События и их вероятности

Пусть $\left\{ A_{i}: i \in I\right\}$ — семейство множеств. Докажите «законы де Моргана»:

Пусть $A$ и $B$ принадлежат некоторой $\sigma$-алгебре $\mathcal{F}$. Покажите, что $\mathcal{F}$ содержит множества $A \cap B, A \backslash B$ и $A \triangle B$.

Обычный турнир на выбывание (такой, как в Уимблдоне) начинается с $2^{n}$ участников и состоит из $n$ раундов. За места $2,3, \ldots , 2^{n}-1$ переигровок не проводится, а начальная сетка розыгрыша задана заранее. Дайте краткое описание пространства элементарных исходов для всех возможных результатов.

Пусть $\mathcal{F}$ — $\sigma$-алгебра подмножеств $\Omega$, и пусть $B \in \mathcal{F}$. Покажите, что $\mathcal{G} = \left\{ A \cap B: A \in \mathcal{F}\right\}$ является $\sigma$-алгеброй подмножеств $B$.

Какие из следующих утверждений тождественно истинны? Для тех, которые не являются таковыми, укажите, при каких условиях они истинны.

Пусть $A$ и $B$ — события с вероятностями $\mathbb {P}\left(A\right) = \frac{3}{4}$ и $\mathbb {P}\left(B\right) = \frac{1}{3}$. Покажите, что $\frac{1}{12} \leq \mathbb {P}\left(A \cap B\right) \leq \frac{1}{3}$, и приведите примеры, показывающие, что оба крайних значения возможны. Найдите соответствующие границы для $\mathbb {P}\left(A \cup B\right)$.

Правильная монета подбрасывается многократно. Покажите, что с вероятностью единица рано или поздно выпадет орёл. Аналогично покажите, что любая заданная конечная последовательность орлов и решек рано или поздно появится с вероятностью единица. Объясните связь с законом Мёрфи.

Шесть чашек и шесть блюдец образуют пары: две чашки и два блюдца красного цвета, два — белого, и два — со звёздочками. Если чашки расставляются на блюдца случайным образом (по одной на каждое), найдите вероятность того, что ни одна чашка не окажется на блюдце того же узора.

Пусть $A_{1}, A_{2}, \ldots , A_{n}$ — события, где $n \geq 2$, и докажите, что

В каждой пачке кукурузных хлопьев может обнаружиться пластиковый бюст одного из последних пяти вице-канцлеров Кембриджского университета, причём вероятность того, что в данной пачке окажется конкретный вице-канцлер, равна $\frac{1}{5}$, независимо от всех остальных пачек. Покажите, что вероятность получить каждого из последних трёх вице-канцлеров при покупке партии из шести пачек равна $1-3\left(\frac{4}{5}\right)^{6}+3\left(\frac{3}{5}\right)^{6}-\left(\frac{2}{5}\right)^{6}$.

Пусть $A_{r}, r \geq 1$ — события такие, что $\mathbb {P}\left(A_{r}\right) = 1$ для всех $r$. Покажите, что $\mathbb {P}\left(\bigcap_{r = 1}^{\infty } A_{r}\right) = 1$.

Известно, что хотя бы одно из событий $A_{r}, 1 \leq r \leq n$, обязательно происходит, но при этом происходит заведомо не более двух. Если $\mathbb {P}\left(A_{r}\right) = p$ и $\mathbb {P}\left(A_{r} \cap A_{s}\right) = q, r \neq s$, покажите, что $p \geq 1 / n$ и $q \leq 2 / n$.

Известно, что происходит хотя бы одно, но не более трёх из событий $A_{r}, 1 \leq r \leq n$, где $n \geq 3$. Вероятность того, что происходит хотя бы два, равна $\frac{1}{2}$. Если $\mathbb {P}\left(A_{r}\right) = p, \mathbb {P}\left(A_{r} \cap A_{s}\right) = q, r \neq s$, и $\mathbb {P}\left(A_{r} \cap A_{s} \cap A_{t}\right) = x, r < s < t$, покажите, что $p \geq 3 /(2 n)$, и $q \leq 4 / n$.

