Топология

Пусть $A$ и $B$ — связные подпространства топологического пространства $X$, такие что $A \cap \overline{B} \neq \emptyset$. Докажите, что $A \cup B$ связно. Если $A$ и $B$ линейно связны, обязано ли $A \cup B$ быть линейно связным?

Пусть $A$ и $B$ — компактные подпространства пространств $X$ и $Y$ соответственно, и пусть $N$ — открытая окрестность множества

Докажите, что существуют открытые множества $U \subset X$ и $V \subset Y$, такие что

Пусть $X$ — локально компактное хаусдорфово пространство. Пусть $A$ и $B$ — непересекающиеся подмножества $X$, причём $A$ компактно, а $B$ замкнуто. Существует ли непрерывная функция $f : X \to [0,1]$, такая что $f|_{A} = 0$ и $f|_{B} = 1$?

Для этой задачи требуются только правильные ответы на поставленные вопросы, без доказательств.

Если $X$ и $Y$ — топологические пространства, то соединением $X$ и $Y$ называется факторпространство

где

Пусть $f : X \to Y$ — непрерывная функция из пространства $X$ в хаусдорфово пространство $Y$. Пусть $C$ — замкнутое подпространство $Y$, а $U$ — открытая окрестность $f^{-1}(C)$ в $X$.

Пусть $X$ — нормальное топологическое пространство и $A \subset X$ — замкнутое подпространство.

Пусть $p : E \to B$ — накрытие, где $E$ локально линейно связно и односвязно. Пусть $X$ — связное пространство, $f : X \to B$ — непрерывное отображение, а $f_{1}, f_{2} : X \to E$ — два поднятия $f$. Докажите, что существует накрывающее преобразование $g : E \to E$, такое что $f_{2} = g f_{1}$.

Пусть $p : \tilde{X} \to X$ — $n$-листное накрытие, $n < \infty$. Предположим, что $X$ компактно. Докажите, что $\tilde{X}$ компактно.

Пусть $\mathcal{T}$ и $\mathcal{U}$ — две различные топологии на $X$, такие что $X$ компактно и хаусдорфово относительно обеих. Докажите, что $\mathcal{T} \not\subset \mathcal{U}$.

(Напомним, что $\mathcal{T} \subset \mathcal{U}$ означает, что каждое множество из топологии $\mathcal{T}$ содержится в $\mathcal{U}$.)

Пусть $X$ — топологическое пространство и $A \subset X$. Покажите, что если $C$ — связное подмножество $X$, пересекающееся как с $A$, так и с $X - A$, то $C$ пересекается с $\mathrm{Bd}A$. (Напомним, что $\mathrm{Bd}A = \overline{A} \cap \overline{(X-A)}$.)

Пусть $(X,d)$ — метрическое пространство. Для любого подпространства $A \subset X$ и вещественного числа $\varepsilon > 0$ положим

Предположим, что $X$ — плотное подпространство топологического пространства $Y$. Докажите или опровергните следующие утверждения:

Пусть $X$ и $Y$ — топологические пространства, $X = U \cup V$, а $f : X \to Y$ — функция, такая что $f|_{U}$ и $f|_{V}$ непрерывны.

Пусть $q : X \to Y$ — проекция-факторотображение из топологического пространства $X$ на связное топологическое пространство $Y$. Предположим, что $q^{-1}(y)$ связно для каждого $y \in Y$.

Пусть $X$ и $Y$ — топологические пространства, причём $Y$ компактно. Пусть $p : X \times Y \to X$ — обычная проекция на первый множитель. Покажите, что $p$ — замкнутое отображение.

Пусть $Y$ — связное подмножество топологического пространства, а $Z$ — множество, такое что $Y$ является подмножеством $Z$, а $Z$ является подмножеством замыкания $Y$. Докажите, что $Z$ связно.

Пусть $A$ — связное подпространство связного множества $X$. Если $C$ — компонента $X \setminus A$, покажите, что $X \setminus C$ связно.

Метрическое пространство $X$ обладает свойством $S$, если для любого $\varepsilon > 0$ существует покрытие $X$ связными множествами, каждое из которых имеет диаметр $< \varepsilon$.

Пусть $X$ — кривая топологов "синус", определённая формулой

Пусть $T = S^{1} \times S^{1}$ обозначает тор.

Пусть $\mathcal{U} = \left\{ U_{\alpha }\right\}_{\alpha \in J}$ — открытое покрытие пространства $X$.

Пусть $S$ — множество, а $F$ — семейство вещественнозначных функций на $S$, такое что из $f(s_{1}) = f(s_{2})$ для всех $f \in F$ следует $s_{1} = s_{2}$. Докажите, что существует слабейшая топология на $S$ среди всех тех, относительно которых все элементы $F$ непрерывны. Покажите далее, что полученное топологическое пространство удовлетворяет аксиоме отделимости Хаусдорфа.

