2.3

Интегральное исчисление

[12/100%]
Показать
LaTeX
Задача 2.3.1

Каков объём, ограниченный эллипсоидом

x2a2+y2b2+z2c2=1 ? \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 \, ?
?
Задача 2.3.2

Вычислите

∬Ae−x2−y2 dx dy, \iint _{\mathcal{A}} e^{-x^2-y^2} \, dx \, dy,

где A={(x,y)∈R2∣x2+y2≤1}\mathcal{A} = \left\{ (x,y) \in \mathbb {R}^{2} \mid x^2+y^2 \leq 1\right\}.

?
Задача 2.3.3

Зная, что ∫−∞∞e−x2 dx=π\displaystyle \int_{-\infty }^{\infty } e^{-x^2} \, dx = \sqrt{\pi }, вычислите интеграл

I=∫−∞∞∫−∞∞e−(x2+(y−x)2+y2) dx dy. I = \int _{-\infty }^{\infty } \int _{-\infty }^{\infty } e^{-(x^2+(y-x)^2+y^2)} \, dx \, dy.
?
Задача 2.3.4

Вычислите

∬R(x3−3xy2) dx dy, \iint _{\mathcal{R}} (x^3 - 3xy^2) \, dx \, dy,

где

R={(x,y)∈R2∣(x+1)2+y2≤9, (x−1)2+y2≥1}. \mathcal{R} = \left\{ (x,y) \in \mathbb {R}^{2} \mid (x+1)^2+y^2 \leq 9, \ (x-1)^2+y^2 \geq 1\right\} .
?
Задача 2.3.5

Пусть φ(x,y)\varphi (x,y) — функция с непрерывными частными производными второго порядка, такая что

?
(1)

φxx+φyy+φx=0\varphi_{xx} + \varphi_{yy} + \varphi_x = 0 на проколотой плоскости R2∖{0}\mathbb {R}^{2} \setminus \left\{ 0\right\},

(2)

rφx→x2πrr\varphi_x \to \dfrac {x}{2\pi r} и rφy→y2πrr\varphi_y \to \dfrac {y}{2\pi r} при r=x2+y2→0r = \sqrt{x^2+y^2} \to 0.

Пусть CRC_R — окружность x2+y2=R2x^2+y^2=R^2. Покажите, что криволинейный интеграл

∫CRex(−φy dx+φx dy) \int _{C_R} e^x(-\varphi _y \, dx + \varphi _x \, dy)

не зависит от RR, и вычислите его.

Задача 2.3.6

Пусть S={(x,y,z)∈R3∣x2+y2+z2=1}S = \left\{ (x,y,z) \in \mathbb {R}^{3} \mid x^2+y^2+z^2=1\right\} обозначает единичную сферу в R3\mathbb {R}^{3}. Вычислите поверхностный интеграл по SS:

∬S(x2+y+z) dA. \iint _S (x^2+y+z) \, dA.
?
Задача 2.3.7

Пусть i→\overrightarrow {i}, j→\overrightarrow {j} и k→\overrightarrow {k} — обычные единичные векторы в R3\mathbb {R}^{3}. Пусть F→\overrightarrow {F} обозначает векторное поле

(x2+y−4)i→+3xyj→+(2xz+z2)k→. (x^2+y-4)\overrightarrow {i} + 3xy\overrightarrow {j} + (2xz+z^2)\overrightarrow {k}.
?
(1)

Вычислите ∇×F→\nabla \times \overrightarrow {F} (ротор F→\overrightarrow {F}).

(2)

Вычислите интеграл от ∇×F→\nabla \times \overrightarrow {F} по поверхности x2+y2+z2=16x^2+y^2+z^2=16, z≥0z \geq 0.

Задача 2.3.8

Пусть векторное поле FF в R3\mathbb {R}^{3} имеет вид

F(r)=g(∥r∥)r(r≠(0,0,0)), F(r) = g(\left\| r\right\| ) r \qquad (r \neq (0,0,0)),

где gg — вещественнозначная гладкая функция на (0,∞)(0,\infty ), а ∥⋅∥\left\| \cdot \right\| обозначает евклидову норму. (FF не определена в (0,0,0)(0,0,0).) Докажите, что

∫CF⋅ds=0 \int _C F \cdot ds = 0

для любого гладкого замкнутого пути CC в R3\mathbb {R}^{3}, не проходящего через начало координат.

