Общая топология

Пусть $A$ и $B$ — связные подпространства топологического пространства $X$, такие что $A \cap \overline{B} \neq \emptyset$. Докажите, что $A \cup B$ связно. Если $A$ и $B$ линейно связны, обязано ли $A \cup B$ быть линейно связным?

Пусть $A$ и $B$ — компактные подпространства пространств $X$ и $Y$ соответственно, и пусть $N$ — открытая окрестность множества

Докажите, что существуют открытые множества $U \subset X$ и $V \subset Y$, такие что

Пусть $X$ — локально компактное хаусдорфово пространство. Пусть $A$ и $B$ — непересекающиеся подмножества $X$, причём $A$ компактно, а $B$ замкнуто. Существует ли непрерывная функция $f : X \to [0,1]$, такая что $f|_{A} = 0$ и $f|_{B} = 1$?

Для этой задачи требуются только правильные ответы на поставленные вопросы, без доказательств.

Если $X$ и $Y$ — топологические пространства, то соединением $X$ и $Y$ называется факторпространство

где

Пусть $f : X \to Y$ — непрерывная функция из пространства $X$ в хаусдорфово пространство $Y$. Пусть $C$ — замкнутое подпространство $Y$, а $U$ — открытая окрестность $f^{-1}(C)$ в $X$.

Пусть $X$ — нормальное топологическое пространство и $A \subset X$ — замкнутое подпространство.

Пусть $p : E \to B$ — накрытие, где $E$ локально линейно связно и односвязно. Пусть $X$ — связное пространство, $f : X \to B$ — непрерывное отображение, а $f_{1}, f_{2} : X \to E$ — два поднятия $f$. Докажите, что существует накрывающее преобразование $g : E \to E$, такое что $f_{2} = g f_{1}$.

Пусть $p : \tilde{X} \to X$ — $n$-листное накрытие, $n < \infty$. Предположим, что $X$ компактно. Докажите, что $\tilde{X}$ компактно.

Пусть $\mathcal{T}$ и $\mathcal{U}$ — две различные топологии на $X$, такие что $X$ компактно и хаусдорфово относительно обеих. Докажите, что $\mathcal{T} \not\subset \mathcal{U}$.

(Напомним, что $\mathcal{T} \subset \mathcal{U}$ означает, что каждое множество из топологии $\mathcal{T}$ содержится в $\mathcal{U}$.)

Пусть $X$ — топологическое пространство и $A \subset X$. Покажите, что если $C$ — связное подмножество $X$, пересекающееся как с $A$, так и с $X - A$, то $C$ пересекается с $\mathrm{Bd}A$. (Напомним, что $\mathrm{Bd}A = \overline{A} \cap \overline{(X-A)}$.)

Пусть $(X,d)$ — метрическое пространство. Для любого подпространства $A \subset X$ и вещественного числа $\varepsilon > 0$ положим

Предположим, что $X$ — плотное подпространство топологического пространства $Y$. Докажите или опровергните следующие утверждения:

Пусть $X$ и $Y$ — топологические пространства, $X = U \cup V$, а $f : X \to Y$ — функция, такая что $f|_{U}$ и $f|_{V}$ непрерывны.

Пусть $q : X \to Y$ — проекция-факторотображение из топологического пространства $X$ на связное топологическое пространство $Y$. Предположим, что $q^{-1}(y)$ связно для каждого $y \in Y$.

Пусть $X$ и $Y$ — топологические пространства, причём $Y$ компактно. Пусть $p : X \times Y \to X$ — обычная проекция на первый множитель. Покажите, что $p$ — замкнутое отображение.

Пусть $Y$ — связное подмножество топологического пространства, а $Z$ — множество, такое что $Y$ является подмножеством $Z$, а $Z$ является подмножеством замыкания $Y$. Докажите, что $Z$ связно.

Пусть $A$ — связное подпространство связного множества $X$. Если $C$ — компонента $X \setminus A$, покажите, что $X \setminus C$ связно.

Метрическое пространство $X$ обладает свойством $S$, если для любого $\varepsilon > 0$ существует покрытие $X$ связными множествами, каждое из которых имеет диаметр $< \varepsilon$.

Пусть $X$ — кривая топологов "синус", определённая формулой

Пусть $T = S^{1} \times S^{1}$ обозначает тор.

Пусть $\mathcal{U} = \left\{ U_{\alpha }\right\}_{\alpha \in J}$ — открытое покрытие пространства $X$.

Пусть $S$ — множество, а $F$ — семейство вещественнозначных функций на $S$, такое что из $f(s_{1}) = f(s_{2})$ для всех $f \in F$ следует $s_{1} = s_{2}$. Докажите, что существует слабейшая топология на $S$ среди всех тех, относительно которых все элементы $F$ непрерывны. Покажите далее, что полученное топологическое пространство удовлетворяет аксиоме отделимости Хаусдорфа.

Пусть $K$ — компактное подмножество $\mathbb {R}^{n}$, а $\left\{ B_{j}\right\}$ — последовательность открытых шаров, покрывающих $K$. Докажите, что существует положительное число $\varepsilon$, такое что любой $\varepsilon$-шар с центром в точке $K$ содержится в одном из шаров $B_{j}$.

Пусть $(X_{1}, d_{1})$ и $(X_{2}, d_{2})$ — метрические пространства, а $f : X_{1} \to X_{2}$ — непрерывное сюръективное отображение, такое что $d_{1}(p,q) \leq d_{2}(f(p), f(q))$ для любой пары точек $p, q$ из $X_{1}$.

1. Если $X_{1}$ полно, обязано ли $X_{2}$ быть полным? Приведите доказательство или контрпример.

2. Если $X_{2}$ полно, обязано ли $X_{1}$ быть полным? Приведите доказательство или контрпример.

Пусть $(M,d)$ — непустое полное метрическое пространство. Пусть $S$ отображает $M$ в $M$, и запишем $S^{2}$ для $S \circ S$, т.е. $S^{2}(x) = S(S(x))$. Предположим, что $S^{2}$ — строгое сжатие, т.е. существует константа $\lambda < 1$, такая что для всех точек $x, y \in M$ выполнено $d(S^{2}(x), S^{2}(y)) \leq \lambda d(x,y)$. Покажите, что $S$ имеет единственную неподвижную точку в $M$.

Пусть $K$ — непрерывная функция на единичном квадрате $0 \leq x, y \leq 1$, удовлетворяющая $\left|K(x,y)\right| \leq 1$ для всех $x$ и $y$. Покажите, что существует непрерывная функция $f(x)$ на $[0,1]$, такая что

Может ли существовать более одной такой функции $f$?