Лоу влечёт теорему 11.35; см. [DJ93] или обзорную статью [BHW95].

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 11.34

Покажите, что если $\left(p_{i}, q_{i}\right)$ при $i = 1,2,3$ — три неколлинеарные точки в $\mathbb {R}^{2}$ , то существуют обратимая матрица $2 \times 2$ $A$ и точка $z \in \mathbb {R}^{2}$ такие, что $\Lambda = A\left(\mathbb {Z}^{2}\right)+z$ содержит эти три точки.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 11.35

(a)(b)(c)(d)(e)

Зафиксируем $g \in L^{2}(\mathbb {R}) \backslash \left\{ 0\right\}$ , и пусть $\Lambda = \left\{ \left(p_{k}, q_{k}\right)\right\}_{k = 1}^{N}$ — произвольное конечное множество различных точек в $\mathbb {R}^{2}$ . Определим $\mathcal{G}(g, \Lambda ) = \left\{ M_{q_{k}} T_{p_{k}} g\right\}_{k = 1}^{N}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Зафиксируем $z \in \mathbb {R}^{2}$ . Покажите, что $\mathcal{G}(g, \Lambda )$ линейно независима тогда и только тогда, когда $\mathcal{G}(g, \Lambda +z)$ линейно независима.

(b)

Для $r \in \mathbb {R}$ пусть $S_{r} = \left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ r & 1\end{array}\right]$ , так что умножение на матрицу $S_{r}$ является сдвиговым преобразованием на $\mathbb {R}^{2}$ . Определим $h(x) = e^{\pi i r x^{2}} g(x)$ и покажите, что $\mathcal{G}(g, \Lambda )$ линейно независима тогда и только тогда, когда $\mathcal{G}\left(h, S_{r}(\Lambda )\right)$ линейно независима.

(c)

Пусть $R = \left[\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right]$ , так что умножение на $R$ является поворотом $\mathbb {R}^{2}$ против часовой стрелки на 90 градусов. Покажите, что $\mathcal{G}(g, \Lambda )$ линейно независима тогда и только тогда, когда $\mathcal{G}(\stackrel{\vee }{g}, R(\Lambda ))$ линейно независима, где $\stackrel{\vee }{g}$ — обратное преобразование Фурье $g$ .

(d)

Для $a \neq 0$ пусть $D_{a} = \left[\begin{array}{cc}a & 0 \\ 0 & 1 / a\end{array}\right]$ , так что умножение на $D_{a}$ является растяжением на $a$ по оси $x_{1}$ и соответствующим растяжением на $1 / a$ по оси $x_{2}$ . Определим $h(x) = g(x / a)$ и покажите, что $\mathcal{G}(g, \Lambda )$ линейно независима тогда и только тогда, когда $\mathcal{G}\left(h, D_{a}(\Lambda )\right)$ линейно независима.

(e)

Покажите, что если $A$ — матрица $2 \times 2$ с $\operatorname {det}(A) = 1$ , то $A$ можно записать как произведение матриц вида $S_{r}, R$ и $D_{a}$ .

Замечание Эта факторизация связана с тем, что каждая матрица $2 \times 2$ с определителем 1 является симплектической. Напротив, не каждая матрица $2 d \times 2 d$ с определителем 1 симплектична при $d > 1$ . Как следствие, гипотеза HRT становится ещё более труднодоступной в более высоких размерностях.

Задача 11.36

Предполагая теорему 11.36, докажите следствие 11.37.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 11.37

(a)(b)(c)

Зафиксируем $g \in L^{2}(\mathbb {R}) \backslash \left\{ 0\right\}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Покажите, что если $\left\{ q_{k}\right\}_{k = 1}^{N}$ — произвольное конечное множество различных вещественных чисел, то $\left\{ M_{q_{k}} g\right\}_{k = 1}^{N}$ линейно независима.

(b)

Покажите, что если $\left\{ p_{k}\right\}_{k = 1}^{N}$ — произвольное конечное множество различных вещественных чисел, то $\left\{ T_{p_{k}} g\right\}_{k = 1}^{N}$ линейно независима.

(c)

Покажите, что если $\Lambda = \left\{ \left(p_{k}, q_{k}\right)\right\}_{k = 1}^{N}$ — произвольное конечное множество различных, но коллинеарных точек в $\mathbb {R}^{2}$ , то $\mathcal{G}(g, \Lambda ) = \left\{ M_{q_{k}} T_{p_{k}} g\right\}_{k = 1}^{N}$ линейно независима.

Задача 11.38

Предположим, что $g \in L^{2}(\mathbb {R}) \backslash \left\{ 0\right\}$ имеет носитель в некоторой полупрямой, либо $(-\infty , a]$ , либо $[a, \infty )$ , где $a \in \mathbb {R}$ . Покажите, что если $\Lambda = \left\{ \left(p_{k}, q_{k}\right)\right\}_{k = 1}^{N}$ — произвольное конечное множество различных точек в $\mathbb {R}^{2}$ , то $\mathcal{G}(g, \Lambda ) = \left\{ M_{q_{k}} T_{p_{k}} g\right\}_{k = 1}^{N}$ линейно независима.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 11.39

(a)(b)

$n$ -я функция Эрмита $H_{n}$ определяется как

H_{n}(x) = e^{\pi x^{2}} D^{n} e^{-2 \pi x^{2}}, \quad n \geq 0

где $D^{n}$ обозначает оператор $n$ -й производной.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Докажите, что

H_{n+1}(x) = H_{n}^{\prime }(x)-2 \pi x H_{n}(x), \quad n \geq 0. \tag {11.41}

(b)

Используя уравнение (11.41), покажите, что $H_{n}(x) = p_{n}(x) e^{-\pi x^{2}}$ , где $p_{n}$ — многочлен степени $n$ со старшим коэффициентом $(-4 \pi )^{n}$ . Следовательно, каждая $H_{n}$ бесконечно дифференцируема и имеет экспоненциальное убывание на бесконечности, а $\operatorname {span}\left\{ H_{n}\right\}_{n \geq 0} = \left\{ p(x) e^{-\pi x^{2}}: p \text{ — многочлен}\right\}$ .