Пусть $K$ — компактное подмножество $\mathbb {R}^{n}$, а $\left\{ B_{j}\right\}$ — последовательность открытых шаров, покрывающих $K$. Докажите, что существует положительное число $\varepsilon$, такое что любой $\varepsilon$-шар с центром в точке $K$ содержится в одном из шаров $B_{j}$.

Пусть $(X_{1}, d_{1})$ и $(X_{2}, d_{2})$ — метрические пространства, а $f : X_{1} \to X_{2}$ — непрерывное сюръективное отображение, такое что $d_{1}(p,q) \leq d_{2}(f(p), f(q))$ для любой пары точек $p, q$ из $X_{1}$.

1. Если $X_{1}$ полно, обязано ли $X_{2}$ быть полным? Приведите доказательство или контрпример.

2. Если $X_{2}$ полно, обязано ли $X_{1}$ быть полным? Приведите доказательство или контрпример.

Пусть $(M,d)$ — непустое полное метрическое пространство. Пусть $S$ отображает $M$ в $M$, и запишем $S^{2}$ для $S \circ S$, т.е. $S^{2}(x) = S(S(x))$. Предположим, что $S^{2}$ — строгое сжатие, т.е. существует константа $\lambda < 1$, такая что для всех точек $x, y \in M$ выполнено $d(S^{2}(x), S^{2}(y)) \leq \lambda d(x,y)$. Покажите, что $S$ имеет единственную неподвижную точку в $M$.

Пусть $K$ — непрерывная функция на единичном квадрате $0 \leq x, y \leq 1$, удовлетворяющая $\left|K(x,y)\right| \leq 1$ для всех $x$ и $y$. Покажите, что существует непрерывная функция $f(x)$ на $[0,1]$, такая что

Может ли существовать более одной такой функции $f$?

Пусть $A$ — связное замкнутое подпространство компактного хаусдорфова пространства $X$, и пусть $f : A \to A$ — непрерывное отображение. Для каждого положительного целого $n$ положим $f^{n}(A) = \underbrace{f \circ f \circ \cdots \circ f}_{n \text{ раз}}(A)$.

Пусть $\mathbb {R}^{P^{n}}$ — вещественное проективное $n$-пространство, а $T^{m}$ — $m$-мерный тор $S^{1} \times \cdots \times S^{1}$ ($m$ множителей). Докажите, что любое непрерывное отображение $\mathbb {R}^{P^{n}} \to T^{m}$ нуль-гомотопно.

Пусть $X$ — факторпространство, полученное стягиванием $\left\{ \mathrm{pt.}\right\} \times S^{1} \subset S^{1} \times S^{1}$ в точку.

Вычислите $\pi_{1}(X)$ и $H_{*}(X)$.

Непрерывное отображение топологических пространств $p : E \to B$ называется расслоением, если оно обладает свойством накрывающей гомотопии — т.е. для любой пары непрерывных отображений $G : X \times I \to B$ и $h : X \times \left\{ 0\right\} \to E$, таких что $ph = G|_{X \times \left\{ 0\right\} }$, существует непрерывное отображение $H : X \times I \to E$, такое что $H|_{X \times \left\{ 0\right\} } = h$ и $pH = G$. Пусть $p : E \to B$ — расслоение, $b_{0} \in B$ — базовая точка, $F = p^{-1}(b_{0})$ (слой), и $e_{0} \in F$. Пусть $i : F \to E$ обозначает отображение включения.

Является ли каноническое отображение $q : S^{2} \to \mathbb {R}^{P^{2}}$ (отождествляющее антиподальные точки $S^{2}$) нуль-гомотопным? Почему да или почему нет?

Пусть $p : E \to B$ — универсальное накрытие, где $E$ и $B$ линейно связны и локально линейно связны. Пусть $T : B \to B$ — отображение, такое что $T^{n} = \mathrm{Id}$ и $T(b) = b$ для некоторого $b \in B$. (Здесь $T^{n} = T \circ T \circ \cdots \circ T$, $n$ раз.) Покажите, что существует отображение $\tilde{T} : E \to E$, такое что $p \circ \tilde{T} = T \circ p$ и $\tilde{T}^{n} = \mathrm{Id}$.

Пусть $T^{2} = S^{1} \times S^{1}$, и пусть $X \subset T^{2}$ — подмножество $S^{1} \times \left\{ 1\right\} \cup \left\{ 1\right\} \times S^{1}$. Докажите, что не существует ретракции $T^{2}$ на $X$.

Пусть $A \subset \mathbb {R}^{3}$ — объединение осей $x$ и $y$,

и пусть $p = (0,0,1)$.

