Теория гомологий

Докажите лемму $3 \times 3$.

Рассмотрим следующую коммутативную диаграмму абелевых групп

Если все 3 столбца и первые две строки точны, то последняя строка также точна.

Докажите, что если $M$ — компактное многообразие нечётной размерности, то $\chi (M) = 0$. Приведите примеры компактных 4-многообразий с $\chi = 0, 1, 2, 3, 4$.

Пусть $X$ — топологическое пространство. Надстройкой $\Sigma X$ пространства $X$ называется пространство отождествления, полученное из $X \times [-1,1]$ стягиванием $X \times \left\{ -1\right\}$ в точку и $X \times \left\{ 1\right\}$ в другую точку. Например, сфера $S^{n}$ является надстройкой над $S^{n-1}$, где северный и южный полюсы соответствуют двум точкам отождествления.

Вычислите гомологии $\Sigma X$ через гомологии $X$.

Рассмотрим цепной комплекс

Вычислите $H_{n}(C)$ для всех $n$.

Постройте CW-комплекс со следующими $\mathbb {Z}$-группами гомологий:

Вычислите $H_{p}(S^{n} \vee S^{n} \vee \cdots \vee S^{n})$, $n \geq 0$, для всех $p$.

Постройте CW-комплекс $X$, приклеив две 2-клетки к $S^{1}$: одну отображением $z \to z^{4}$, другую отображением $z \to z^{6}$. Каковы гомологии этого пространства?

Пусть

Пусть вещественная проективная плоскость $\mathbb {R}^{P^{2}}$ вложена стандартным образом в вещественное проективное 5-пространство $\mathbb {R}^{P^{5}}$. Вычислите $H_{q}(\mathbb {R}^{P^{5}}/\mathbb {R}^{P^{2}})$, где $\mathbb {R}^{P^{5}}/\mathbb {R}^{P^{2}}$ — пространство, полученное из $\mathbb {R}^{P^{5}}$ стягиванием $\mathbb {R}^{P^{2}}$ в точку.

Пусть

Докажите, что $Y \times \mathbb {R}$ не гомеоморфно $\mathbb {R}^{2}$.

Пусть $A$ — непустое подмножество $X$, а $X \cup CA$ — объединение $X$ с конусом над $A$; т.е. $X \cup CA$ получается из подмножества $X \times \left\{ 0\right\} \cup A \times [0,1]$ пространства $X \times [0,1]$ стягиванием $A \times \left\{ 1\right\}$ в точку.

Докажите, что приведённая группа гомологий $\tilde{H}_{n}(X \cup CA)$ изоморфна $H_{n}(X, A)$ для каждого $n$.

Для произвольного топологического пространства $X$ обозначим через $\Sigma X$ его (неприведённую) надстройку. ($\Sigma X$ — факторпространство $(X \times [0,1])/{\sim }$, где $\sim$ обозначает отношение эквивалентности, порождённое условием $(x,t) \sim (y,s)$, если $s = t = 0$ или $s = t = 1$.) Если $f : X \to Y$ — отображение, пусть $\Sigma f : \Sigma X \to \Sigma Y$ — отображение надстроек, индуцированное отображением $(x,t) \to (f(x), t)$ пространства $X \times [0,1]$.

Рассмотрим следующую коммутативную диаграмму абелевых групп, в которой строка и столбец являются точными последовательностями.

Предположим, что $\gamma$ и $\beta_{0}$ сюръективны. Докажите, что $\alpha_{3}$ инъективен.

Предположим, что топологическое пространство $X$ представлено в виде объединения $U \cup V$ двух открытых линейно связных подпространств, таких что $U \cap V$ линейно связно, $H_{1}(U) = 0$, и включение $U \cap V \to V$ индуцирует сюръективный гомоморфизм $H_{1}(U \cap V) \to H_{1}(V)$. (Здесь $H$ обозначает сингулярные гомологии.)

Пусть

обозначает стандартный единичный шар в евклидовом пространстве $\mathbb {R}^{n}$, а

обозначает стандартную $(n-1)$-сферу. Предположим, что $f : D^{n} \to D^{n}$ — непрерывное отображение, такое что ограничение $f$ на $S^{n-1}$ является гомеоморфизмом из $S^{n-1}$ на $S^{n-1}$. Докажите, что $f$ сюръективно.

Пусть $X$ — связный CW-комплекс с двумя 0-клетками, тремя 1-клетками, тремя 2-клетками и без клеток более высокой размерности. Предположим, что $H_{1}(X) \approx \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}/3$. Вычислите эйлерову характеристику $X$ и определите (с доказательством) все возможности для $H_{2}(X)$.

Пусть $X$ — CW-комплекс ровно с одной $k{+}1$-клеткой. Докажите, что если $H_{k}(X; \mathbb {Z})$ — нетривиальная конечная группа, то $H_{k+1}(X; \mathbb {Z}) = 0$.

Пусть

и

Пусть $X = A \cup B$. Вычислите относительные группы гомологий $H_{i}(X, X - (0,0,0,0))$ для всех $i$.

Пусть $X$ — линейно связное и локально линейно связное пространство, и пусть $x \in X$. Пусть $Y = S^{1} \times S^{1} \times S^{2}$. Покажите, что если $\pi_{1}(X, x)$ конечна, то любое непрерывное отображение $f : X \to Y$ индуцирует тривиальное отображение $f_{*} : H_{i}(X, \mathbb {Z}) \to H_{i}(Y, \mathbb {Z})$ для всех $i$, отличных от 0 и 2.