Замечание Можно показать, что $\left\{ H_{n}\right\}_{n \geq 0}$ — ортогональный (но не ортонормированный) базис для $L^{2}(\mathbb {R})$ . Следовательно, $\operatorname {span}\left\{ H_{n}\right\}_{n \geq 0}$ — плотное подпространство $L^{2}(\mathbb {R})$ .

Задача 11.40

Пусть $\phi (x) = e^{-\pi x^{2}}$ — функция Гаусса, и пусть $h(x) = p(x) e^{-\pi x^{2}}$ , где $p$ — произвольный нетривиальный многочлен. Покажите, что если $\Lambda = \left\{ \left(p_{k}, q_{k}\right)\right\}_{k = 1}^{N}$ — произвольное конечное множество различных точек в $\mathbb {R}^{2}$ , то $\mathcal{G}(h, \Lambda ) = \left\{ M_{q_{k}} T_{p_{k}} h\right\}_{k = 1}^{N}$ линейно независима.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 11.41

Предположим, что $g \in L^{2}(\mathbb {R})$ и $\Lambda = \left\{ \left(p_{k}, q_{k}\right)\right\}_{k = 1}^{N}$ таковы, что $\mathcal{G}(g, \Lambda )$ линейно независима. Покажите, что существует $\varepsilon > 0$ такое, что $\mathcal{G}\left(g, \Lambda^{\prime }\right)$ независима для любого множества $\Lambda^{\prime } = \left\{ \left(\alpha_{k}^{\prime }, \beta_{k}^{\prime }\right)\right\}_{k = 1}^{N}$ с $\left|\alpha_{k}-\alpha_{k}^{\prime }\right|,\left|\beta_{k}-\beta_{k}^{\prime }\right| < \varepsilon$ при $k = 1, \ldots , N$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 11.42

Предположим, что $m$ дифференцируема и $m(0) = 0$ . Положим $p(x) = \ln \left|m(x)\right|$ и покажите, что $\int_{-\delta }^{\delta } p(x) d x$ существует и конечен, если $\delta > 0$ достаточно мало.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Глава

12 · Вейвлет-базисы и фреймы[40/95%]

Задача 12.1

Покажите, что если $\mathcal{W}(\psi , a, b)$ — вейвлет-фрейм для $L^{2}(\mathbb {R})$ , то его оператор фрейма $S$ коммутирует с $D_{a^{n}}$ при $n \in \mathbb {Z}$ . Что это влечёт о структуре канонического дуального фрейма?

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 12.2

(a)(b)(c)(d)

Определим $\mathbb {A}_{1} = \left\{ D_{a} T_{b}\right\}_{a > 0, b \in \mathbb {R}}, \quad \mathbb {A}_{2} = \left\{ \left[\begin{array}{cc}a & b \\ 0 & 1\end{array}\right]\right\}_{a > 0, b \in \mathbb {R}}, \quad \mathbb {A}_{3} = \left\{ (a, b)\right\}_{a > 0, b \in \mathbb {R}}$ . В частности, $\mathbb {A}_{1}$ — множество всех операторов сдвига по времени и масштабу, и потому является подмножеством $\mathcal{B}\left(L^{2}(\mathbb {R})\right)$ . Определим следующие операции: на $\mathbb {A}_{1}$ это композиция операторов, на $\mathbb {A}_{2}$ это умножение матриц, а на $\mathbb {A}_{3}$ это

(a, b) *(c, d) = (a c, b c+d).

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Покажите, что $\mathbb {A}_{1}, \mathbb {A}_{2}, \mathbb {A}_{3}$ являются изоморфными группами относительно этих операций.

(b)

При заданных $a > 1, b > 0$ покажите, что $\left\{ D_{a^{n}} T_{b k}\right\}_{k, n \in \mathbb {Z}}$ не является подгруппой $\mathbb {A}_{1}$ .

(c)

При фиксированных $a > 1$ и $b > 0$ пусть $G$ — подгруппа $\mathbb {A}_{1}$ , порождённая $D_{a}$ и $T_{b}$ , т.е. пересечение всех подгрупп $\mathbb {A}_{1}$ , содержащих как $D_{a}$ , так и $T_{b}$ . Покажите, что $G$ содержит $D_{a^{n}} T_{\left(a^{m} j+k\right) b}$ для всех $m, n, j, k \in \mathbb {Z}$ . Поскольку $\left\{ \left(a^{m} j+k\right) b\right\}_{m, j, k \in \mathbb {Z}}$ плотно в $\mathbb {R}$ , заключаем, что не существует дискретных «разделённых» подгрупп $\mathbb {A}_{1}$ , содержащих одновременно растяжения и сдвиги.

(d)

Как множество, $\mathbb {A}_{3} = (0, \infty ) \times \mathbb {R}$ , и потому обладает естественной топологией. На самом деле $\mathbb {A}_{3}$ — пример локально компактной группы (ЛКГ). Каждая ЛКГ обладает соответствующими левой и правой мерами Хаара (единственными с точностью до скалярного множителя). Покажите, что левая мера Хаара для $\mathbb {A}_{3}$ равна $\frac{d a}{a} d b$ , то есть для каждого $(u, v) \in \mathbb {A}_{3}$ мы имеем

\int _{-\infty }^{\infty } \int _{0}^{\infty } F((u, v) *(a, b)) \frac{d a}{a} d b = \int _{-\infty }^{\infty } \int _{0}^{\infty } F(a, b) \frac{d a}{a} d b

для каждой функции $F$ на $\mathbb {A}_{3}$ , интегрируемой относительно $\frac{d a}{a} d b$ . Чему равна правая мера Хаара?