Пусть $p : (\tilde{Y}, \tilde{y}) \to (Y,y)$ — регулярное накрытие, т.е. $p_{*}(\pi_{1}(\tilde{Y}, \tilde{y}))$ — нормальная подгруппа $\pi_{1}(Y,y)$. Предположим, что $f : X \to Y$ — непрерывная функция из линейно связного пространства $X$ в $Y$ с $f(x_{0}) = f(x_{1}) = y$, и что существует поднятие $f$, $\tilde{f}_{0} : (X,x_{0}) \to (\tilde{Y}, \tilde{y})$. Покажите, что существует второе поднятие, $\tilde{f}_{1} : (X,x_{1}) \to (\tilde{Y}, \tilde{y})$. ($\tilde{f}_{1}$ не обязано отличаться от $\tilde{f}_{0}$.)

Пусть $X$ — пространство отождествления, полученное из единичного 2-диска отождествлением точек его границы, если дуговое расстояние между ними на граничной окружности равно $\tfrac {2\pi }{3}$. Вычислите фундаментальную группу $X$.

Наметьте доказательство основной теоремы алгебры (всякий многочлен положительной степени с комплексными коэффициентами имеет комплексный корень) с использованием методов алгебраической топологии.

Пусть $X$ обозначает подпространство $\mathbb {R}^{3}$, являющееся объединением единичной сферы $S^{2}$, единичного диска $D^{2}$ в плоскости $x-y$, и части оси $z$, лежащей внутри $S^{2}$ — обозначим её $A$.

Пусть $X$ — линейно связное пространство, $f : X \to Y$ — непрерывная функция, а $x_{0}, x_{1} \in X$. Предположим, что индуцированный гомоморфизм

сюръективен. Покажите, что

также сюръективен.

Пусть $B$ обозначает пространство-восьмёрку. Пусть $p : X \to B$ и $q : Y \to B$ — двулистные накрытия, где и $X$, и $Y$ связны. Докажите, что $X$ и $Y$ гомотопически эквивалентны, но не обязательно гомеоморфны.

Вычислите фундаментальную группу пространства $\mathbb {R}^{P^{2}} \times S^{2}$.

Пусть $Z$ обозначает пространство-восьмёрку, $Z = X \vee Y$, где $X$ и $Y$ — окружности. Пусть $x, y \in \pi_{1}(Z, *)$ — элементы $Z$, определённые $X, Y$, где $*$ обозначает вершину.

Пусть $X$ — результат приклеивания 2-клетки $D^{2}$ к окружности $S^{1}$ отображением $f : S^{1} \to S^{1}$, заданным в терминах комплексных чисел формулой $z \to z^{6}$.

Если $X$ — произвольное топологическое пространство, а $S^{1}$ обозначает единичную окружность на комплексной плоскости с её обычной топологией как топологической группы с умножением, задаваемым умножением комплексных чисел, то известно, что множество $[X, S^{1}]$ классов гомотопности отображений из $X$ в $S^{1}$ наследует естественную групповую структуру.

Если $X$ — линейно связное пространство, универсальное накрытие которого компактно, покажите, что $\pi_{1}(X, x_{0})$ конечна.

Докажите, что если $X$ локально линейно связно и односвязно, то любое отображение $X \to S^{1}$ гомотопно постоянному. Что можно сказать, если предположить лишь, что $X$ линейно связно, локально линейно связно и фундаментальная группа $X$ конечна?

Предположим, что 6-элементная группа $\Gamma$, изоморфная группе перестановок трёх элементов $S_{3}$, действует на $X = S^{3}$ свободно. Вычислите $\pi_{1}(Y)$ и $H_{1}(Y, \mathbb {Z})$, где $Y = X/\Gamma$.

Пусть $T^{2}$ — двумерный тор, а $\varphi : S^{2} \to T^{2}$ — гладкое отображение. Покажите, что для любого класса когомологий де Рама верхней степени $[v] \in H^{2}(T^{2})$ имеем $\varphi^{*}[v] = 0$.

Замкнутой поверхностью называется компактное связное метризуемое 2-многообразие без края.

Докажите лемму $3 \times 3$.

Рассмотрим следующую коммутативную диаграмму абелевых групп

Если все 3 столбца и первые две строки точны, то последняя строка также точна.

Докажите, что если $M$ — компактное многообразие нечётной размерности, то $\chi (M) = 0$. Приведите примеры компактных 4-многообразий с $\chi = 0, 1, 2, 3, 4$.

Пусть $X$ — топологическое пространство. Надстройкой $\Sigma X$ пространства $X$ называется пространство отождествления, полученное из $X \times [-1,1]$ стягиванием $X \times \left\{ -1\right\}$ в точку и $X \times \left\{ 1\right\}$ в другую точку. Например, сфера $S^{n}$ является надстройкой над $S^{n-1}$, где северный и южный полюсы соответствуют двум точкам отождествления.

