Банк задач по математике

Задача 10.1

Покажите, что преобразование Фурье $\mathcal{F}$ и обратное преобразование Фурье $\mathcal{F}^{-1}$ каждое унитарно отображает $L_{[-\Omega , \Omega ]}^{2}(\mathbb {R})$ на $\mathcal{F} L_{[-\Omega , \Omega ]}^{2}(\mathbb {R})$ .

?

Задача 10.2

Покажите, что оператор растяжения $D_{r}$ унитарно отображает $\mathcal{F} L_{[-\Omega , \Omega ]}^{2}(\mathbb {R})$ на $\mathcal{F} L_{[-r \Omega , r \Omega ]}^{2}(\mathbb {R})$ .

?

Задача 10.3

(a)(b)

?

(a)

Докажите утверждение (a) теоремы 10.4.

(b)

Покажите, что $\mathrm{PW}(\mathbb {R}) \subseteq C^{\infty }(\mathbb {R})$ , обосновав утверждения, сделанные в доказательстве теоремы 10.4(d).

Задача 10.4

(a)(b)(c)(d)

Для $f \in \mathrm{PW}(\mathbb {R})$ докажите следующие утверждения.

?

(a)

$n$ -я производная $f$ может быть записана в виде

f^{(n)}(x) = \int _{-1 / 2}^{1 / 2}(2 \pi i \xi )^{n} \widehat{f}(\xi ) e^{2 \pi i \xi x} d \xi

(b)

$\left\| f^{(n)}\right\|_{\infty } \leq \pi^{n}\left\| \widehat{f}\right\|_{L^{1}}$ для каждого $n \geq 0$ .

(c)

Для $a \in \mathbb {R}$ ряд Тейлора функции $f$ в точке $a$ сходится к $f(x)$ при всех $x$ , т.е.

f(x) = \sum _{n = 0}^{\infty } \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}, \quad x \in \mathbb {R}

Замечание: Это означает, что $f$ является вещественно-аналитической функцией на $\mathbb {R}$ . Теорема Пэли–Винера утверждает больше: в частности, $f$ продолжается до функции, комплексно-аналитической на $\mathbb {C}$ .

(d)

Используя пункт (c), дайте другое доказательство следствия 10.6.

Задача 10.5

Докажите теорему 10.8.

?

Примечание.

?

Теорема 10.8: Пусть $\left\{ \lambda_{n}\right\}_{n \in \mathbb {N}}$ — произвольная последовательность вещественных чисел, такая что $\left\{ e_{\lambda_{n}}\right\}_{n \in \mathbb {N}}$ — фрейм для $L^{2}(\mathbf{T})$ . Пусть $\left\{ \widetilde{e}_{n}\right\}_{n \in \mathbb {N}}$ — канонический двойственный фрейм к $\left\{ e_{\lambda_{n}}\right\}_{n \in \mathbb {N}}$ в $L^{2}(\mathbf{T})$ , и положим $\widetilde{s}_{n} = \left(\widetilde{e}_{n} \chi_{\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]}\right)^{\vee }$ . Тогда для любой $f \in \mathrm{PW}(\mathbb {R})$ имеем $f = \sum_{n} f(\lambda_{n}) \widetilde{s}_{n}$ , где ряд сходится по норме $L^{2}$ .

Задача 10.6

Покажите, что если $b > 1$ , то функция $f \in \mathrm{PW}(\mathbb {R})$ не определяется однозначно последовательностью отсчётов $\left\{ f(b n)\right\}_{n \in \mathbb {Z}}$ .

?

Задача 10.7

Докажите, что подпространство $H_{\varphi }$ , определённое в уравнении (10.6), является замкнутым подпространством $L^{2}(\mathbf{T})$ .

?

Задача 10.8

Завершите доказательство теоремы 10.10: пусть $\varphi \in L^{2}(\mathbf{T})$ и пусть $\mathcal{E}(\varphi ) = \left\{ \varphi e_{n}\right\}_{n \in \mathbb {Z}}$ .

?

(a)

$\mathcal{E}(\varphi )$ полна в $L^{2}(\mathbf{T})$ тогда и только тогда, когда $\varphi (x) \neq 0$ п.в.