Замечание (Изоморфные) группы $\mathbb {A}_{1}, \mathbb {A}_{2}, \mathbb {A}_{3}$ называются аффинной группой. Свойства аффинной группы следует сопоставить со свойствами группы Гейзенберга-аффинной группы, обсуждаемой в упражнении 11.2.

Задача 12.3

(a)(b)(c)

Зафиксируем $a > 1, b > 0, c > 0$ , и пусть $\psi \in L^{2}(\mathbb {R})$ таково, что $\operatorname {supp}\left(\widehat{\psi }\right) \subseteq \left[c, c+b^{-1}\right]$ и $\sum_{n \in \mathbb {Z}}\left|\widehat{\psi }\left(a^{n} \xi \right)\right|^{2} = b$ для почти всех $\xi \geq 0$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Покажите, что $\widehat{\mathcal{W}}(\psi , a, b)$ — фрейм Парсеваля для $L^{2}[0, \infty )$ , а $\mathcal{W}(\psi , a, b)$ — фрейм Парсеваля для $H_{+}^{2}(\mathbb {R}) = \left\{ f \in L^{2}(\mathbb {R}): \operatorname {supp}\left(\widehat{f}\right) \subseteq [0, \infty )\right\}$ .

(b)

Покажите, что при правильном выборе $a, b$ можно выбрать $\psi$ так, чтобы $\widehat{\psi }$ было непрерывно. Можно ли выбрать $\psi$ так, чтобы $\widehat{\psi }$ было бесконечно дифференцируемо?

(c)

Найдите $\psi_{1}, \psi_{2}$ с непрерывными преобразованиями Фурье такие, что $\mathcal{W}\left(\psi_{1}\right) \cup \mathcal{W}\left(\psi_{2}\right)$ — фрейм Парсеваля для $L^{2}(\mathbb {R})$ .

Задача 12.4

(a)(b)(c)(d)

Это упражнение рассматривает вейвлет-множества в одномерном случае. Для простоты зафиксируем $b = 1$ , но допустим произвольный параметр растяжения $a > 1$ .

Пусть $E$ — измеримое подмножество $\mathbb {R}$ . Говорят, что $E$ замощает пространство сдвигами, если $\cup_{k \in \mathbb {Z}}(E+k) = \mathbb {R}$ с точностью до множества меры нуль, а пересечения $(E+j) \cap (E+k)$ имеют меру нуль при $j \neq k$ . Аналогично, $E$ замощает пространство растяжениями, если $\cup_{n \in \mathbb {Z}}\left(a^{n}\right) E = \mathbb {R}$ с точностью до множества меры нуль, а $\left(a^{m} E\right) \cap \left(a^{n} E\right)$ имеет меру нуль при $m \neq n$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Докажите, что если $E$ замощает пространство сдвигами, то $\left\{ e^{2 \pi i k x}\right\}_{k \in \mathbb {Z}}$ — ортонормированный базис для $L^{2}(E)$ .

(b)

Покажите, что если $E$ замощает пространство и сдвигами, и растяжениями, и $\widehat{\psi } = \chi_{E}$ , то $\left\{ D_{a^{n}} T_{k} \psi \right\}_{k, n \in \mathbb {Z}}$ — ортонормированный базис для $L^{2}(\mathbb {R})$ . Следовательно, в этом случае $E$ — вейвлет-множество.

(c)

Пусть $\left\{ D_{a^{n}} T_{k} \psi \right\}_{k, n \in \mathbb {Z}}$ — ортонормированный базис для $L^{2}(\mathbb {R})$ , где $\widehat{\psi } = \chi_{E}$ . Покажите, что $E$ замощает пространство и сдвигами, и растяжениями.

(d)

Покажите, что $E = \left[-1,-\frac{1}{2}\right] \cup \left[\frac{1}{2}, 1\right]$ — вейвлет-множество, если взять $a = 2$ . Проверьте явную формулу для вейвлета Шеннона $\psi$ , приведённую в уравнении (12.6).

Задача 12.5

Пусть $\mathcal{H}\left(\mathbb {R}^{d}\right)$ обозначает совокупность всех компактных непустых подмножеств $\mathbb {R}^{d}$ . Для $B \in \mathbb {R}^{d}$ определим

\operatorname {dist}(x, B) = \inf \left\{ \left|x-y\right|: y \in B\right\} \quad \text{ и } \quad B_{\varepsilon } = \left\{ x \in \mathbb {R}^{d}: \operatorname {dist}(x, B) < \varepsilon \right\} .

Покажите, что

\mathrm{d}(B, C) = \inf \left\{ \varepsilon > 0: B \subseteq C_{\varepsilon } \text{ и } C \subseteq B_{\varepsilon }\right\}

является метрикой на $\mathcal{H}\left(\mathbb {R}^{d}\right)$ .

Замечание На самом деле $\mathcal{H}\left(\mathbb {R}^{d}\right)$ полно относительно этой метрики [Hut81].

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 12.6

Пусть $A$ — матрица квинкункс, заданная в уравнении (12.7), и пусть $d = (1,0)$ . Тогда $f(K) = A^{-1}(K) \cup A^{-1}(K+d)$ отображает $\mathcal{H}\left(\mathbb {R}^{2}\right)$ в себя, и можно показать, что $f$ является сжимающим относительно метрики, введённой в упражнении 12.5. Отсюда следует, что $f$ имеет единственную неподвижную точку $Q$ , и для любого множества $K_{0} \in \mathcal{H}\left(\mathbb {R}^{2}\right)$ итерации $K_{n+1} = f\left(K_{n}\right)$ сходятся к $Q$ . Используя это, постройте «двойного дракона» $Q$ (возьмите $K_{0} = \left\{ 0\right\}$ ).

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 12.7

Чему равен аттрактор $Q$ , если заменить матрицу $A$ из упражнения 12.6 на матрицу квинкункс $B$ , определённую в уравнении (12.8)?

