Анализ функций многих переменных

Пусть функция $f : \mathbb {R}^{n} \rightarrow \mathbb {R}^{n}$ удовлетворяет следующим двум условиям:

1. $f(K)$ компактно, когда $K$ — компактное подмножество $\mathbb {R}^{n}$.

2. Если $\left\{ K_n\right\}$ — убывающая последовательность компактных подмножеств $\mathbb {R}^{n}$, то

   $$f\left(\bigcap _1^{\infty } K_n\right) = \bigcap _1^{\infty } f(K_n).$$

Докажите, что $f$ непрерывна.

Докажите, что отображение $g : \mathbb {R}^{n} \rightarrow \mathbb {R}^{n}$ непрерывно, только если его график замкнут в $\mathbb {R}^{n} \times \mathbb {R}^{n}$. Верно ли обратное?

См. также задачу 1.2.14.

Пусть $U \subset \mathbb {R}^{n}$ — открытое множество. Предположим, что отображение $h : U \rightarrow \mathbb {R}^{n}$ является гомеоморфизмом $U$ на $\mathbb {R}^{n}$, равномерно непрерывным. Докажите, что $U = \mathbb {R}^{n}$.

Пусть $f$ — вещественнозначная функция на $\mathbb {R}^{2}$, обладающая следующими свойствами:

Пусть $f$ — непрерывная функция из шара $B_n = \left\{ x \in \mathbb {R}^{n} \mid \left\| x\right\| < 1\right\}$ в себя. (Здесь $\left\| \cdot \right\|$ обозначает евклидову норму.) Предположим, что $\left\| f(x)\right\| < \left\| x\right\|$ для всех ненулевых $x \in B_n$. Пусть $x_0$ — ненулевая точка $B_n$, и определим последовательность $(x_k)$ формулой $x_k = f(x_{k-1})$. Докажите, что $\lim x_k = 0$.

Пусть $N$ — норма на векторном пространстве $\mathbb {R}^{n}$; то есть $N : \mathbb {R}^{n} \rightarrow \mathbb {R}$ удовлетворяет условиям

для всех $x, y \in \mathbb {R}^{n}$ и $\lambda \in \mathbb {R}$.

Отображение $f : \mathbb {R}^{m} \rightarrow \mathbb {R}^{n}$ называется собственным, если оно непрерывно и $f^{-1}(B)$ компактно для каждого компактного подмножества $B$ множества $\mathbb {R}^{n}$; $f$ называется замкнутым, если оно непрерывно и $f(A)$ замкнуто для каждого замкнутого подмножества $A$ множества $\mathbb {R}^{m}$.

Предположим, что $F : \mathbb {R}^{n} \rightarrow \mathbb {R}^{n}$ непрерывна и удовлетворяет условию

для всех $x, y \in \mathbb {R}^{n}$ и некоторого $\lambda > 0$. Докажите, что $F$ взаимно однозначно, сюръективно и имеет непрерывное обратное.

См. также задачу 1.2.12.

Докажите, что $\dfrac {x^2+y^2}{4} \leq e^{x+y-2}$ при $x \geq 0$, $y \geq 0$.

Найдите минимальное значение площадей шестиугольников, описанных вокруг единичной окружности в $\mathbb {R}^{2}$.

См. также задачу 1.1.12.

Определим $f : \mathbb {R}^{2} \rightarrow \mathbb {R}^{2}$ формулой $f(x,0) = 0$ и

при $y \neq 0$.

Пусть $f : \mathbb {R}^{2} \rightarrow \mathbb {R}$ определена как:

Определите все точки, в которых $f$ дифференцируема.

Пусть $F$, с компонентами $F_1, \ldots , F_n$, — дифференцируемое отображение $\mathbb {R}^{n}$ в $\mathbb {R}^{n}$, такое что $F(0) = 0$. Предположим, что

Докажите, что существует шар $B$ в $\mathbb {R}^{n}$ с центром $0$, такой что $F(B) \subset B$.