(b)

$\mathcal{E}(\varphi )$ минимальна в $L^{2}(\mathbf{T})$ тогда и только тогда, когда $1/\varphi \in L^{2}(\mathbf{T})$ (в этом случае $\mathcal{E}(\varphi )$ точна, биортогональна $\mathcal{E}(\widetilde{\varphi })$ , где $\widetilde{\varphi } = 1/\varphi$ ).

(c)

$\mathcal{E}(\varphi )$ — бесселева последовательность в $L^{2}(\mathbf{T})$ тогда и только тогда, когда $\varphi \in L^{\infty }(\mathbf{T})$ .

(d)

$\mathcal{E}(\varphi )$ — фреймовая последовательность в $L^{2}(\mathbf{T})$ тогда и только тогда, когда существуют $A, B > 0$ , такие что $A \leq \left|\varphi (x)\right|^{2} \leq B$ для п.в. $x \notin Z_{\varphi }$ (с замкнутым линейным пространством $H_{\varphi } = \left\{ f: f = 0\text{ п.в. на }Z_{\varphi }\right\}$ ).

(e)

$\mathcal{E}(\varphi )$ — безусловный базис для $L^{2}(\mathbf{T})$ тогда и только тогда, когда существуют $A, B > 0$ , такие что $A \leq \left|\varphi (x)\right|^{2} \leq B$ п.в. (в этом случае это базис Рисса).

(f)

$\mathcal{E}(\varphi )$ — ортонормированный базис для $L^{2}(\mathbf{T})$ тогда и только тогда, когда $\left|\varphi (x)\right| = 1$ п.в.

Задача 10.9

Пусть $\varphi (t) = \left|t-\frac{1}{2}\right|^{\alpha }$ , где $0 < \alpha < 1 / 2$ , как в примере 5.13. Покажите, что $\mathcal{E}(\varphi )$ точна в $L^{2}(\mathbf{T})$ , но не может быть безусловным базисом для $L^{2}(\mathbf{T})$ .

?

Задача 10.10

Обоснуйте равенство в уравнении (10.9).

?

Задача 10.11

Для последовательности $c = \left(c_{k}\right)_{k \in \mathbb {Z}} \in \ell^{2}(\mathbb {Z})$ пусть $T_{n} c$ обозначает сдвинутую последовательность $T_{n} c = \left(c_{k-n}\right)_{k \in \mathbb {Z}}$ . Охарактеризуйте те последовательности $c$ , для которых $\left\{ T_{n} c\right\}_{n \in \mathbb {Z}}$ полна, бесселева, минимальна, является фреймом, базисом Шаудера, базисом Рисса или ортонормированным базисом для $\ell^{2}(\mathbb {Z})$ .

?

Задача 10.12

Пусть заданы $g \in L^{2}(\mathbb {R})$ и $a > 0$ , и определим $h(x) = g(a x)$ . Покажите, что $\left\{ g(x-a k)\right\}_{k \in \mathbb {Z}}$ является фреймовой последовательностью в $L^{2}(\mathbb {R})$ тогда и только тогда, когда $\left\{ h(x-k)\right\}_{k \in \mathbb {Z}}$ является фреймовой последовательностью в $L^{2}(\mathbb {R})$ . Каково соотношение между замкнутыми линейными оболочками этих двух систем?

?

Задача 10.13

Для функции $f \in L^{1}(\mathbb {R})$ и $a > 0$ назовём функцию

\varphi (x) = \sum _{n \in \mathbb {Z}} f(x+a n)

$a$ -периодизацией функции $f$ (или просто периодизацией, если $a = 1$ ). Покажите, что ряд, определяющий $\varphi$ , сходится абсолютно в $L^{1}[0, a]$ , и

\int _{0}^{a} \varphi (x) d x = \int _{-\infty }^{\infty } f(x) d x

В частности, скобочным произведением функций $f, g \in L^{2}(\mathbb {R})$ называется функция $[f, g] \in L^{1}(\mathbf{T})$ , определённая формулой

[f, g](x) = \sum _{n \in \mathbb {Z}} f(x+n) \overline{g(x+n)}

?

Задача 10.14

Покажите, что если $g \in L^{2}(\mathbb {R})$ не является нулевой функцией, то $\left\{ T_{a} g\right\}_{a \in \mathbb {R}}$ конечно линейно независима.

?