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 12.8

Покажите, что множество $\left\{ \psi \in L^{2}(\mathbb {R}): \psi \text{ допустима}\right\}$ плотно в $L^{2}(\mathbb {R})$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 12.9

Покажите, что если $\psi \in L^{1}(\mathbb {R}) \cap L^{2}(\mathbb {R})$ допустима, то $\widehat{\psi }(0) = 0$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 12.10

Докажите, что КМА Шеннона $\left\{ V_{n}\right\}_{n \in \mathbb {Z}}$ , построенный в примере 12.12, действительно является КМА.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 12.11

Докажите лемму 12.10.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Примечание.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Лемма 12.10: Предположим, что $\left\{ V_{n}\right\}_{n \in \mathbb {Z}}$ — КМА для $L^{2}(\mathbb {R})$ , и пусть $P_{n}$ обозначает ортогональную проекцию $L^{2}(\mathbb {R})$ на $V_{n}$ . Тогда верны следующие утверждения. (a) $V_{n} = D_{2^{n}}(V_{0}) = \left\{ f(2^{n} x) : f \in V_{n}\right\}$ . (b) $\left\{ D_{2^{n}} T_{k} \varphi \right\}_{k \in \mathbb {Z}}$ — ортонормированный базис для $V_{n}$ . (c) $V_{0}$ сдвигово-инвариантно, а $V_{n}$ $2^{-n}$ -сдвигово-инвариантно. (d) $P_{n} f \rightarrow f$ в $L^{2}(\mathbb {R})$ при $n \rightarrow \infty$ для любой $f \in L^{2}(\mathbb {R})$ . (e) $P_{n} f \rightarrow 0$ в $L^{2}(\mathbb {R})$ при $n \rightarrow -\infty$ для любой $f \in L^{2}(\mathbb {R})$ .

Задача 12.12

(a)(b)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Пусть $\left\{ V_{n}\right\}_{n \in \mathbb {Z}}$ — КМА для $L^{2}(\mathbb {R})$ с масштабирующей функцией $\varphi$ . Покажите, что $\left\{ D_{2^{n}} T_{k} \varphi \right\}_{k, n \in \mathbb {Z}}$ полна в $L^{2}(\mathbb {R})$ .

(b)

Покажите, что $\left\{ D_{2^{n}} T_{k} \chi_{[0,1]}\right\}_{k, n \in \mathbb {Z}}$ полна в $L^{2}(\mathbb {R})$ .

Задача 12.13

Пусть $\varphi \in L^{2}(\mathbb {R})$ уточняема с коэффициентами уточнения $\left(c_{k}\right)_{k \in \mathbb {Z}} \in \ell^{1}(\mathbb {Z})$ . Покажите, что $T_{m} \varphi$ уточняема при каждом $m \in \mathbb {Z}$ , и коэффициенты уточнения для $T_{m} \varphi$ равны $\left(c_{k+m}\right)_{k \in \mathbb {Z}}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 12.14

Шапочная функция на $[0,2]$ — это $B_{1}(x) = \max \left\{ 1-\left|x-1\right|, 0\right\}$ . Покажите непосредственно, что $B_{1}$ уточняема.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 12.15

Масштабирующая функция Шеннона — это функция sinc $\varphi (x) = \frac{\sin \pi x}{\pi x}$ . Покажите, что $\varphi$ уточняема, и что символ уточняющего уравнения равен $m_{0} = \chi_{\left[-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}\right]}$ (продолженный 1-периодически на $\mathbb {R}$ ).

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 12.16

Следующее уточняющее уравнение (основанное на растяжении в 3 раза) имеет непрерывное решение:

\varphi (x) = \frac{1}{2} \varphi (3 x)+\frac{1}{2} \varphi (3 x-1)+\varphi (3 x-2)+\frac{1}{2} \varphi (3 x-3)+\frac{1}{2} \varphi (3 x-4).

Какая функция удовлетворяет этому уточняющему уравнению?

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 12.17

Обоснуйте факторизацию, выполненную в уравнении (12.32) при доказательстве леммы 12.15.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 12.18

(a)(b)

Зафиксируем $\varphi \in L^{2}(\mathbb {R})$ и $m(\xi ) = \frac{1}{2} \sum_{k \in \mathbb {Z}} c_{k} e^{-2 \pi i k \xi }$ с $\left(c_{k}\right)_{k \in \mathbb {Z}} \in \ell^{2}(\mathbb {Z})$ , и предположим, что

\widehat{\varphi }(\xi ) = m(\xi / 2) \widehat{\varphi }(\xi / 2) \text{ п.в. }

Покажите, что если выполнено:

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

$\left\{ T_{k} \varphi \right\}_{k \in \mathbb {Z}}$ — бесселева последовательность, или

(b)

$\left(c_{k}\right)_{k \in \mathbb {Z}} \in \ell^{1}(\mathbb {Z})$ , то $\varphi$ уточняема.

Задача 12.19

(a)(b)(c)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Свёрткой последовательностей $c = \left(c_{k}\right)_{k \in \mathbb {Z}}$ и $d = \left(d_{k}\right)_{k \in \mathbb {Z}}$ в $\ell^{1}(\mathbb {Z})$ называется последовательность $c * d$ с компонентами

(c * d)_{k} = \sum _{j \in \mathbb {Z}} c_{j} d_{k-j}

Покажите, что этот ряд сходится при каждом $k$ , и $c * d \in \ell^{1}(\mathbb {Z})$ . Покажите далее, что если $c$ и $d$ — обе конечные последовательности, то и $c * d$ конечна.

(b)

Свёрткой функций $\varphi , \psi \in L^{1}(\mathbb {R})$ называется функция $\varphi * \psi$ , заданная как

(\varphi * \psi )(x) = \int _{-\infty }^{\infty } \varphi (y) \psi (x-y) d y

Покажите, что этот интеграл существует для почти всех $x$ , и что $\varphi * \psi \in L^{1}(\mathbb {R})$ . Покажите также, что если $\varphi$ и $\psi$ имеют компактные носители, то и $\varphi * \psi$ имеет компактный носитель.