Пусть $p$ — многочлен над $\mathbb {R}$ положительной степени. Определим функцию $f : \mathbb {R}^{2} \rightarrow \mathbb {R}^{2}$ формулой $f(x,y) = (p(x+y), p(x-y))$. Докажите, что производная $Df(x,y)$ обратима на открытом плотном множестве точек $(x,y)$ в $\mathbb {R}^{2}$.

Найдите наиболее общую непрерывно дифференцируемую функцию $g : \mathbb {R} \rightarrow (0,\infty )$, такую что функция $h(x,y) = g(x)g(y)$ на $\mathbb {R}^{2}$ постоянна на каждой окружности с центром $(0,0)$.

Пусть $f : \mathbb {R}^{n} \rightarrow \mathbb {R}^{n}$ непрерывно дифференцируема. Предположим, что матрица Якоби $(\partial f_i / \partial x_j)$ имеет ранг $n$ всюду. Предположим, что $f$ собственно; то есть $f^{-1}(K)$ компактно, когда $K$ компактно. Докажите, что $f(\mathbb {R}^{n}) = \mathbb {R}^{n}$.

Предположим, что $f$ — непрерывно дифференцируемое отображение $\mathbb {R}^{2}$ в $\mathbb {R}^{2}$. Предположим, что $f$ имеет лишь конечное число особых точек, и что для каждого положительного числа $M$ множество $\left\{ z \in \mathbb {R}^{2} \mid \left|f(z)\right| \leq M\right\}$ ограничено. Докажите, что $f$ отображает $\mathbb {R}^{2}$ на $\mathbb {R}^{2}$.

Пусть $f$ — вещественнозначная функция на $\mathbb {R}^{n}$ класса $C^2$. Точка $x \in \mathbb {R}^{n}$ называется критической точкой функции $f$, если все частные производные $f$ обращаются в ней в нуль; критическая точка называется невырожденной, если матрица $n \times n$

невырождена.

Пусть $x$ — невырожденная критическая точка функции $f$. Докажите, что существует открытая окрестность точки $x$, не содержащая других критических точек (т.е. невырожденные критические точки изолированы).

Пусть $f : \mathbb {R}^{n} \rightarrow \mathbb {R}$ — функция, все частные производные которой порядка $\leq 2$ всюду определены и непрерывны.

Докажите, что вещественнозначная функция $f$ класса $C^3$ на $\mathbb {R}^{2}$, лапласиан которой,

всюду положителен, не может иметь локального максимума.

Пусть функция $u$ на $\mathbb {R}^{2}$ гармонична, не тождественно равна $0$ и однородна степени $d$, где $d > 0$.

Однородность $u$ степени $d$ означает, что $u(tx,ty) = t^d u(x,y)$ при $t > 0$.

Докажите, что $d$ — целое число.

Пусть $f : \mathbb {R}^{3} \rightarrow \mathbb {R}^{2}$ и предположим, что $0$ является регулярным значением $f$ (т.е. дифференциал $f$ имеет ранг $2$ в каждой точке $f^{-1}(0)$). Докажите, что $\mathbb {R}^{3} \setminus f^{-1}(0)$ линейно связно.

Пусть преобразование $T$, определённое на подмножестве $U = \left\{ (u,v) \mid u > v\right\}$ пространства $\mathbb {R}^{2}$ со значениями в $\mathbb {R}^{2}$, задано формулой $T(u,v) = (u+v, u^2+v^2)$.

Пусть $f$ — функция класса $C^1$ на интервале $(-1,1)$ со значениями в $\mathbb {R}^{2}$, такая что $f(0) = 0$ и $f'(0) \neq 0$. Докажите, что существует число $\varepsilon$ из $(0,1)$, такое что $\left\| f(t)\right\|$ является возрастающей функцией от $t$ на $(0,\varepsilon )$.

