Независимость

Пусть $A$ и $B$ — независимые события; покажите, что $A^{\complement }, B$ независимы, и выведите отсюда, что $A^{\complement }, B^{\complement }$ независимы.

Мы бросаем кость $n$ раз. Пусть $A_{i j}$ — событие, состоящее в том, что при $i$-м и $j$-м бросках выпадает одно и то же число. Покажите, что события $\left\{ A_{i j}: 1 \leq i < j \leq n\right\}$ попарно независимы, но не являются независимыми в совокупности.

Правильная монета подбрасывается многократно. Покажите, что следующие два утверждения эквивалентны:

(a) исходы разных подбрасываний независимы,

(b) для любой заданной конечной последовательности орлов и решек вероятность того, что эта последовательность встретится в первых $m$ подбрасываниях, равна $2^{-m}$, где $m$ — длина последовательности.

Пусть $\Omega = \left\{ 1,2, \ldots , p\right\}$, где $p$ — простое число, $\mathcal{F}$ — множество всех подмножеств $\Omega$, и $\mathbb {P}\left(A\right) = |A| / p$ для всех $A \in \mathcal{F}$. Покажите, что если $A$ и $B$ — независимые события, то хотя бы одно из $A$ и $B$ есть либо $\varnothing$, либо $\Omega$.

Покажите, что условная независимость $A$ и $B$ при условии $C$ не влечёт независимости $A$ и $B$ и не следует из неё. Для каких событий $C$ верно, что для всех $A$ и $B$ события $A$ и $B$ независимы тогда и только тогда, когда они условно независимы при условии $C$?

Безопасно или досадно? Утверждается, что некоторое средство профилактики эффективно предотвращает заболевание на 90 процентов в течение одного года лечения. Если степени эффективности в разные годы независимы, покажите, что с большей вероятностью лечение окажется неэффективным в течение 7 лет, чем эффективным.

У Джейн трое детей, каждый из которых с равной вероятностью является мальчиком или девочкой, независимо от остальных. Определим события:

Вы подбрасываете три правильные монеты. По крайней мере две из них выпадают одинаково, и с равными шансами третья монета выпадает орлом или решкой. Следовательно, $\mathbb {P}\left(\text{ все одинаковы }\right) = \frac{1}{2}$. Согласны ли вы с этим?

Бросают две правильные кости. Покажите, что событие, состоящее в том, что их сумма равна 7, независимо от числа очков, выпавшего на первой кости.

Пусть $X$ и $Y$ — числа очков на двух правильных костях, принимающие значения из множества $\left\{ 1,2, \ldots , 6\right\}$. Пусть $A_{1} = \left\{ X+Y = 9\right\} , A_{2} = \left\{ X \in \left\{ 1,2,3\right\} \right\}$ и $A_{3} = \left\{ X \in \left\{ 3,4,5\right\} \right\}$. Покажите, что

Являются ли эти три события независимыми?