(c)

Пусть $\varphi , \psi \in L^{1}(\mathbb {R})$ удовлетворяют уточняющим уравнениям

\varphi (x) = \sum _{k \in \mathbb {Z}} c_{k} \varphi (2 x-k) \quad \text{ и } \quad \psi (x) = \sum _{k \in \mathbb {Z}} d_{k} \psi (2 x-k)

где $c = \left(c_{k}\right)_{k \in \mathbb {Z}} \in \ell^{1}(\mathbb {Z})$ и $d = \left(d_{k}\right)_{k \in \mathbb {Z}} \in \ell^{1}(\mathbb {Z})$ . Покажите, что их свёртка $\varphi * \psi$ уточняема. Пусть $m_{c}(x) = \frac{1}{2} \sum c_{k} e^{-2 \pi i k \xi }$ — символ для $\varphi$ , а $m_{d}(x) = \frac{1}{2} \sum c_{k} e^{-2 \pi i k \xi }$ — символ для $\psi$ ; покажите, что символ для $\varphi * \psi$ равен $m_{c * d}(\xi ) = m_{c}(\xi ) m_{d}(\xi )$ .

Задача 12.20

(a)(b)(c)(d)(e)

Положим $B_{0} = \chi_{[0,1]}$ и рекурсивно определим $n$ -й $B$ -сплайн $B_{n}$ по формуле

B_{n} = B_{n-1} * \chi _{[0,1]}

где $*$ обозначает операцию свёртки, определённую в упражнении 12.19.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Покажите, что $B_{1} = \chi_{[0,1]} * \chi_{[0,1]}$ — шапочная функция на интервале $[0,2]$ , и найдите явные формулы для $B_{2}$ и $B_{2}^{\prime }$ .

(b)

Покажите, что $B_{n}$ уточняема, интегрируема и имеет компактный носитель. Покажите, что символ этого уточняющего уравнения равен

m_{0}(\xi ) = \left(\frac{1+e^{-2 \pi i \xi }}{2}\right)^{n+1}

(c)

Найдите явную формулу для $\widehat{B_{n}}$ и покажите, что $\widehat{B_{n}} \in L^{1}(\mathbb {R})$ при всех $n > 0$ .

(d)

Докажите, что $B_{n}^{\prime }(x) = B_{n-1}(x-1)-B_{n-1}(x)$ при $n > 1$ .

(e)

Покажите, что $B_{n} \in C^{n-1}(\mathbb {R})$ при $n > 0$ , и что $B_{n}^{(n-1)}$ кусочно линейна.

Задача 12.21

(a)(b)(c)(d)(e)

Пусть $\varphi \in L^{2}(\mathbb {R})$ — решение с компактным носителем уточняющего уравнения конечной длины

\varphi (x) = \sum _{k = 0}^{N} c_{k} \varphi (2 x-k)

Докажите следующие утверждения.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

$\operatorname {supp}\left(\varphi \right) \subseteq [0, N]$ , т.е. $\varphi (x) = 0$ для почти всех $x \notin [0, N]$ .

(b)

Если $\varphi$ непрерывна, то вектор $(\varphi (1), \ldots , \varphi (N-1))$ является собственным вектором матрицы $(N-1) \times (N-1)$

M = \left[\begin{smallmatrix} c_{1} & c_{0} & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ c_{3} & c_{2} & c_{1} & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & c_{N} & c_{N-1} \end{smallmatrix}\right] = \left[c_{2 i-j}\right]_{i, j = 1, \ldots , N}

для собственного значения 1. Обратите внимание на двойной сдвиг в строках матрицы $M$ ; по этой причине $M$ называется дважды скошенной (two-slanted) матрицей.

(c)

Если $\varphi$ дифференцируема, то $\varphi^{\prime }$ уточняема.

(d)

Если $\varphi \in C^{1}(\mathbb {R})$ , то 1 и $1 / 2$ являются собственными значениями $M$ .

(e)

$\varphi$ не может быть бесконечно дифференцируемой, и на самом деле может иметь не более $N-2$ непрерывных производных.

Задача 12.22

Пусть $\varphi \in L^{2}(\mathbb {R})$ уточняема с коэффициентами уточнения $\left(c_{k}\right)_{k \in \mathbb {Z}} \in \ell^{2}(\mathbb {Z})$ . Покажите, что если $\varphi$ имеет компактный носитель и $\left\{ T_{k} \varphi \right\}_{k \in \mathbb {Z}}$ ортонормирована, то лишь конечное число коэффициентов уточнения отлично от нуля.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 12.23

Покажите, что уравнения (12.42) и (12.43) эквивалентны, если $\left(c_{k}\right)_{k \in \mathbb {Z}} \in \ell^{1}(\mathbb {Z})$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 12.24

Покажите, что заключение теоремы 12.25 остаётся справедливым, если заменить предположение об убывании коэффициентов уточнения на условие $\sum_{k \in \mathbb {Z}}\left|k\right|^{\delta }\left|c_{k}\right| < \infty$ при некотором $\delta > 0$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 12.25

Пусть $c = \left(\ldots , 0,0, c_{0}, \ldots , c_{N}, 0,0, \ldots \right)$ — конечная последовательность с $c_{0}, c_{N} \neq 0$ . Покажите, что если выполнено условие устранения наложения спектров (12.42), то $N$ нечётно.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 12.26

(a)(b)(c)(d)

Пусть $\chi = \chi_{[0,1)}$ — прямоугольная функция, удовлетворяющая уточняющему уравнению $\chi (x) = \chi (2 x)+\chi (2 x-1)$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Покажите, что $\widehat{\chi }(\xi ) = e^{\pi i \xi } \frac{\sin \pi \xi }{\pi \xi }$ .