?
Задача 2.3.9

Пусть B\mathcal{B} обозначает единичный шар в R3\mathbb {R}^{3}, B={r∈R3∣∥r∥≤1}\mathcal{B} = \left\{ r \in \mathbb {R}^{3} \mid \left\| r\right\| \leq 1\right\}. Пусть J→=(J1,J2,J3)\overrightarrow {J} = (J_1, J_2, J_3) — гладкое векторное поле на R3\mathbb {R}^{3}, обращающееся в нуль вне B\mathcal{B} и удовлетворяющее ∇⋅J→=0\nabla \cdot \overrightarrow {J} = 0.

?
(1)

Для гладкой скалярнозначной функции ff, определённой в окрестности B\mathcal{B}, докажите, что

∫B(∇f)⋅J→ dx dy dz=0. \int _{\mathcal{B}} (\nabla f) \cdot \overrightarrow {J} \, dx \, dy \, dz = 0.
(2)

Докажите, что

∫BJ1 dx dy dz=0. \int _{\mathcal{B}} J_1 \, dx \, dy \, dz = 0.
Задача 2.3.10

Пусть D\mathcal{D} обозначает открытый единичный круг в R2\mathbb {R}^{2}. Пусть uu — собственная функция для лапласиана в D\mathcal{D}; то есть вещественнозначная функция класса C2C^2, определённая в D‾\overline{\mathcal{D}}, равная нулю на границе D\mathcal{D}, но не тождественно равная нулю, и удовлетворяющая дифференциальному уравнению

∂2u∂x2+∂2u∂y2=λu, \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial y^2} = \lambda u,

где λ\lambda — константа. Докажите, что

∬D∣grad⁡u∣2 dx dy+λ∬Du2 dx dy=0,(∗) \iint _{\mathcal{D}} \left|\operatorname {grad} u\right|^2 \, dx \, dy + \lambda \iint _{\mathcal{D}} u^2 \, dx \, dy = 0, \tag {$*$}

и, следовательно, что λ<0\lambda < 0.

?
Задача 2.3.11

Пусть λ,a∈R\lambda , a \in \mathbb {R}, где a<0a < 0. Пусть u(x,y)u(x,y) — бесконечно дифференцируемая функция, определённая на открытой окрестности замкнутого единичного круга D\mathcal{D}, такая что

∂2u∂x2+∂2u∂y2=λuв int⁡(D) \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial y^2} = \lambda u \qquad \text{в } \operatorname {int}(\mathcal{D}) Dnu=auна ∂D. D_n u = au \qquad \text{на } \partial \mathcal{D}.

Здесь DnuD_n u обозначает производную функции uu по направлению внешней единичной нормали. Докажите, что если uu не равна тождественно нулю во внутренности D\mathcal{D}, то λ<0\lambda < 0.

?
Задача 2.3.12

Пусть ff — взаимно однозначное отображение класса C1C^1 из R3\mathbb {R}^{3} в R3\mathbb {R}^{3}, и пусть JJ обозначает его якобиан. Докажите, что если x0x_0 — любая точка R3\mathbb {R}^{3}, а Qr(x0)Q_r(x_0) обозначает куб с центром x0x_0, длиной ребра rr и рёбрами, параллельными координатным осям, то

∣J(x0)∣=lim⁡r→0r−3vol⁡(f(Qr(x0)))≤lim sup⁡x→x0∥f(x)−f(x0)∥3∥x−x0∥3. \left|J(x_0)\right| = \lim _{r \to 0} r^{-3} \operatorname {vol}(f(Q_r(x_0))) \leq \limsup _{x \to x_0} \frac{\left\| f(x)-f(x_0)\right\| ^3}{\left\| x-x_0\right\| ^3}.

Здесь ∥⋅∥\left\| \cdot \right\| — евклидова норма в R3\mathbb {R}^{3}.

?