Задача 10.15

Предположим, что $g \in L^{2}(\mathbb {R})$ такова, что $\mathcal{M}(\widehat{g}) = \left\{ e^{-2 \pi i k \xi } \widehat{g}(\xi )\right\}_{k \in \mathbb {Z}}$ — бесселева последовательность в $L^{2}(\mathbb {R})$ . По теореме 7.2, если $\left(c_{k}\right)_{k \in \mathbb {Z}} \in \ell^{2}(\mathbb {Z})$ , то ряд $F(\xi ) = \sum_{k \in \mathbb {Z}} c_{k} e^{-2 \pi i k \xi } \widehat{g}(\xi )$ сходится безусловно в $L^{2}(\mathbb {R})$ . Также, поскольку $\left\{ e^{-2 \pi i k \xi }\right\}_{k \in \mathbb {Z}}$ — ортонормированный базис для $L^{2}(\mathbf{T})$ , ряд $\hat{c}(\xi ) = \sum_{k \in \mathbb {Z}} c_{k} e^{-2 \pi i k \xi }$ сходится безусловно в $L^{2}(\mathbf{T})$ . Покажите, что $F(\xi ) = \widehat{c}(\xi ) \widehat{g}(\xi )$ п.в.

?

Задача 10.16

Докажите оставшиеся утверждения теоремы 10.19.

?

(a)

Покажите, что $\mathcal{T}(g)$ является бесселевой последовательностью в $V_{0}(g)$ тогда и только тогда, когда $\Phi_{g} \in L^{\infty }(\mathbf{T})$ , и в этом случае $\Phi_{g} \leq B$ п.в., где $B$ — бесселева граница.

(b)

Покажите, что $\mathcal{T}(g)$ является фреймом для $V_{0}(g)$ тогда и только тогда, когда существуют такие $A, B > 0$ , что $A \leq \Phi_{g}(\xi ) \leq B$ п.в. при $\xi \notin Z_{\Phi_{g}}$ . В этом случае $A, B$ — границы фрейма для $\mathcal{T}(g)$ .

(c)

Покажите, что $\mathcal{T}(g)$ минимальна в $V_{0}(g)$ тогда и только тогда, когда $1 / \Phi_{g} \in L^{1}(\mathbf{T})$ , и в этом случае $\mathcal{T}(g)$ точна в $V_{0}(g)$ .

(d)

Покажите, что $\mathcal{T}(g)$ является безусловным базисом для $V_{0}(g)$ тогда и только тогда, когда существуют такие $A, B > 0$ , что $A \leq \Phi_{g} \leq B$ п.в., и в этом случае она является базисом Рисса для $V_{0}(g)$ .

(e)

Покажите, что $\mathcal{T}(g)$ является ортонормированным базисом тогда и только тогда, когда $\Phi_{g}(t) = 1$ п.в.

(f)

Покажите, что относительно упорядочения $\left\{ 0,-1,1,-2,2, \ldots \right\}$ индексного множества $\mathbb {Z}$ , $\mathcal{T}(g)$ является базисом Шаудера для $V_{0}(g)$ тогда и только тогда, когда $\Phi_{g} \in \mathcal{A}_{2}(\mathbf{T})$ .

Задача 10.17

(a)(b)

Предположим, что $g \in L^{2}(\mathbb {R})$ такова, что $\mathcal{T}(g)$ — фреймовая последовательность в $L^{2}(\mathbb {R})$ , и пусть $S: V_{0}(g) \rightarrow V_{0}(g)$ — её оператор фрейма.

?

(a)

Покажите, что $S\left(T_{k} f\right) = T_{k}(S f)$ для каждой $f \in V_{0}(g)$ . Используя это, покажите, что канонический дуальный фрейм в $V_{0}(g)$ — это $\mathcal{T}(h)$ , где $h = S^{-1} g$ .

(b)

Покажите, что

f \in V_{0}(g) \Longleftrightarrow \exists m \in L^{2}(\mathbf{T}) \text{ такое что } \widehat{f} = m \widehat{g} \text{ п.в. }

Задача 10.18

(a)(b)

?

(a)

Предположим, что $g \in L^{2}(\mathbb {R})$ и $\widehat{g}$ отлична от нуля почти всюду. Покажите, что если $f \in V_{0}(g)$ , то существует 1-периодическая функция $p$ такая, что $\widehat{f} = p \widehat{g}$ п.в.

(b)

Для произвольной функции $g$ из $L^{2}(\mathbb {R})$ покажите, что $\mathcal{T}(g)$ не полна в $L^{2}(\mathbb {R})$ .