(b)

Покажите, что $\left|m_{0}(\xi )\right|^{2}+\left|m_{0}\left(\xi +\frac{1}{2}\right)\right|^{2} = 1$ .

(c)

Дайте прямое доказательство формулы Виета:

\prod _{j = 1}^{\infty } \cos \left(2^{-j} \pi \xi \right) = \frac{\sin \pi \xi }{\pi \xi }

(d)

Объясните, как формула Виета связана с теоремой 12.29.

Замечание Виет доказал частный случай $\xi = 1 / 2$ , который приводит к формуле

\frac{2}{\pi } = \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2} \cdots .

Задача 12.27

Покажите, что теорема 12.29 остаётся справедливой, если вместо условия устранения наложения спектров потребовать лишь $\left|m_{0}(\xi )\right|^{2}+\left|m_{0}\left(\xi +\frac{1}{2}\right)\right|^{2} \leq 1$ при $\xi \in \mathbf{T}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 12.28

(a)(b)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Покажите, что если $\sum_{k \in \mathbb {Z}}\left|k^{j} c_{k}\right| < \infty$ , то $m_{0}$ $j$ раз дифференцируема, и её $j$ -я производная является непрерывной функцией

m_{0}^{(j)}(\xi ) = \frac{(-2 \pi i)^{j}}{2} \sum _{k \in \mathbb {Z}} k^{j} c_{k} e^{-2 \pi i k x}

Заключите, что

m_{0}^{(j)}(1 / 2) = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \sum _{k \in \mathbb {Z}}(-1)^{k} k^{j} c_{k} = 0

и сопоставьте это с условиями точности, данными в уравнении (12.46).

(b)

Пусть $B_{n}$ — $n$ -й $B$ -сплайн, определённый в упражнении 12.20. Покажите, что условие точности $m_{0}^{(j)}(1 / 2) = 0$ выполняется при $j = 0, \ldots , n$ .

Задача 12.29

Пусть $\varphi \in L^{1}(\mathbb {R})$ уточняема с коэффициентами уточнения $\left(c_{k}\right)_{k \in \mathbb {Z}} \in \ell^{1}(\mathbb {Z})$ , удовлетворяющими $\sum_{k \in \mathbb {Z}} c_{k} = 2$ . Покажите, что если выполнено условие «минимальной точности» $\sum_{k}(-1)^{k} c_{k} = 0$ , то периодизация $\varphi$ почти всюду равна константе, а именно

\sum _{j \in \mathbb {Z}} \varphi (x+j) = \widehat{\varphi }(0) \quad \text{ п.в. }

(Это проще сделать, если предположить, что $\varphi$ непрерывна.)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 12.30

Это упражнение расширяет упражнение 12.29, но во избежание проблем со сходимостью мы предполагаем, что $\varphi$ — решение с компактным носителем уточняющего уравнения с конечным числом ненулевых коэффициентов $c_{k}$ . Предположим, что $\sum_{k \in \mathbb {Z}} c_{k} = 2$ и условия точности $\sum_{k \in \mathbb {Z}}(-1)^{k} k^{j} c_{k} = 0$ выполнены при $j = 0$ и $j = 1$ . Покажите, что

\sum _{j \in \mathbb {Z}}(j-2 a) \varphi (x+j) = x \quad \text{ п.в. }

где

a = \sum _{k \in \mathbb {Z}} 2 k c_{2 k} = \sum _{k \in \mathbb {Z}}(2 k+1) c_{2 k+1}.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 12.31

(a)(b)

Преобразование Гильберта функции $f \in L^{2}(\mathbb {R})$ — это функция $H f$ , преобразование Фурье которой равно $(H f)^{\wedge }(\xi ) = -i \operatorname {sign}\left(\xi \right) \widehat{f}(\xi )$ , где $\operatorname {sign}\left(\xi \right) = 1,0$ , или -1 в зависимости от того, $\xi > 0, \xi = 0$ , или $\xi < 0$ соответственно.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Покажите, что преобразование Гильберта — унитарное отображение $L^{2}(\mathbb {R})$ на себя, но оно не отображает $L^{1}(\mathbb {R}) \cap L^{2}(\mathbb {R})$ на себя. В частности, если $f \in L^{1}(\mathbb {R}) \cap L^{2}(\mathbb {R})$ удовлетворяет $\widehat{f}(0) \neq 0$ , то $H f \notin L^{1}(\mathbb {R})$ .

(b)

Пусть $\varphi \in L^{2}(\mathbb {R})$ удовлетворяет уточняющему уравнению с коэффициентами $\left(c_{k}\right)_{k \in \mathbb {Z}} \in \ell^{1}(\mathbb {Z})$ . Покажите, что $H \varphi$ удовлетворяет тому же уточняющему уравнению.

Задача 12.32

Покажите, что если выполнены предположения теоремы 12.25, то функция $P$ имеет не более чем полиномиальный рост на бесконечности, т.е. существуют $C > 0$ и целое $M > 0$ такие, что

\left|P(\xi )\right| \leq C\left|\xi \right|^{M}, \quad \left|\xi \right| \geq 1

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 12.33

Пусть $\left(c_{k}\right)_{k \in \mathbb {Z}} \in \ell^{1}(\mathbb {Z})$ удовлетворяет $\left|m_{0}(0)\right| = \frac{1}{2}\left|\sum c_{k}\right| < 1$ . Покажите, что не существует нетривиальных интегрируемых решений соответствующего уточняющего уравнения.