Докажите, что $\mathbb {P}\left(A \mid B\right) = \mathbb {P}\left(B \mid A\right) \mathbb {P}\left(A\right) / \mathbb {P}\left(B\right)$, при условии $\mathbb {P}\left(A\right) \mathbb {P}\left(B\right) \neq 0$. Покажите, что если $\mathbb {P}\left(A \mid B\right) > \mathbb {P}\left(A\right)$, то $\mathbb {P}\left(B \mid A\right) > \mathbb {P}\left(B\right)$.

Для событий $A_{1}, A_{2}, \ldots , A_{n}$, удовлетворяющих условию $\mathbb {P}\left(A_{1} \cap A_{2} \cap \cdots \cap A_{n-1}\right) > 0$, докажите, что

У человека есть пять монет, две из которых двуглавые (орёл с обеих сторон), одна двухрешёточная (решка с обеих сторон), а две обычные. Он закрывает глаза, наугад выбирает монету и подбрасывает её. Какова вероятность того, что нижняя сторона монеты — орёл?

Он открывает глаза и видит, что монета показывает орла; какова вероятность того, что нижняя сторона — орёл? Он снова закрывает глаза и снова подбрасывает монету. Какова вероятность того, что нижняя сторона — орёл? Он открывает глаза и видит, что монета показывает орла; какова вероятность того, что нижняя сторона — орёл?

Он откладывает эту монету, наугад выбирает другую и подбрасывает её. Какова вероятность того, что она покажет орла?

Что вы думаете о следующем «доказательстве» Льюиса Кэрролла того, что урна не может содержать два шара одного цвета? Предположим, что урна содержит два шара, каждый из которых либо чёрный, либо белый; таким образом, в очевидных обозначениях $\mathbb {P}\left(\mathrm{BB}\right) = \mathbb {P}\left(\mathrm{BW}\right) = \mathbb {P}\left(\mathrm{WB}\right) = \mathbb {P}\left(\mathrm{WW}\right) = \frac{1}{4}$. Мы добавляем чёрный шар, так что $\mathbb {P}\left(\mathrm{BBB}\right) = \mathbb {P}\left(\mathrm{BBW}\right) = \mathbb {P}\left(\mathrm{BWB}\right) = \mathbb {P}\left(\mathrm{BWW}\right) = \frac{1}{4}$. Затем мы наугад извлекаем шар; вероятность того, что шар чёрный, равна (используя условные вероятности) $1 \cdot \frac{1}{4}+\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4}+\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4}+\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{3}$. Однако если вероятность того, что шар, выбранный наугад из трёх, окажется чёрным, равна $\frac{2}{3}$, то среди них должно быть два чёрных и один белый, а значит, изначально в урне был один чёрный и один белый шар.

Задача Монти Холла: козы и автомобили.

Пусть $G$ — событие, состоящее в том, что обвиняемый виновен, а $T$ — событие, состоящее в том, что некоторое показание истинно. Некоторые юристы приводили доводы, исходя из предположения, что $\mathbb {P}\left(G \mid T\right) = \mathbb {P}\left(T \mid G\right)$. Покажите, что это выполняется тогда и только тогда, когда $\mathbb {P}\left(G\right) = \mathbb {P}\left(T\right)$.

Имеется $n$ урн, причём $r$-я урна содержит $r-1$ красных шаров и $n-r$ пурпурных шаров. Вы наугад выбираете урну и извлекаете из неё наугад два шара без возвращения. Найдите вероятность того, что:

Мальчики и девочки, снова о примере (1.4.3). Рассмотрим семью с двумя детьми в популяции, в которой каждый ребёнок с равной вероятностью может быть мальчиком или девочкой; у каждого ребёнка рыжие волосы с вероятностью $r$; эти признаки независимы друг от друга и проявляются независимо у разных детей.

Какова вероятность того, что оба ребёнка — мальчики, при условии что в семье есть хотя бы один рыжий мальчик? Покажите, что вероятность того, что оба ребёнка — мальчики, при условии что один из них — мальчик, родившийся в понедельник, равна $13 / 27$.

Пусть $A$ и $B$ — независимые события; покажите, что $A^{\complement }, B$ независимы, и выведите отсюда, что $A^{\complement }, B^{\complement }$ независимы.

Мы бросаем кость $n$ раз. Пусть $A_{i j}$ — событие, состоящее в том, что при $i$-м и $j$-м бросках выпадает одно и то же число. Покажите, что события $\left\{ A_{i j}: 1 \leq i < j \leq n\right\}$ попарно независимы, но не являются независимыми в совокупности.