Вычислите гомологии $\Sigma X$ через гомологии $X$.

Рассмотрим цепной комплекс

Вычислите $H_{n}(C)$ для всех $n$.

Постройте CW-комплекс со следующими $\mathbb {Z}$-группами гомологий:

Вычислите $H_{p}(S^{n} \vee S^{n} \vee \cdots \vee S^{n})$, $n \geq 0$, для всех $p$.

Постройте CW-комплекс $X$, приклеив две 2-клетки к $S^{1}$: одну отображением $z \to z^{4}$, другую отображением $z \to z^{6}$. Каковы гомологии этого пространства?

Пусть

Пусть вещественная проективная плоскость $\mathbb {R}^{P^{2}}$ вложена стандартным образом в вещественное проективное 5-пространство $\mathbb {R}^{P^{5}}$. Вычислите $H_{q}(\mathbb {R}^{P^{5}}/\mathbb {R}^{P^{2}})$, где $\mathbb {R}^{P^{5}}/\mathbb {R}^{P^{2}}$ — пространство, полученное из $\mathbb {R}^{P^{5}}$ стягиванием $\mathbb {R}^{P^{2}}$ в точку.

Пусть

Докажите, что $Y \times \mathbb {R}$ не гомеоморфно $\mathbb {R}^{2}$.

Пусть $A$ — непустое подмножество $X$, а $X \cup CA$ — объединение $X$ с конусом над $A$; т.е. $X \cup CA$ получается из подмножества $X \times \left\{ 0\right\} \cup A \times [0,1]$ пространства $X \times [0,1]$ стягиванием $A \times \left\{ 1\right\}$ в точку.

Докажите, что приведённая группа гомологий $\tilde{H}_{n}(X \cup CA)$ изоморфна $H_{n}(X, A)$ для каждого $n$.

Для произвольного топологического пространства $X$ обозначим через $\Sigma X$ его (неприведённую) надстройку. ($\Sigma X$ — факторпространство $(X \times [0,1])/{\sim }$, где $\sim$ обозначает отношение эквивалентности, порождённое условием $(x,t) \sim (y,s)$, если $s = t = 0$ или $s = t = 1$.) Если $f : X \to Y$ — отображение, пусть $\Sigma f : \Sigma X \to \Sigma Y$ — отображение надстроек, индуцированное отображением $(x,t) \to (f(x), t)$ пространства $X \times [0,1]$.

Рассмотрим следующую коммутативную диаграмму абелевых групп, в которой строка и столбец являются точными последовательностями.

Предположим, что $\gamma$ и $\beta_{0}$ сюръективны. Докажите, что $\alpha_{3}$ инъективен.

Предположим, что топологическое пространство $X$ представлено в виде объединения $U \cup V$ двух открытых линейно связных подпространств, таких что $U \cap V$ линейно связно, $H_{1}(U) = 0$, и включение $U \cap V \to V$ индуцирует сюръективный гомоморфизм $H_{1}(U \cap V) \to H_{1}(V)$. (Здесь $H$ обозначает сингулярные гомологии.)

Пусть

обозначает стандартный единичный шар в евклидовом пространстве $\mathbb {R}^{n}$, а

обозначает стандартную $(n-1)$-сферу. Предположим, что $f : D^{n} \to D^{n}$ — непрерывное отображение, такое что ограничение $f$ на $S^{n-1}$ является гомеоморфизмом из $S^{n-1}$ на $S^{n-1}$. Докажите, что $f$ сюръективно.

Пусть $X$ — связный CW-комплекс с двумя 0-клетками, тремя 1-клетками, тремя 2-клетками и без клеток более высокой размерности. Предположим, что $H_{1}(X) \approx \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}/3$. Вычислите эйлерову характеристику $X$ и определите (с доказательством) все возможности для $H_{2}(X)$.

Пусть $X$ — CW-комплекс ровно с одной $k{+}1$-клеткой. Докажите, что если $H_{k}(X; \mathbb {Z})$ — нетривиальная конечная группа, то $H_{k+1}(X; \mathbb {Z}) = 0$.

Пусть

и

Пусть $X = A \cup B$. Вычислите относительные группы гомологий $H_{i}(X, X - (0,0,0,0))$ для всех $i$.

Пусть $X$ — линейно связное и локально линейно связное пространство, и пусть $x \in X$. Пусть $Y = S^{1} \times S^{1} \times S^{2}$. Покажите, что если $\pi_{1}(X, x)$ конечна, то любое непрерывное отображение $f : X \to Y$ индуцирует тривиальное отображение $f_{*} : H_{i}(X, \mathbb {Z}) \to H_{i}(Y, \mathbb {Z})$ для всех $i$, отличных от 0 и 2.