Для вещественной матрицы $2 \times 2$

пусть $\left\| X\right\| = x^2+y^2+z^2+t^2$, и определим метрику формулой $d(X,Y) = \left\| X-Y\right\|$. Пусть $\Sigma = \left\{ X \mid \det (X) = 0\right\}$. Пусть

Найдите минимальное расстояние от $A$ до $\Sigma$ и укажите $S \in \Sigma$, на котором этот минимум достигается.

Пусть $S \subset \mathbb {R}^{3}$ обозначает эллипсоидальную поверхность, заданную уравнением

Пусть $T \subset \mathbb {R}^{3}$ — поверхность, заданная уравнением

Докажите, что существуют точки $p \in S$, $q \in T$, такие что прямая $\overline{pq}$ перпендикулярна $S$ в точке $p$ и $T$ в точке $q$.

Пусть $P_2$ обозначает множество вещественных многочленов степени $\leq 2$. Определим отображение $J : P_2 \rightarrow \mathbb {R}$ формулой

Пусть $Q = \left\{ f \in P_2 \mid f(1) = 1\right\}$. Покажите, что $J$ достигает минимального значения на $Q$, и определите, где этот минимум достигается.

Пусть $X$ — пространство ортогональных вещественных матриц $n \times n$. Пусть $v_0 \in \mathbb {R}^{n}$. Определите и опишите элементы $X$, в которых отображение

принимает свои максимальное и минимальное значения.

Пусть $W \subset \mathbb {R}^{n}$ — открытое связное множество, а $f$ — вещественнозначная функция на $W$, все частные производные которой равны $0$. Докажите, что $f$ постоянна.

В $\mathbb {R}^{2}$ рассмотрим область $\mathcal{A}$, заданную неравенством $x^2+y^2 > 1$. Найдите дифференцируемые вещественнозначные функции $f$ и $g$ на $\mathcal{A}$, такие что $\partial f/\partial x = \partial g/\partial y$, но не существует вещественнозначной функции $h$ на $\mathcal{A}$, такой что $f = \partial h/\partial y$ и $g = \partial h/\partial x$.

Предположим, что $u(x,t)$ — непрерывная функция вещественных переменных $x$ и $t$ с непрерывными вторыми частными производными. Предположим, что $u$ и её первые частные производные периодичны по $x$ с периодом $1$, и что

Докажите, что

является константой, не зависящей от $t$.

Пусть $f(x,t)$ — функция класса $C^1$, такая что $\partial f/\partial x = \partial f/\partial t$. Предположим, что $f(x,0) > 0$ для всех $x$. Докажите, что $f(x,t) > 0$ для всех $x$ и $t$.

Пусть $f : \mathbb {R}^{n} \rightarrow \mathbb {R}$ имеет непрерывные частные производные и удовлетворяет условию

для всех $x = (x_1, \ldots , x_n)$, $j = 1, \ldots , n$. Докажите, что

(где $\left\| u\right\| = \sqrt{u_1^2 + \cdots + u_n^2}$).

Пусть $f : \mathbb {R}^{n} \setminus \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb {R}$ — непрерывно дифференцируемая функция с равномерно ограниченными частными производными:

для всех $(x_1, \ldots , x_n) \neq (0, \ldots , 0)$. Покажите, что при $n \geq 2$ функцию $f$ можно продолжить до непрерывной функции, определённой на всём $\mathbb {R}^{n}$. Покажите, что при $n = 1$ это неверно, приведя контрпример.

Пусть $f : \mathbb {R}^{n} \setminus \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb {R}$ дифференцируема. Предположим, что

существует для каждого $j = 1, \ldots , n$.

Пусть $f : \mathbb {R}^{2} \rightarrow \mathbb {R}$ имеет производные по всем направлениям в начале координат. Является ли $f$ дифференцируемой в начале координат? Докажите или приведите контрпример.

