Базисы и фреймы Габора

Используя то, что $T_{a} M_{b} = e^{-2 \pi i a b} M_{b} T_{a}$, покажите, что множество $\left\{ T_{a} M_{b}\right\}_{a, b \in \mathbb {R}}$ операторов сдвига по времени-частоте не замкнуто относительно композиции, а значит, не образует группу.

Определим

и покажите, что $\mathbb {H}_{1}$ — неабелева группа относительно композиции операторов.

Определим

Покажите, что $\mathbb {H}_{2}$ — неабелева группа относительно операции

Покажите далее, что $\mathbb {H}_{2}$ изоморфна $\mathbb {H}_{1}$.

Определим

Покажите, что $\mathbb {H}_{3}$ — неабелева группа относительно умножения матриц и что $\mathbb {H}_{3}$ изоморфна $\mathbb {H}_{1}$.

Покажите, что $a \mathbb {Z} \times b \mathbb {Z} \times \left\{ 0\right\} = \left\{ (a k, b n, 0)\right\}_{k, n \in \mathbb {Z}}$ не является подгруппой $\mathbb {H}_{2}$, но счётное подмножество $a \mathbb {Z} \times b \mathbb {Z} \times a b \mathbb {Z} = \left\{ (a k, b n, a b j)\right\}_{k, n, j \in \mathbb {Z}}$ является подгруппой.

Как множество, $\mathbb {H}_{2} = \mathbb {R}^{3}$, и потому обладает естественной топологией. Фактически, $\mathbb {H}_{2}$ является примером локально компактной группы (ЛКГ). У каждой ЛКГ есть ассоциированные левая и правая меры Хаара (единственные с точностью до скалярного множителя). Покажите, что левой мерой Хаара для $\mathbb {H}_{2}$ является $d a d b d t$, что означает, что для каждого $(c, d, u) \in \mathbb {H}_{2}$ выполняется

для каждой интегрируемой функции $F$ на $\mathbb {H}_{2} = \mathbb {R}^{3}$. Покажите, что правой мерой Хаара также является $d a d b d t$. Таким образом, хотя $\mathbb {H}_{2}$ неабелева, её левая и правая меры Хаара совпадают (такую ЛКГ называют унимодулярной).

Покажите, что оператор фрейма $S$ коммутирует с $M_{b n}$ и $T_{a k}$ при всех $k, n \in \mathbb {Z}$, и используйте это, чтобы показать, что $S^{-1}$ также коммутирует с $M_{b n}$ и $T_{a k}$.

Покажите, что канонический дуальный фрейм $\mathcal{G}(g, a, b)$ — это фрейм Габора $\mathcal{G}(\widetilde{g}, a, b)$, где $\widetilde{g} = S^{-1} g$.

Предположим, что $\mathcal{G}(g, a, b)$ — фрейм для $L^{2}(\mathbb {R})$. Покажите, что $\mathcal{G}(g, a, b)$ — базис Рисса тогда и только тогда, когда $\left\langle g, \widetilde{g} \right\rangle = 1$.

Покажите, что канонический фрейм Парсеваля решётчатого фрейма Габора является другим решётчатым фреймом Габора. А именно, если $\mathcal{G}(g, a, b)$ — фрейм для $L^{2}(\mathbb {R})$ и мы полагаем $g^{\sharp } = S^{-1 / 2} g$, где $S$ — оператор фрейма, то $\mathcal{G}\left(g^{\sharp }, a, b\right)$ — фрейм Парсеваля для $L^{2}(\mathbb {R})$.

Покажите, что $\mathcal{G}\left(\chi_{[0,1]}, 1,1\right)$ — ортонормированный базис для $L^{2}(\mathbb {R})$.

Покажите, что $\mathcal{G}\left(\chi_{[0,1]}, a, 1\right)$ — фрейм для $L^{2}(\mathbb {R})$ тогда и только тогда, когда $0 < a \leq 1$.

Оператор фрейма является поточечным умножением на $b^{-1} G_{0}$, т.е. $S f = b^{-1} G_{0} f$ для $f \in L^{2}(\mathbb {R})$.

Канонический дуальный фрейм — это $\mathcal{G}(\widetilde{g}, a, b)$, где $\widetilde{g} = b g / G_{0}$.

Если $a b = 1$, то $\mathcal{G}(g, a, b)$ — базис Рисса для $L^{2}(\mathbb {R})$.

Если $0 < a b < 1$, то $\mathcal{G}(g, a, b)$ — избыточный фрейм для $L^{2}(\mathbb {R})$.

Покажите, что для каждого $n \in \mathbb {N}$ существует многочлен $p_{n}$ степени $3 n$ такой, что

Заключите, что $f$ бесконечно дифференцируема, каждая производная $f$ ограничена, и $f^{(n)}(x) = 0$ для всех $x \leq 0$ и $n \geq 0$.