Назовём коммутативную диаграмму абелевых групп

точной, если последовательность групп и гомоморфизмов

Интересен тот факт, что если

и

точны, то точна и

Докажите точность

Пусть $X$ — непустое компактное хаусдорфово пространство, а $f : X \to X$ — непрерывное отображение. Докажите, что существует непустое замкнутое подмножество $A$ пространства $X$, такое что $f(A) = A$. Приведите пример, показывающий, что компактность существенна для этого утверждения.

Напомним, что

($\mathbb {R}^{P^{n}}$ — $n$-мерное вещественное проективное пространство.) Докажите, что не существует функции $f : S^{3} \to \mathbb {R}^{P^{3}}$, индуцирующей изоморфизм на третьих гомологиях.

Пусть

Пусть $(B^{n}, S^{n-1})$ — стандартная пара шар-сфера в $\mathbb {R}^{n}$, $n > 1$. Предположим, что $f : (B^{n}, S^{n-1}) \to (X,A)$ — непрерывное отображение, и $f|_{S^{n-1}} : S^{n-1} \to A$ — гомеоморфизм. Покажите, что если $H_{n}(X) = 0$, то $H_{n}(X,A) = \mathbb {Z}$.

Пусть $A$ — подпространство $S^{2} \times S^{2}$, гомеоморфное 2-сфере $S^{2}$. Укажите, чему равны группы гомологий $H_{q}(S^{2} \times S^{2})$ (доказательства не требуется). Что можно сказать о возможностях для относительных групп гомологий $H_{q}(S^{2} \times S^{2}, A)$?

Вычислите группы гомологий пространства $X$, полученного как объединение 2-сферы $S^{2}$ и оси $x$ в $\mathbb {R}^{3}$.

Определим неприведённую надстройку$\Sigma X$ пространства $X$ как факторпространство $I \times X$, полученное стягиванием $\left\{ 0\right\} \times X$ в одну точку и $\left\{ 1\right\} \times X$ в другую точку. (Это объединение двух конусовнад $X$.) Покажите, что существует естественный изоморфизм $\sigma_{X} : \tilde{H}_{i}(X) \to \tilde{H}_{i+1}(\Sigma X)$ для всех $i \geq 0$.

Обозначим через $X$ объединение тора $S^{1} \times S^{1}$ с диском $D^{2}$, где $D^{2}$ приклеен к $T^{2}$ отождествлением $\partial D^{2}$ с меридиональной кривой $S^{1} \times \left\{ x_{0}\right\}$ на торе, где $x_{0} \in S^{1}$.

Даны гомоморфизмы $h : A \to B$ и $g : C \to B$; расслоенным произведением (pull back) $h$ вдоль $g$ называется группа

Напомним, что если $C$ — гомеоморфная копия окружности в $S^{3}$, то $H_{i}(S^{3} - C)$ бесконечно циклична при $i$, равном 0 или 1, и равна нулю в остальных случаях. Используя этот факт, вычислите

Известно, что если $X \subset S^{3}$ гомеоморфно $S^{1}$, то $H_{*}(S^{3} - X) \approx H_{*}(S^{1})$. Используя этот факт, вычислите гомологии $S^{3} - Y$, где $Y$ — подпространство $S^{3}$, гомеоморфное несвязному объединению двух копий $S^{1}$.

Вычислите гомологии $S^{1} \times S^{1} - \mathrm{point}$.

Предположим, что следующая диаграмма коммутативна, строки точны, и $\gamma_{n}$ — изоморфизм для всех $n$.

Постройте точную последовательность

Выпишите доказательство точности в $B_{n}'$.

Предположим, что $X$ — пространство, а $f : X \to Y$, $g : X \to Z$ — два отображения $X$ в стягиваемые пространства $Y$ и $Z$. Пусть $M$ — цилиндр отображений $f$ и $g$, т.е. $M$ — пространство отождествления, полученное из несвязного объединения $Y$, $X \times I$ и $Z$ отождествлением каждого $(x,0)$ с $f(x)$, а каждого $(x,1)$ с $g(x)$. Докажите, что $\tilde{H}_{q}M \cong \tilde{H}_{q-1}X$.

Пусть $\left\{ X_{i}, i = 1,2,3,\ldots \right\}$ — бесконечная последовательность топологических пространств, а $f_{i} : X_{i} \to X_{i+1}$ — отображения. Телескопом отображений этой последовательности называется пространство отождествления $T = \left(\prod_{i=1}^{\infty } X_{i} \times [0,1]\right)/{\sim }$, где $(x,1) \sim (y,0)$, если $x \in X_{i}$, $y \in X_{i+1}$ и $y = f_{i}(x)$, описывает отождествление. Рассмотрим случай, когда все $X_{i} = S^{m}$ ($m > 0$), а $f_{i} : X_{i} \to X_{i+1}$ — отображение степени $d$.

Пусть $R$ — коммутативное кольцо с 1. Определим $R$-гомологическую сферу как хаусдорфово топологическое пространство $X$, такое что $H_{i}(X;R) \cong H_{i}(S^{n}; R)$ для некоторой сферы $S^{n}$.