Примечание: упражнения 12.34-12.36 требуют некоторых знаний о распределениях, умеренных распределениях и преобразовании Фурье распределений.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 12.34

(a)(b)(c)(d)

Растяжение распределения $\mu \in \mathcal{D}^{\prime }(\mathbb {R})$ определяется по двойственности:

\left\langle f, D_{2} \mu \right\rangle = \left\langle D_{1 / 2} f, \mu \right\rangle , \quad f \in C_{c}^{\infty }(\mathbb {R})

Говорят, что распределение $\mu$ удовлетворяет уточняющему уравнению $\varphi (x) = 2 \varphi (2 x)$ в смысле распределений, если $\mu = 2^{1 / 2} D_{2} \mu$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Покажите, что функция $1 / x$ удовлетворяет одночленному уточняющему уравнению $\varphi (x) = 2 \varphi (2 x)$ . Однако $1 / x$ не является интегрируемой функцией и не определяет умеренного распределения.

(b)

Распределение $\delta$ — это линейный функционал на $C_{c}^{\infty }(\mathbb {R})$ , определённый как $\left\langle f, \delta \right\rangle = f(0)$ для $f \in C_{c}^{\infty }(\mathbb {R})$ . Покажите, что $\delta$ удовлетворяет уравнению $\varphi (x) = 2 \varphi (2 x)$ в смысле распределений.

(c)

$j$ -я производная распределения $\delta^{(j)}$ от $\delta$ определяется как $\left\langle f, \delta^{(j)} \right\rangle = (-1)^{j} f^{(j)}(0)$ для $f \in C_{c}^{\infty }(\mathbb {R})$ . Покажите, что $\delta^{(j)}$ удовлетворяет $\varphi (x) = 2^{j+1} \varphi (2 x)$ в смысле распределений.

(d)

Главное значение $1 / x$ — это линейный функционал $\operatorname {pv}(1 / x)$ на $C_{c}^{\infty }(\mathbb {R})$ , заданный как

\left\langle f, \operatorname {pv}(1 / x) \right\rangle = \lim _{T \rightarrow \infty } \int _{\frac{1}{T} < \left|t\right| < T} \frac{f(t)}{t} d t, \quad f \in C_{c}^{\infty }(\mathbb {R})

Покажите, что $\operatorname {pv}(1 / x)$ удовлетворяет $\varphi (x) = 2 \varphi (2 x)$ в смысле распределений.

Замечание $\delta$ и $\mathrm{pv}(1 / x)$ — оба умеренные распределения, и потому имеют преобразования Фурье в смысле распределений. Преобразование Фурье $\delta$ отождествляется с постоянной функцией, т.е. $\widehat{\delta } = 1$ . Преобразование Фурье $\mathrm{pv}(1 / x)$ отождествляется с функцией

(\operatorname {pv}(1 / x))^{\wedge }(\xi ) = -\pi i \operatorname {sign}\left(\xi \right),

где $\operatorname {sign}\left(\xi \right) = 1,0$ , или -1 в зависимости от того, $\xi > 0, \xi = 0$ , или $\xi < 0$ соответственно. С точностью до масштаба, $\delta$ — единственное решение в смысле распределений уравнения $\varphi (x) = 2 \varphi (2 x)$ , преобразование Фурье которого непрерывно.

Задача 12.35

(a)(b)(c)(d)

Умеренное распределение $\mu \in \mathcal{S}^{\prime }(\mathbb {R})$ удовлетворяет уточняющему уравнению в смысле распределений, если $\mu = \sum 2^{-1 / 2} c_{k} D_{2} T_{k} \mu$ , где

\left\langle f, D_{2} T_{k} \mu \right\rangle = \left\langle T_{-k} D_{1 / 2} f, \mu \right\rangle , \quad f \in \mathcal{S}(\mathbb {R}).

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Покажите, что если выполнены предположения теоремы 12.25, то $\mu = \stackrel{\vee }{P}$ (обратное преобразование Фурье $P$ в смысле распределений) — умеренное распределение, удовлетворяющее уточняющему уравнению в смысле распределений.

(b)

Покажите, что с точностью до масштаба $\mu$ — единственное умеренное распределение, удовлетворяющее уточняющему уравнению и имеющее преобразование Фурье, являющееся непрерывной функцией.

(c)

Пусть $\theta$ — произвольная ограниченная функция такая, что $\theta (2 \xi ) = \theta (\xi )$ при всех $\xi$ . Покажите, что $\widehat{\nu }(\xi ) = P(\xi ) \theta (\xi )$ определяет умеренное распределение, удовлетворяющее уточняющему уравнению в смысле распределений.

(d)

Покажите, что функция $\theta$ , удовлетворяющая $\theta (2 \xi ) = \theta (\xi )$ и непрерывная в точке $\xi = 0$ , — постоянная функция. Приведите примеры непостоянных функций $\theta$ таких, что $\theta (2 \xi ) = \theta (\xi )$ при всех $\xi$ .

Задача 12.36

(a)(b)(c)(d)(e)

Это упражнение рассматривает умеренные распределения, являющиеся решениями уточняющего уравнения

\varphi (x) = \sum _{k = 0}^{N} c_{k} \varphi (2 x-k), \quad \text{ где } \sum _{k = 0}^{N} c_{k} = 2. \tag {12.47}

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Пусть $\delta_{k}$ — распределение точечной массы в $k$ , т.е. $\left\langle f, \delta_{k} \right\rangle = f(k)$ для $f \in \mathcal{S}(\mathbb {R})$ . Положим $\nu = \frac{1}{2} \sum_{k = 0}^{N} c_{k} \delta_{k}$ , и покажите, что преобразование Фурье $\nu$ в смысле распределений равно $\widehat{\nu } = m_{0}$ .

(b)

Положим

\nu _{n} = \frac{1}{2} \sum _{k = 0}^{N} c_{k} \delta _{2^{-n} k} \quad \text{ и } \quad \mu _{n} = \nu _{1} * \cdots * \nu _{n}.