Задача 10.19

(a)(b)

Предположим, что $f, g \in L^{2}(\mathbb {R})$ таковы, что $\mathcal{T}(f)$ и $\mathcal{T}(g)$ обе являются ортонормированными последовательностями.

?

(a)

Покажите, что $\mathcal{T}(f)$ и $\mathcal{T}(g)$ имеют одинаковые замкнутые линейные оболочки тогда и только тогда, когда $\widehat{f}(\xi ) = \alpha (\xi ) \widehat{g}(\xi )$ п.в., где $\alpha$ 1-периодична и $\left|\alpha (\xi )\right| = 1$ п.в.

(b)

Покажите, что если $f$ и $g$ каждая имеет компактный носитель, то $\overline{\operatorname {span}}(\mathcal{T}(f)) = \overline{\operatorname {span}}(\mathcal{T}(g))$ тогда и только тогда, когда $f = \alpha T_{k} g$ , где $k \in \mathbb {Z}$ , а $\alpha$ — скаляр с $\left|\alpha \right| = 1$ .

Задача 10.20

(a)(b)(c)

Пусть задана $g \in L^{2}(\mathbb {R})$ .

?

(a)

Покажите, что если $g$ имеет компактный носитель (равна нулю почти всюду вне некоторого конечного интервала), то $\mathcal{T}(g)$ — бесселева последовательность, но не может быть избыточным фреймом для своей замкнутой линейной оболочки $V_{0}(g)$ (ср. упражнение 10.22).

(b)

Покажите, что если $\widehat{g}$ непрерывна и имеет компактный носитель, то $\mathcal{T}(g)$ — бесселева последовательность, но не может быть избыточным фреймом для $V_{0}(g)$ .

(c)

Найдите функцию $g \in L^{2}(\mathbb {R})$ , для которой $\mathcal{T}(g)$ — избыточный фрейм для $V_{0}(g)$ .

Задача 10.21

Предположим, что $g \in L^{2}(\mathbb {R})$ такова, что $\mathcal{T}(g)$ — фреймовая последовательность в $L^{2}(\mathbb {R})$ , и пусть $g^{\sharp } \in L^{2}(\mathbb {R})$ — функция, преобразование Фурье которой равно

\widehat{g^{\sharp }}(\xi ) = \begin{cases} \widehat{g}(\xi ) \Phi _{g}(\xi )^{-1 / 2}, & \xi \notin Z_{\Phi _{g}}, \\ 0, & \xi \in Z_{\Phi _{g}}.\end{cases}

Покажите, что $g^{\sharp } \in V_{0}(g) = \overline{\operatorname {span}}(\mathcal{T}(g))$ и что $\mathcal{T}\left(g^{\sharp }\right)$ — фрейм Парсеваля для $V_{0}(g)$ . Покажите далее, что если $\mathcal{T}(g)$ — базис Рисса для $V_{0}(g)$ , то $\mathcal{T}\left(g^{\sharp }\right)$ — ортонормированный базис для $V_{0}(g)$ .

?

Задача 10.22

Пусть $w(x) = \max \left\{ 1-\left|x\right|, 0\right\}$ — «шляпа» или «палатка»-функция на $[-1,1]$ . Используя лемму 10.20, покажите, что

\Phi _{w}(\xi ) = \frac{2+\cos 2 \pi \xi }{3} = \frac{1+2 \cos ^{2} \pi \xi }{3},

и заключите, что $\mathcal{T}(w)$ — базис Рисса для своей замкнутой линейной оболочки $V_{0}(g)$ . Найдите $\widehat{\widetilde{w}}, \Phi_{\widetilde{w}}$ , $\widehat{w^{\sharp }}$ и $\left[\widehat{w^{\sharp }}, \widehat{\widetilde{w}}\right]$ .

?

Задача 10.23

Предположим, что $g \in L^{2}(\mathbb {R})$ и $a_{k} \in \mathbb {R}$ таковы, что $\left\{ g\left(x-a_{k}\right)\right\}_{k \in \mathbb {N}}$ — базис Шаудера для $L^{2}(\mathbb {R})$ . Покажите, что последовательность $\left(a_{k}\right)_{k \in \mathbb {N}}$ должна быть равномерно отделённой, т.е. $\inf_{j \neq k}\left|a_{j}-a_{k}\right| > 0$ .

?

Дискретизация, взвешенные экспоненты и сдвиги