Пространственные пуассоновские процессы

В некотором городе в момент времени $t = 0$ медведей нет. Бурые медведи и медведи гризли прибывают в соответствии с независимыми пуассоновскими процессами $B$ и $G$ с интенсивностями $\beta$ и $\gamma$ соответственно.

Пусть $\Pi$ — точки неоднородного пуассоновского процесса на $\mathbb {R}^{d}$ с функцией интенсивности $\lambda$. Пусть $S = \sum_{\mathbf{x} \in \Pi } g(\mathbf{x})$, где $g$ — (измеримая) функция, которую мы для удобства считаем неотрицательной.

Пусть $\Pi$ — пуассоновский процесс с постоянной интенсивностью $\lambda$ на поверхности сферы радиуса 1 в $\mathbb {R}^{3}$. Пусть $P$ — процесс, задаваемый координатами $(X, Y)$ точек, спроецированных на плоскость, проходящую через центр сферы. Покажите, что $P$ — пуассоновский процесс, и найдите его функцию интенсивности.

Повторите упражнение (6.13.3) для случая, когда $\Pi$ — однородный пуассоновский процесс на шаре $\left\{ \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) : x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2} \leq 1\right\}$.

Вы втыкаете булавки в карту Земли в проекции Меркатора в соответствии с пуассоновским процессом постоянной интенсивности $\lambda$. Какова функция интенсивности соответствующего процесса на глобусе? Какой была бы функция интенсивности на карте, если бы вы образовали пуассоновский процесс постоянной интенсивности $\lambda$ падений метеоритов на поверхность Земли?

$r$-я точка $T_{r}$ пуассоновского процесса $N$ постоянной интенсивности $\lambda$ на $\mathbb {R}_{+}$порождает эффект $X_{r} e^{-\alpha \left(t-T_{r}\right)}$ в момент времени $t \geq T_{r}$, где $X_{r}$ независимы, одинаково распределены и имеют конечную дисперсию. Найдите среднее и дисперсию суммарного эффекта $S(t) = \sum_{r = 1}^{N(t)} X_{r} e^{-\alpha \left(t-T_{r}\right)}$ через первые два момента $X_{r}$, и вычислите $\operatorname {Cov}\left[S(s), S(t)\right]$.

Каково поведение корреляции $\rho (S(s), S(t))$ при $s \rightarrow \infty$ с фиксированным $t-s$?

Пусть $N$ — неоднородный пуассоновский процесс на $\mathbb {R}_{+}$ с функцией интенсивности $\lambda$. Найдите совместную плотность первых двух интервалов между событиями и выведите отсюда, что в общем случае они не являются независимыми.

Пусть $\left\{ N_{r}(t): r \geq 1\right\}$ — семейство независимых пуассоновских процессов на $\mathbb {R}_{+}$ с постоянными интенсивностями $\left\{ \lambda_{r}: r \geq 1\right\}$ соответственно, такое что $\sum_{r} \lambda_{r} = \lambda < \infty$. Положим $N(t) = \sum_{r} N_{r}(t)$, и пусть $I$ обозначает индекс процесса, дающего первую точку в $N$, наступающую в момент времени $T$. Покажите, что

Пусть $\Pi$ — пуассоновский процесс на $\mathbb {R}^{2} \backslash \mathbf{0}$ с функцией интенсивности $\lambda (u, v) = \left(u^{2}+v^{2}\right)^{-3 / 2}$. Каждая точка $(U, V) \in \Pi$ порождает прямую $U x+V y = 1$ на плоскости $x / y, \mathbb {L}$.

Большой континент пересекает дважды бесконечное прямое шоссе, вдоль которого грузовики припаркованы в точках пуассоновского процесса с постоянной интенсивностью 1. Массы грузовиков — независимые одинаково распределённые случайные величины, независимые от мест парковки. Пусть $G$ — гравитационное притяжение, оказываемое грузовиками на пешехода единичной массы, стоящего рядом с шоссе. Гравитационную постоянную можно считать равной 1.

Покажите, что $G$ имеет характеристическую функцию вида $\phi (t) = \exp \left(-c|t|^{1 / 2}\right)$, где $c > 0$. Выразите $c$ через среднее типичной массы $M$.