Пусть $f : \mathbb {R}^{n} \rightarrow \mathbb {R}$ обладает следующими свойствами: $f$ дифференцируема на $\mathbb {R}^{n} \setminus \left\{ 0\right\}$, $f$ непрерывна в $0$, и

для $i = 1, \ldots , n$. Докажите, что $f$ дифференцируема в $0$.

Пусть $U \subset \mathbb {R}^{n}$ — выпуклое открытое множество, а $f : U \rightarrow \mathbb {R}^{n}$ — дифференцируемая функция, частные производные которой равномерно ограничены, но не обязательно непрерывны. Докажите, что $f$ имеет единственное непрерывное продолжение на замыкание $U$.

Пусть $f : \mathbb {R}^{3} \rightarrow \mathbb {R}$ такова, что

Предположим, что $f$ имеет непрерывные частные производные порядков $\leq 2$. Существует ли $p \in \mathbb {R}^{3}$ с $\left\| p\right\| \leq 1$, такое что

Пусть $f$ — дифференцируемая функция из $\mathbb {R}^{n}$ в $\mathbb {R}^{n}$. Предположим, что существует дифференцируемая функция $g$ из $\mathbb {R}^{n}$ в $\mathbb {R}$, не имеющая критических точек, такая что $g \circ f$ тождественно равна нулю. Докажите, что якобиан функции $f$ тождественно равен нулю.

Пусть $f, g : \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ — гладкие функции с $f(0) = 0$ и $f'(0) \neq 0$. Рассмотрим уравнение $f(x) = tg(x)$, $t \in \mathbb {R}$.

Рассмотрим систему уравнений

Опишите две области в пространстве $(a,b)$, для которых функция

ограниченная на окружность $x^2+y^2=1$, имеет ровно две и ровно четыре критические точки соответственно.

Пусть $u$ и $v$ — две вещественнозначные функции класса $C^1$ на $\mathbb {R}^{2}$, такие что градиент $\nabla u$ никогда не равен $0$, и такие, что в каждой точке $\nabla v$ и $\nabla u$ являются линейно зависимыми векторами. Дана точка $p_0 = (x_0,y_0) \in \mathbb {R}^{2}$, покажите, что существует функция $F$ класса $C^1$ от одной переменной, такая что $v(x,y) = F(u(x,y))$ в некоторой окрестности $p_0$.

Пусть $f$ — непрерывно дифференцируемая функция из $\mathbb {R}^{2}$ в $\mathbb {R}$. Докажите, что существует непрерывная взаимно однозначная функция $g$ из $[0,1]$ в $\mathbb {R}^{2}$, такая что композиция $f \circ g$ постоянна.

Пусть $f : \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ класса $C^1$, и пусть

Если $f'(x_0) \neq 0$, покажите, что это преобразование локально обратимо в окрестности $(x_0,y_0)$, и обратное имеет вид

Пусть $M_{n \times n}$ обозначает векторное пространство вещественных матриц $n \times n$. Определим отображение $f : M_{n \times n} \rightarrow M_{n \times n}$ формулой $f(X) = X^2$. Найдите производную $f$.

Пусть $M_{2 \times 2}$ — четырёхмерное векторное пространство всех вещественных матриц $2 \times 2$, и определим $f : M_{2 \times 2} \rightarrow M_{2 \times 2}$ формулой $f(X) = X^2$.

Покажите, что существует $\varepsilon > 0$, такое что если $A$ — произвольная вещественная матрица $2 \times 2$, удовлетворяющая $\left|a_{ij}\right| \leq \varepsilon$ для всех элементов $a_{ij}$ матрицы $A$, то существует вещественная матрица $2 \times 2$ $X$, такая что $X^2 + X^t = A$, где $X^t$ — транспонированная матрица $X$. Единственна ли $X$?

Пусть $M_{2 \times 2}$ — пространство матриц $2 \times 2$ над $\mathbb {R}$, отождествляемое обычным образом с $\mathbb {R}^{4}$. Пусть функция $F$ из $M_{2 \times 2}$ в $M_{2 \times 2}$ определена формулой

Докажите, что область значений $F$ содержит окрестность начала координат.