Покажите, что если $a < b$, то $g(x) = f(x-a) f(b-x)$ бесконечно дифференцируема, равна нулю вне $(a, b)$ и строго положительна на $(a, b)$.

Положим $F_{0}(x) = \sum_{k \in \mathbb {Z}}\left|f(x-a k)\right|^{2}$ и покажите, что $g = f / F_{0}^{1 / 2}$ бесконечно дифференцируема, имеет компактный носитель и удовлетворяет $\sum_{k \in \mathbb {Z}}\left|g(x-a k)\right|^{2} = 1$ всюду.

Покажите, что существует функция $g \in C_{c}^{\infty }(\mathbb {R})$, для которой $\mathcal{G}(g, a, b)$ — фрейм Парсеваля для $L^{2}(\mathbb {R})$.

Покажите, что $\mathcal{G}(g, a, b)$ — базис Рисса для $L^{2}(\mathbb {R})$ тогда и только тогда, когда это фрейм и $a b = 1$.

Покажите, что $\mathcal{G}(g, a, b)$ — ортонормированный базис для $L^{2}(\mathbb {R})$ тогда и только тогда, когда это тесный фрейм, $a b = 1$ и $\left\| g\right\|_{L^{2}} = 1$.

$W\left(L^{\infty }, \ell^{1}\right) \subseteq L^{p}(\mathbb {R})$ при $1 \leq p \leq \infty$, и $W\left(L^{\infty }, \ell^{1}\right)$ плотно в $L^{p}(\mathbb {R})$ при $1 \leq p < \infty$.

$W\left(L^{\infty }, \ell^{1}\right)$ замкнуто относительно сдвигов: $\left\| T_{b} f\right\|_{W(L^{\infty }, \ell^{1})} \leq 2\left\| f\right\|_{W(L^{\infty }, \ell^{1})}$.

$W\left(L^{\infty }, \ell^{1}\right)$ является идеалом в $L^{\infty }(\mathbb {R})$ относительно поточечного произведения: если $f \in L^{\infty }(\mathbb {R})$ и $g \in W\left(L^{\infty }, \ell^{1}\right)$, то $f g \in W\left(L^{\infty }, \ell^{1}\right)$ и $\left\| f g\right\|_{W(L^{\infty }, \ell^{1})} \leq \left\| f\right\|_{L^{\infty }}\left\| g\right\|_{W(L^{\infty }, \ell^{1})}$.

$\displaystyle \frac{1}{C_{1/a}}\lvert \lvert \lvert f\rvert \rvert \rvert_{a} \leq \left\| f\right\|_{W(L^{\infty }, \ell^{1})}$, где $\lvert \lvert \lvert f\rvert \rvert \rvert_{a} = \sum_{k \in \mathbb {Z}}\left\| f \cdot \chi_{[a k, a(k+1)]}\right\|_{L^{\infty }}$.

Обоснуйте переход от равенства $\int f(x) e^{-2 \pi i b n x} \overline{g(x-a k)} \, d x$ к его периодизированной форме двойной суммы.

Обоснуйте равенство, полученное интегрированием $f(x) \overline{g(x-a k)} F_{k}(x)$ периодически, по сравнению с интегрированием по всему $\mathbb {R}$.

Обоснуйте перестановку суммы по $k$ с суммой по $j$ и интегралом.

Обоснуйте перестановку суммы по $j$ с внешним интегралом.

Пусть $g \in L^{2}(\mathbb {R})$ и $a, b > 0$ таковы, что $\mathcal{G}(g, a, b)$ — фрейм для $L^{2}(\mathbb {R})$. Покажите, что существует $\delta > 0$ такое, что если $h \in L^{2}(\mathbb {R})$ и $\left\| g-h\right\|_{W\left(L^{\infty }, \ell^{1}\right)} < \delta$, то $\mathcal{G}(h, a, b)$ — фрейм для $L^{2}(\mathbb {R})$.

Останется ли пункт (a) верным, если заменить амальгамную норму $\left\| \cdot \right\|_{W\left(L^{\infty }, \ell^{1}\right)}$ на норму $L^{2}$ $\left\| \cdot \right\|_{L^{2}}$?

$f(x) = \int_{0}^{1} Z f(x, \xi ) d \xi$ для почти всех $x \in \mathbb {R}$.

Если $Z f$ непрерывна, то $f$ непрерывна.

$Z$ — инъективное отображение $L^{1}(\mathbb {R})$ в $L^{1}(Q)$, и образ отображения $Z: L^{1}(\mathbb {R}) \rightarrow L^{1}(Q)$ является собственным плотным подпространством $L^{1}(Q)$.

$Z^{-1}: L^{1}(Q) \rightarrow L^{1}(\mathbb {R})$ неограничен.

Покажите, что если $f$ чётна, то $\operatorname {Zf}(1 / 2,1 / 2) = 0$.