Правильная монета подбрасывается многократно. Покажите, что следующие два утверждения эквивалентны:

(a) исходы разных подбрасываний независимы,

(b) для любой заданной конечной последовательности орлов и решек вероятность того, что эта последовательность встретится в первых $m$ подбрасываниях, равна $2^{-m}$, где $m$ — длина последовательности.

Пусть $\Omega = \left\{ 1,2, \ldots , p\right\}$, где $p$ — простое число, $\mathcal{F}$ — множество всех подмножеств $\Omega$, и $\mathbb {P}\left(A\right) = |A| / p$ для всех $A \in \mathcal{F}$. Покажите, что если $A$ и $B$ — независимые события, то хотя бы одно из $A$ и $B$ есть либо $\varnothing$, либо $\Omega$.

Покажите, что условная независимость $A$ и $B$ при условии $C$ не влечёт независимости $A$ и $B$ и не следует из неё. Для каких событий $C$ верно, что для всех $A$ и $B$ события $A$ и $B$ независимы тогда и только тогда, когда они условно независимы при условии $C$?

Безопасно или досадно? Утверждается, что некоторое средство профилактики эффективно предотвращает заболевание на 90 процентов в течение одного года лечения. Если степени эффективности в разные годы независимы, покажите, что с большей вероятностью лечение окажется неэффективным в течение 7 лет, чем эффективным.

У Джейн трое детей, каждый из которых с равной вероятностью является мальчиком или девочкой, независимо от остальных. Определим события:

Вы подбрасываете три правильные монеты. По крайней мере две из них выпадают одинаково, и с равными шансами третья монета выпадает орлом или решкой. Следовательно, $\mathbb {P}\left(\text{ все одинаковы }\right) = \frac{1}{2}$. Согласны ли вы с этим?

Бросают две правильные кости. Покажите, что событие, состоящее в том, что их сумма равна 7, независимо от числа очков, выпавшего на первой кости.

Пусть $X$ и $Y$ — числа очков на двух правильных костях, принимающие значения из множества $\left\{ 1,2, \ldots , 6\right\}$. Пусть $A_{1} = \left\{ X+Y = 9\right\} , A_{2} = \left\{ X \in \left\{ 1,2,3\right\} \right\}$ и $A_{3} = \left\{ X \in \left\{ 3,4,5\right\} \right\}$. Покажите, что

Являются ли эти три события независимыми?

Из A в B ведут две дороги, и из B в C ведут две дороги. Каждая из четырёх дорог заблокирована снегом с вероятностью $p$, независимо от остальных. Найдите вероятность того, что существует открытая дорога из A в B, при условии что не существует открытого маршрута из A в C.

Если, кроме того, существует прямая дорога из A в C, также блокируемая с вероятностью $p$ независимо от остальных, найдите требуемую условную вероятность.

Вычислите вероятность того, что рука из 13 карт, сданная из обычной перетасованной колоды в 52 карты, содержит ровно двух королей и одного туза. Какова вероятность того, что она содержит ровно одного туза, при условии что она содержит ровно двух королей?

Симметричное случайное блуждание происходит по целым числам $0,1,2, \ldots , N$ с поглощающими границами в 0 и $N$, начиная с точки $k$. Покажите, что вероятность того, что блуждание никогда не будет поглощено, равна нулю.

Так называемый «принцип верного дела» утверждает, что если вы предпочитаете $x$ вместо $y$ при условии $C$, а также предпочитаете $x$ вместо $y$ при условии $C^{\mathrm{c}}$, то вы, безусловно, предпочитаете $x$ вместо $y$. Согласны ли вы с этим?

Колода содержит $m$ карт с номерами $1,2, \ldots , m$. Карты раздаются по одной в случайном порядке. При условии, что номер $k$-й сданной карты является наибольшим среди первых $k$ сданных карт, какова вероятность того, что он является также наибольшим во всей колоде?

Компания из $2 b$ друзей собирается на вечер игры в бридж. Среди них $m$ мужчин и $2 b-m$ женщин, где $2 \leq m \leq b$. Компания разбивается на $b$ команд по два человека, формируемых равномерно случайным образом. Какова вероятность того, что ни одна пара не состоит из двух мужчин?