Пусть $M_{n \times n}$ обозначает векторное пространство вещественных матриц $n \times n$. Докажите, что существуют окрестности $U$ и $V$ единичной матрицы в $M_{n \times n}$, такие что для каждой $A$ из $U$ существует единственная $X$ из $V$, такая что $X^4 = A$.

Пусть $M_{n \times n}$ обозначает векторное пространство вещественных матриц $n \times n$ при $n \geq 2$. Пусть $\det : M_{n \times n} \rightarrow \mathbb {R}$ — отображение определителя.

Пусть $F(t) = (f_{ij}(t))$ — матрица $n \times n$ непрерывно дифференцируемых функций $f_{ij} : \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, и пусть

Покажите, что $u$ дифференцируема и

Пусть $A = (a_{ij})$ — матрица $n \times n$, элементы $a_{ij}$ которой являются вещественнозначными дифференцируемыми функциями, определёнными на $\mathbb {R}$. Предположим, что определитель $\det (A)$ матрицы $A$ всюду положителен. Пусть $B = (b_{ij})$ — обратная матрица к $A$. Докажите формулу

Каков объём, ограниченный эллипсоидом

Вычислите

где $\mathcal{A} = \left\{ (x,y) \in \mathbb {R}^{2} \mid x^2+y^2 \leq 1\right\}$.

Зная, что $\displaystyle \int_{-\infty }^{\infty } e^{-x^2} \, dx = \sqrt{\pi }$, вычислите интеграл

Вычислите

где

Пусть $\varphi (x,y)$ — функция с непрерывными частными производными второго порядка, такая что

Пусть $S = \left\{ (x,y,z) \in \mathbb {R}^{3} \mid x^2+y^2+z^2=1\right\}$ обозначает единичную сферу в $\mathbb {R}^{3}$. Вычислите поверхностный интеграл по $S$:

Пусть $\overrightarrow {i}$, $\overrightarrow {j}$ и $\overrightarrow {k}$ — обычные единичные векторы в $\mathbb {R}^{3}$. Пусть $\overrightarrow {F}$ обозначает векторное поле

Пусть векторное поле $F$ в $\mathbb {R}^{3}$ имеет вид

где $g$ — вещественнозначная гладкая функция на $(0,\infty )$, а $\left\| \cdot \right\|$ обозначает евклидову норму. ($F$ не определена в $(0,0,0)$.) Докажите, что

для любого гладкого замкнутого пути $C$ в $\mathbb {R}^{3}$, не проходящего через начало координат.

Пусть $\mathcal{B}$ обозначает единичный шар в $\mathbb {R}^{3}$, $\mathcal{B} = \left\{ r \in \mathbb {R}^{3} \mid \left\| r\right\| \leq 1\right\}$. Пусть $\overrightarrow {J} = (J_1, J_2, J_3)$ — гладкое векторное поле на $\mathbb {R}^{3}$, обращающееся в нуль вне $\mathcal{B}$ и удовлетворяющее $\nabla \cdot \overrightarrow {J} = 0$.

Пусть $\mathcal{D}$ обозначает открытый единичный круг в $\mathbb {R}^{2}$. Пусть $u$ — собственная функция для лапласиана в $\mathcal{D}$; то есть вещественнозначная функция класса $C^2$, определённая в $\overline{\mathcal{D}}$, равная нулю на границе $\mathcal{D}$, но не тождественно равная нулю, и удовлетворяющая дифференциальному уравнению

где $\lambda$ — константа. Докажите, что

и, следовательно, что $\lambda < 0$.

Пусть $\lambda , a \in \mathbb {R}$, где $a < 0$. Пусть $u(x,y)$ — бесконечно дифференцируемая функция, определённая на открытой окрестности замкнутого единичного круга $\mathcal{D}$, такая что