Покажите, что если $f$ нечётна, то $Z f(0,0) = Z f(0,1 / 2) = Z f(1 / 2,0) = 0$.

Покажите, что если $f$ вещественнозначна, то $Z f(x, 1 / 2) = 0$ для некоторого $x \in [0,1]$.

Пусть $p(x) = \sum_{k = -N}^{N} c_{k} e^{2 \pi i k x}$ — тригонометрический полином. Покажите, что если $\left|p\right| = 1$ п.в., то $p(x) = c_{n} e^{2 \pi i n x}$ для некоторого $n$ между $-N$ и $N$.

Предположим, что $g \in L^{2}(\mathbb {R})$ имеет компактный носитель. Покажите, что $\mathcal{G}(g, 1,1)$ — ортонормированный базис для $L^{2}(\mathbb {R})$ тогда и только тогда, когда $\left|g\right| = \chi_{E}$ для некоторого ограниченного множества $E \subseteq \mathbb {R}$, удовлетворяющего $\sum_{k \in \mathbb {Z}} \chi_{E}(x-k) = 1$ п.в.

Покажите, что если $A, B$ самосопряжены в том смысле, что

то

где $[A, B] = A B-B A$ — коммутатор $A$ и $B$.

Покажите, что равенство в пункте (a) выполняется тогда и только тогда, когда $A f = i c B f$ для некоторого $c \in \mathbb {R}$.

Зафиксируем $z \in \mathbb {R}^{2}$. Покажите, что $\mathcal{G}(g, \Lambda )$ линейно независима тогда и только тогда, когда $\mathcal{G}(g, \Lambda +z)$ линейно независима.

Для $r \in \mathbb {R}$ пусть $S_{r} = \left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ r & 1\end{array}\right]$, так что умножение на матрицу $S_{r}$ является сдвиговым преобразованием на $\mathbb {R}^{2}$. Определим $h(x) = e^{\pi i r x^{2}} g(x)$ и покажите, что $\mathcal{G}(g, \Lambda )$ линейно независима тогда и только тогда, когда $\mathcal{G}\left(h, S_{r}(\Lambda )\right)$ линейно независима.

Пусть $R = \left[\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right]$, так что умножение на $R$ является поворотом $\mathbb {R}^{2}$ против часовой стрелки на 90 градусов. Покажите, что $\mathcal{G}(g, \Lambda )$ линейно независима тогда и только тогда, когда $\mathcal{G}(\stackrel{\vee }{g}, R(\Lambda ))$ линейно независима, где $\stackrel{\vee }{g}$ — обратное преобразование Фурье $g$.

Для $a \neq 0$ пусть $D_{a} = \left[\begin{array}{cc}a & 0 \\ 0 & 1 / a\end{array}\right]$, так что умножение на $D_{a}$ является растяжением на $a$ по оси $x_{1}$ и соответствующим растяжением на $1 / a$ по оси $x_{2}$. Определим $h(x) = g(x / a)$ и покажите, что $\mathcal{G}(g, \Lambda )$ линейно независима тогда и только тогда, когда $\mathcal{G}\left(h, D_{a}(\Lambda )\right)$ линейно независима.

Покажите, что если $A$ — матрица $2 \times 2$ с $\operatorname {det}(A) = 1$, то $A$ можно записать как произведение матриц вида $S_{r}, R$ и $D_{a}$.

Покажите, что если $\left\{ q_{k}\right\}_{k = 1}^{N}$ — произвольное конечное множество различных вещественных чисел, то $\left\{ M_{q_{k}} g\right\}_{k = 1}^{N}$ линейно независима.

Покажите, что если $\left\{ p_{k}\right\}_{k = 1}^{N}$ — произвольное конечное множество различных вещественных чисел, то $\left\{ T_{p_{k}} g\right\}_{k = 1}^{N}$ линейно независима.

Покажите, что если $\Lambda = \left\{ \left(p_{k}, q_{k}\right)\right\}_{k = 1}^{N}$ — произвольное конечное множество различных, но коллинеарных точек в $\mathbb {R}^{2}$, то $\mathcal{G}(g, \Lambda ) = \left\{ M_{q_{k}} T_{p_{k}} g\right\}_{k = 1}^{N}$ линейно независима.

Докажите, что

Используя уравнение (11.41), покажите, что $H_{n}(x) = p_{n}(x) e^{-\pi x^{2}}$, где $p_{n}$ — многочлен степени $n$ со старшим коэффициентом $(-4 \pi )^{n}$. Следовательно, каждая $H_{n}$ бесконечно дифференцируема и имеет экспоненциальное убывание на бесконечности, а $\operatorname {span}\left\{ H_{n}\right\}_{n \geq 0} = \left\{ p(x) e^{-\pi x^{2}}: p \text{ — многочлен}\right\}$.