Обычную правильную кость бросают дважды. Какова вероятность того, что:

Правильную монету подбрасывают многократно. Какова вероятность того, что при $n$-м подбрасывании:

Пусть $\mathcal{F}$ и $\mathcal{G}$ — $\sigma$-алгебры подмножеств $\Omega$.

Опишите соответствующие вероятностные пространства для следующих экспериментов:

Покажите, что вероятность того, что происходит ровно одно из событий $A$ и $B$, равна

Докажите, что $\mathbb {P}\left(A \cup B \cup C\right) = 1-\mathbb {P}\left(A^{\complement } \mid B^{\complement } \cap C^{\complement }\right) \mathbb {P}\left(B^{\complement } \mid C^{\complement }\right) \mathbb {P}\left(C^{\complement }\right)$.

Пусть $\mathcal{F}$ — $\sigma$-алгебра подмножеств $\Omega$, и пусть $\mathbb {P}: \mathcal{F} \rightarrow [0,1]$ удовлетворяет условиям: (i) $\mathbb {P}\left(\Omega \right) = 1$, и (ii) $\mathbb {P}$ аддитивна, то есть $\mathbb {P}\left(A \cup B\right) = \mathbb {P}\left(A\right)+\mathbb {P}\left(B\right)$, когда $A \cap B = \varnothing$. Покажите, что $\mathbb {P}\left(\varnothing \right) = 0$.

Предположим, что $(\Omega , \mathcal{F}, \mathbb {P})$ — вероятностное пространство и $B \in \mathcal{F}$ удовлетворяет условию $\mathbb {P}\left(B\right) > 0$. Пусть $\mathbb {Q}: \mathcal{F} \rightarrow [0,1]$ определена как $\mathbb {Q}(A) = \mathbb {P}\left(A \mid B\right)$. Покажите, что $(\Omega , \mathcal{F}, \mathbb {Q})$ — вероятностное пространство. Если $C \in \mathcal{F}$ и $\mathbb {Q}(C) > 0$, покажите, что $\mathbb {Q}(A \mid C) = \mathbb {P}\left(A \mid B \cap C\right)$; обсудите этот результат.

Пусть $B_{1}, B_{2}, \ldots$ — разбиение пространства элементарных исходов $\Omega$, причём каждое $B_{i}$ имеет положительную вероятность, и покажите, что

Докажите неравенства Буля:

Докажите, что

Пусть $A_{1}, A_{2}, \ldots , A_{n}$ — события, и пусть $N_{k}$ — событие, состоящее в том, что происходит ровно $k$ из событий $A_{i}$. Докажите результат, иногда называемый теоремой Варинга:

Используйте этот результат, чтобы найти выражение для вероятности того, что покупка шести пачек кукурузных хлопьев даст ровно три различных бюста (см. упражнение (1.3.4)).

Докажите формулу Байеса: если $A_{1}, A_{2}, \ldots , A_{n}$ — разбиение $\Omega$, причём каждое $A_{i}$ имеет положительную вероятность, то

Бросается случайное число $N$ костей. Пусть $A_{i}$ — событие, состоящее в том, что $N = i$, и предположим, что $\mathbb {P}\left(A_{i}\right) = 2^{-i}, i \geq 1$. Сумма очков равна $S$. Найдите вероятность того, что:

Пусть $A_{1}, A_{2}, \ldots$ — последовательность событий. Определим

Очевидно, $C_{n} \subseteq A_{n} \subseteq B_{n}$. Последовательности $\left\{ B_{n}\right\}$ и $\left\{ C_{n}\right\}$ являются, соответственно, убывающей и возрастающей с пределами

События $B$ и $C$ обозначаются соответственно $\lim \sup_{n \rightarrow \infty } A_{n}$ и $\liminf_{n \rightarrow \infty } A_{n}$. Покажите, что

В задаче (1.8.16) выше покажите, что $B$ и $C$ независимы всякий раз, когда $B_{n}$ и $C_{n}$ независимы при всех $n$. Выведите отсюда, что если это выполняется и, кроме того, $A_{n} \rightarrow A$, то $\mathbb {P}\left(A\right)$ равно либо нулю, либо единице.

