Процессы рождения и процесс Пуассона

Мухи и осы садятся на вашу тарелку с едой в соответствии с независимыми пуассоновскими процессами с интенсивностями $\lambda$ и $\mu$ соответственно. Покажите, что появления летающих объектов образуют пуассоновский процесс с интенсивностью $\lambda +\mu$.

Насекомые попадают в суп в соответствии с пуассоновским процессом с интенсивностью $\lambda$, и каждое такое насекомое зелёное с вероятностью $p$, независимо от цвета всех остальных насекомых. Покажите, что появления зелёных насекомых образуют пуассоновский процесс с интенсивностью $\lambda p$.

Пусть $T_{n}$ — момент $n$-го поступления в пуассоновском процессе $N$ с интенсивностью $\lambda$, и определим процесс избыточного времени жизни $\mathbb {E}\left[t\right] = T_{N(t)+1}-t$ — время, которое нужно ждать после момента $t$ до следующего поступления. Покажите, обусловливая по $T_{1}$, что

Решите это интегральное уравнение, чтобы найти функцию распределения $\mathbb {E}\left[t\right]$. Объясните полученный результат.

Пусть $B$ — простой процесс рождения из пункта $(6.8.15 \mathrm{~ b})$ с $B(0) = I$; интенсивности рождения равны $\lambda_{n} = n \lambda$. Запишите прямую систему уравнений для процесса и выведите отсюда, что

Покажите также, что $\mathbb {E}\left[B(t\right]) = I e^{\lambda t}$ и $\operatorname {Var}\left[B(t\right]) = I e^{2 \lambda t}\left(1-e^{-\lambda t}\right)$.

Пусть $B$ — процесс простого рождения с иммиграцией (6.8.11в) с параметрами $\lambda$ и $\nu$ и с $B(0) = 0$; интенсивности рождения равны $\lambda_{n} = n \lambda +\nu$. Запишите последовательность дифференциально-разностных уравнений для $p_{n}(t) = \mathbb {P}\left(B(t) = n\right)$. Не решая эти уравнения, используйте их, чтобы показать, что $m(t) = \mathbb {E}\left[B(t)\right]$ удовлетворяет уравнению $m^{\prime }(t) = \lambda m(t)+\nu$, и решите его относительно $m(t)$.

Пусть $N$ — процесс рождения с интенсивностями $\lambda_{0}, \lambda_{1}, \ldots$, и пусть $N(0) = 0$. Покажите, что $p_{n}(t) = \mathbb {P}\left(N(t\right) = n)$ задаётся формулой

при условии, что $\lambda_{i} \neq \lambda_{j}$ при $i \neq j$.

Предположим, что общий процесс рождения из предыдущего упражнения таков, что $\sum_{n} \lambda_{n}^{-1} < \infty$. Покажите, что $\lambda_{n} p_{n}(t) \rightarrow f(t)$ при $n \rightarrow \infty$, где $f$ — плотность случайной величины $T = \sup \left\{ t: N(t) < \infty \right\}$. Выведите отсюда, что $\mathbb {E}\left[N(t\right] \mid N(t) < \infty )$ конечно или бесконечно в зависимости от сходимости или расходимости $\sum_{n} n \lambda_{n}^{-1}$.

Найдите преобразование Лапласа $f$ в замкнутой форме для случая, когда $\lambda_{n} = \left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}$, и выведите отсюда выражение для $f$.

Светофор горит зелёным в момент времени $0$ и впоследствии переключается между зелёным и красным в моменты пуассоновского процесса с интенсивностью $\lambda$. Начиная с момента времени $x > 0$, пусть $W(x)$ — время ожидания до первого включения зелёного света. Найдите распределение $W(x)$.

Условное свойство простого процесса рождения. Пусть $X = \left\{ X(t): t \geq 0\right\}$ — простой процесс рождения с интенсивностью $\lambda$, и пусть $X(0) = 1$. Пусть $b \geq 1$. Покажите, что при условии $\left\{ X(t) = b+1\right\}$ моменты $b$ рождений имеют то же распределение, что и вариационный ряд случайной выборки объёма $b$ из плотности

Валуны падают по жёлобу (кулуару) в моменты пуассоновского процесса с интенсивностью $\lambda$, а альпинисты поднимаются по жёлобу в моменты пуассоновского процесса с интенсивностью $\mu$ (оба процесса независимы друг от друга). Если падение и подъём происходят в течение интервала длины $c$ или меньше, говорят, что произошло совпадение. Покажите, что время $T$ до первого совпадения имеет среднее

Покажите, что $c \mathbb {E}\left[T\right] \rightarrow (2 \lambda \mu )^{-1}$ при $c \downarrow 0$. Можете ли вы доказать этот последний результат напрямую?

Пусть $S_{1}, S_{2}$ — моменты первых двух поступлений в пуассоновском процессе с интенсивностью $\lambda$, в порядке поступления. Покажите, что

и выведите отсюда совместную плотность $S_{1}$ и $S_{2}$.

Внештатному продавцу платят $R$ единиц за каждую продажу, и комиссионные поступают в моменты пуассоновского процесса интенсивности $\lambda$. Расходы на жизнь расходуют его ресурсы с единичной скоростью. Если его начальное состояние равно $S > 0$, покажите, что вероятность того, что он когда-либо обанкротится, равна $a^{S / R}$, где $a$ — наименьшее $x > 0$, такое что $x = e^{\lambda R(x-1)}$.

Докажите, что $a \in (0,1)$, если $\lambda R > 1$, тогда как $a = 1$, если $\lambda R < 1$.