Уравнения Колмогорова и предельная теорема

Пусть $N < \infty$, и пусть $\mathcal{Q}$ — пространство матриц размера $N \times N$ с вещественными элементами, с нормой

где $\left|\mathbf{y}\right|$ — евклидова норма вектора $\mathbf{y}$, а супремум берётся по всем ненулевым векторам-столбцам.

Пусть $Y$ — неприводимая дискретная марковская цепь на счётно-бесконечном пространстве состояний $S$ с матрицей переходных вероятностей $\mathbf{Y} = \left(y_{i j}\right)$, удовлетворяющей $y_{i i} = 0$ для всех состояний $i$, и со стационарным распределением $\mathbf{\nu }$. Постройте процесс $X$ с непрерывным временем на $S$, для которого $Y$ является цепью скачков, такой что $X$ не имеет стационарного распределения.

Пусть $X = (X(t): t \geq 0)$ — марковская цепь на $\mathbb {Z}$ с генератором $\mathbf{G} = \left(g_{i j}\right)$, заданным как

Покажите, что $X$ возвратна. Является ли $X$ положительно возвратной?

Пусть $X$ — марковская цепь на $\mathbb {Z}$ с генератором $G = \left(g_{i j}\right)$, удовлетворяющим

Покажите, что $X$ невозвратна, но обладает инвариантным распределением. Объясните это.

Пусть $X = \left(X_{t}: t \geq 0\right)$ — марковская цепь с генератором $\mathbf{G} = \left(g_{i j}\right)$ на конечном пространстве состояний $S$, и пусть $f: S \rightarrow \mathbb {R}$ — функция, которую мы отождествляем с вектором $f = (f(i): i \in S)$. Покажите, что

где $\mathbf{G} f$ обозначает обычное матричное умножение. Покажите, что

и выведите отсюда, что