Покажите, что предположение о счётной аддитивности $\mathbb {P}$ эквивалентно предположению о непрерывности $\mathbb {P}$. Иными словами, покажите, что если функция $\mathbb {P}: \mathcal{F} \rightarrow [0,1]$ удовлетворяет условиям $\mathbb {P}\left(\varnothing \right) = 0, \mathbb {P}\left(\Omega \right) = 1$ и $\mathbb {P}\left(A \cup B\right) = \mathbb {P}\left(A\right)+\mathbb {P}\left(B\right)$, когда $A, B \in \mathcal{F}$ и $A \cap B = \varnothing$, то $\mathbb {P}$ счётно аддитивна (в смысле определения (1.3.1b)) тогда и только тогда, когда $\mathbb {P}$ непрерывна (в смысле леммы (1.3.5)).

Анна, Бетти, Хлоя и Дейзи дружили в школе. Впоследствии каждая из $\binom {4}{2} = 6$ пар встречается друг с другом; на каждой из шести встреч соответствующая пара ссорится с некоторой фиксированной вероятностью $p$ либо становится близкими подругами с вероятностью $1-p$. Ссоры происходят независимо друг от друга. В дальнейшем, если кто-то из четырёх услышит слух, она расскажет его только своим близким подругам. Если Анна услышит слух, какова вероятность того, что:

Несимметричная монета подбрасывается многократно. При каждом подбрасывании вероятность выпадения орла равна $p$. Пусть $p_{n}$ — вероятность того, что после $n$ подбрасываний число выпавших орлов чётно (ноль считается чётным числом). Покажите, что $p_{0} = 1$ и что $p_{n} = p\left(1-p_{n-1}\right)+(1-p) p_{n-1}$ при $n \geq 1$. Решите это разностное уравнение.

Несимметричная монета подбрасывается многократно. Найдите вероятность того, что подряд выпадет серия из $r$ орлов раньше, чем серия из $s$ решек, где $r$ и $s$ — натуральные числа.

Задача о «менажах» ставит следующий вопрос. Некоторые считают желательным, чтобы мужчины и женщины чередовались, сидя за круглым столом. Если $n$ гетеросексуальных пар рассаживаются случайным образом по этому правилу, покажите, что вероятность того, что никто не сидит рядом со своим партнёром, равна

Вам может оказаться полезным сначала показать, что число способов выбрать $k$ непересекающихся пар соседних мест равно $\binom {2 n-k}{k} 2 n(2 n-k)^{-1}$.

Урна содержит $b$ синих шаров и $r$ красных шаров. Они извлекаются наугад без возвращения. Покажите, что вероятность того, что первый извлечённый красный шар окажется $(k+1)$-м извлечённым шаром, равна $\binom {r+b-k-1}{r-1} /\binom {r+b}{b}$. Найдите вероятность того, что последний извлечённый шар — красный.

Урна содержит $a$ лазурных шаров и $c$ карминовых шаров, где $a c \neq 0$. Шары извлекаются наугад и откладываются в сторону до первого момента, когда извлечённый шар (назовём его $B$) окажется другого цвета, чем предыдущий. Шар $B$ теперь возвращается в урну, и процедура начинается заново. Этот процесс продолжается до тех пор, пока из урны не будет извлечён последний шар. Покажите, что этот последний шар с равной вероятностью окажется лазурным или карминовым.

Колода из четырёх карт содержит одну пику, одну трефу и два красных туза. Вы наугад сдаёте две карты рубашкой вверх перед правдивой подругой. Она рассматривает их и сообщает вам, что одна из них — туз червей. Какова вероятность того, что другая карта — туз бубен? Быть может, $\frac{1}{3}$?

Предположим, что протокол вашей подруги был таким:

(i) если нет ни одного красного туза, сказать «нет красного туза»,

(ii) если есть туз червей, сказать «туз червей»,

(iii) если есть туз бубен, но нет туза червей, сказать «туз бубен».

Четыре свидетеля, A, B, C и D, на суде каждый говорит правду с вероятностью $\frac{1}{3}$ независимо друг от друга. В своих показаниях A утверждал, что B отрицал, что C заявил, что D солгал. Какова (условная) вероятность того, что D сказал правду?

10 процентов поверхности сферы окрашено в синий цвет, остальная часть — в красный. Покажите, что независимо от того, как распределены цвета, в сферу $S$ можно вписать куб, все вершины которого красные.