Покажите, что

\widehat{\mu _{n}}(\xi ) = P_{n}(\xi ) = \prod _{j = 1}^{n} m_{0}\left(2^{-j} \xi \right)

\operatorname {supp}\left(\mu _{n}\right) \subseteq \left[0, \frac{1}{2} N\right]+\cdots +\left[0,2^{-n} N\right] \subseteq [0, N]

(c)

По упражнению 12.35(a) существует решение $\mu$ уточняющего уравнения в смысле распределений, удовлетворяющее $\widehat{\mu } = P$ . По теореме 12.25, $\widehat{\mu_{n}} = P_{n}$ сходится к $P = \widehat{\mu }$ равномерно на компактных множествах. Покажите, что $\mu_{n} \xrightarrow {\mathrm{w}^{*}} \varphi$ , т.е.

\lim _{n \rightarrow \infty } \left\langle f, \mu _{n} \right\rangle = \left\langle f, \varphi \right\rangle , \quad f \in \mathcal{S}(\mathbb {R}),

и используйте это, чтобы показать, что $\operatorname {supp}\left(\varphi \right) \subseteq [0, N]$ .

(d)

Покажите, что если существует интегрируемое решение $\varphi$ уточняющего уравнения (12.47), то $\varphi$ имеет компактный носитель и $\operatorname {supp}\left(\varphi \right) \subseteq [0, N]$ .

(e)

Покажите, что если также выполнено условие устранения наложения спектров, то существует решение $\varphi \in L^{2}(\mathbb {R})$ с компактным носителем уточняющего уравнения (которое поэтому интегрируемо по неравенству Коши-Буняковского-Шварца).

Задача 12.37

(a)(b)(c)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Докажите утверждение (a) теоремы 12.33.

(b)

Докажите утверждение (b) теоремы 12.33.

(c)

Обоснуйте уравнения (12.63) и (12.64) в доказательстве утверждения (c) этой теоремы.

Задача 12.38

(a)(b)(c)

Пусть $\varphi \in L^{2}(\mathbb {R})$ — масштабирующая функция для некоторого КМА (кратномасштабного анализа), и вейвлет $\psi$ определён как в теореме 12.33. Докажите следующие утверждения.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

$\left|\widehat{\varphi }(\xi )\right|^{2}+\left|\widehat{\psi }(\xi )\right|^{2} = \left|\widehat{\varphi }(\xi / 2)\right|^{2}$ п.в.

(b)

$\sum_{n = 1}^{\infty }\left|\widehat{\psi }\left(2^{n} \xi \right)\right|^{2} = \left|\widehat{\varphi }(\xi )\right|^{2}$ п.в.

(c)

$\sum_{n \in \mathbb {Z}}\left|\widehat{\psi }\left(2^{n} \xi \right)\right|^{2} = 1$ п.в. (попробуйте сделать это, не прибегая к теореме 12.6).

Замечание Эта задача проще, если предположить, что $\varphi \in L^{1}(\mathbb {R}) \cap L^{2}(\mathbb {R})$ , поскольку тогда $\widehat{\varphi } \in C_{0}(\mathbb {R})$ по теореме 9.10.

Задача 12.39

(a)(b)(c)(d)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Покажите, что множество Журне $E$ , определённое в уравнении (12.65), является вейвлет-множеством (используйте упражнение 12.4).

(b)

Определим $\widehat{\psi } = \chi_{E}$ и предположим, что $\psi$ связана с некоторым КМА. Пусть $\varphi$ — масштабирующая функция этого КМА. Используя упражнение 12.38, покажите, что $\left|\widehat{\varphi }\right| = \chi_{F}$ , где

F = \left[-\frac{8}{7},-1\right] \cup \left[-\frac{4}{7},-\frac{1}{2}\right] \cup \left[-\frac{2}{7}, \frac{2}{7}\right] \cup \left[\frac{1}{2}, \frac{4}{7}\right] \cup \left[1, \frac{8}{7}\right].

(c)

Используя уравнение $\widehat{\varphi }(\xi ) = m_{0}(\xi / 2) \widehat{\varphi }(\xi / 2)$ , покажите, что $\left|m_{0}(\xi )\right| = 1$ при $\xi \in \left[-\frac{2}{7}, \frac{2}{7}\right]$ . Поскольку $m_{0}$ 1-периодична, это также показывает, что $\left|m_{0}(\xi )\right| = 1$ при $\xi \in \left[\frac{5}{7}, \frac{9}{7}\right]$ . Покажите, что если $\xi \in \left[1, \frac{8}{7}\right]$ , то $\varphi (2 \xi ) = 0$ , но $\left|m_{0}(\xi ) \varphi (\xi )\right| = 1$ . Заключите, что $\psi$ не может быть связана с КМА.

(d)

Для альтернативного доказательства того, что $\psi$ не может быть связана с КМА, вычислите $\Phi_{\varphi }(\xi ) = \sum_{k \in \mathbb {Z}}\left|\widehat{\varphi }(\xi +k)\right|^{2}$ и используйте это, чтобы получить противоречие.

Задача 12.40

(a)(b)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Определим

\nu (x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ x^{4}\left(35-84 x+70 x^{2}-20 x^{3}\right), & 0 \leq x \leq 1 \\ 1, & x > 1\end{cases}

Покажите, что $\nu \in C^{3}(\mathbb {R})$ и $0 \leq \nu (x) \leq 1$ при всех $x$ . Мы называем $\nu$ функцией $C^{3}$ -сигмоидой.

(b)

Определим

\widehat{\varphi }(\xi ) = \begin{cases} 0, & \xi \leq -\frac{2}{3} \text{ или } \xi \geq \frac{2}{3} \\ \sin \left(\frac{\pi }{2} \nu (3 x+2)\right), & -\frac{2}{3} < \xi < -\frac{1}{3} \\ 1, & -\frac{1}{3} \leq \xi \leq \frac{1}{3} \\ \cos \left(\frac{\pi }{2} \nu (3 x+2)\right), & \frac{1}{3} < \xi < \frac{2}{3}\end{cases}

Покажите, что $\widehat{\varphi }$ — колокольная функция в смысле примера 12.39.