Процессы ветвления: повторное рассмотрение

Пусть $Z_{n}$ — размер $n$-го поколения ветвящегося процесса с $Z_{0} = 1$ и $\mathbb {P}\left(Z_{1} = k\right) = 2^{-k}$ при $k \geq 0$. Покажите непосредственно, что при $n \rightarrow \infty , \mathbb {P}\left(Z_{n} \leq 2 y n \mid Z_{n} > 0\right) \rightarrow 1-e^{-2 y}, y > 0$, в согласии с теоремой (6.7.8).

Пусть $Z$ — надкритический ветвящийся процесс с $Z_{0} = 1$ и производящей функцией размера семьи $G$. Предположим, что вероятность вырождения $\eta$ удовлетворяет $0 < \eta < 1$. Найдите способ описания процесса $Z$ при условии его конечного вырождения.

Пусть $Z_{n}$ — размер $n$-го поколения ветвящегося процесса с $Z_{0} = 1$ и $\mathbb {P}\left(Z_{1} = k\right) = q p^{k}$ при $k \geq 0$, где $p+q = 1$ и $p > \frac{1}{2}$. Используя ответ к упражнению (6.7.2), покажите, что при условии конечного вырождения $Z$ процесс растёт подобно ветвящемуся процессу с размерами поколений $\widetilde{Z}_{n}$, удовлетворяющими $\widetilde{Z}_{0} = 1$ и $\mathbb {P}\left(\widetilde{Z}_{1} = k\right) = p q^{k}$ при $k \geq 0$.