Говорят, что событие $A$ отталкивается событием $B$, если $\mathbb {P}\left(A \mid B\right) < \mathbb {P}\left(A\right)$, и притягивается событием $B$, если $\mathbb {P}\left(A \mid B\right) > \mathbb {P}\left(A\right)$. Покажите, что если $B$ притягивает $A$, то $A$ притягивает $B$, а $B^{\complement }$ отталкивает $A$. Если $A$ притягивает $B$, а $B$ притягивает $C$, притягивает ли $A$ событие $C$?

На лекции присутствуют $m$ студентов, родившихся в независимо выбранные дни 2007 года.

Вы выбираете $r$ чисел из первых $n$ натуральных чисел, а лотерея выбирает случайное подмножество $L$ того же размера. Какова вероятность того, что:

Во время игры в бридж вам наугад сдают руку из тринадцати карт. Используя очевидные обозначения, покажите, что $\mathbb {P}\left(4 \mathrm{~ S}, 3 \mathrm{H}, 3 \mathrm{D}, 3 \mathrm{C}\right) \simeq 0.026$ и $\mathbb {P}\left(4 \mathrm{~ S}, 4 \mathrm{H}, 3 \mathrm{D}, 2 \mathrm{C}\right) \simeq 0.018$. Однако если мастей не указывать, так что числа обозначают лишь форму вашей руки, покажите, что $\mathbb {P}\left(4,3,3,3\right) \simeq 0.11$ и $\mathbb {P}\left(4,4,3,2\right) \simeq 0.22$.

Во время игры в покер вам наугад сдают руку из пяти карт. С учётом того, что туз может считаться и старшей, и младшей картой, покажите, что:

Имеется пять костей, на каждой из которых нанесены $9,10, \mathrm{~ J}, \mathrm{Q}, \mathrm{K}, \mathrm{A}$. Покажите, что при броске:

Вы заблудились в национальном парке Бандрика. Туристы составляют две трети посетителей парка и дают правильный ответ на просьбу указать дорогу с вероятностью $\frac{3}{4}$. (Ответы на повторные вопросы независимы, даже если вопрос и человек одни и те же.) Если вы спросите дорогу у бандриканца, ответ всегда будет ложным.

Том находится в том же положении, в котором были вы в предыдущей задаче, но у него есть основания полагать, что с вероятностью $\epsilon$ верным ответом является «восток». Покажите, что:

Покажите, что

Покажите, что

$n$ пассажирам рейса компании Bell-Air на самолёте с $n$ местами сообщили номера их мест. Они заходят в самолёт по одному. Первый пассажир садится не на своё место. Последующие пассажиры садятся на назначенные им места, если они свободны, либо, в противном случае, на случайно выбранное свободное место. Какова вероятность того, что последний пассажир обнаружит своё место свободным?

Каков будет ответ, если первый пассажир садится на место, выбранное равномерно случайным образом из $n$ доступных?

$n$ космических кораблей приземляются независимо и равномерно случайным образом на поверхность планеты Монго. Каждый корабль контролирует полушарие, центром которого он является. Покажите, что вероятность того, что каждая точка Монго контролируется хотя бы одним кораблём, равна $1-2^{-n}\left(n^{2}-n+2\right)$.

Пусть $X$ имеет равномерное распределение на $\left\{ 1,2, \ldots , n-1\right\}$, где $n \geq 2$. При заданном $X$ команда размера $X$ выбирается наугад из пула $n$ игроков (включая вас), причём каждое такое подмножество размера $X$ равновероятно. Назовём выбранную команду A, а оставшихся — командой B.

Алиса и Боб по очереди подбрасывают правильную монету. A выигрывает, если у неё выпадает орёл, при условии что её предыдущее подбрасывание дало решку; B выигрывает, если у него выпадает решка, при условии что его предыдущее подбрасывание дало орла. Пусть $n \geq 3$. Покажите, что вероятность того, что игра закончится на $n$-м подбрасывании, равна $(n+1)(n-1) / 2^{n+2}$, если $n$ нечётно, и $(n+2)(n-2) / 2^{n+2}$, если чётно.

Какова вероятность того, что A выиграет игру?

Монета выпадает орлом с вероятностью $p \in (0,1)$. Пусть $k \geq 1$, и пусть $\rho_{m}$ — вероятность того, что среди $m( \geq 1)$ подбрасываний монеты длина самой длинной серии подряд идущих орлов строго меньше $k$. Покажите, что

и найдите $\rho_{m}$ при $k = 2$.