2.1

Пределы и непрерывность

[8/100%]
Показать
LaTeX
Задача 2.1.1

Пусть функция f:Rn→Rnf : \mathbb {R}^{n} \rightarrow \mathbb {R}^{n} удовлетворяет следующим двум условиям:

  1. f(K)f(K) компактно, когда KK — компактное подмножество Rn\mathbb {R}^{n}.

  2. Если {Kn}\left\{ K_n\right\} — убывающая последовательность компактных подмножеств Rn\mathbb {R}^{n}, то

    f(⋂1∞Kn)=⋂1∞f(Kn). f\left(\bigcap _1^{\infty } K_n\right) = \bigcap _1^{\infty } f(K_n).

Докажите, что ff непрерывна.

?
Задача 2.1.2

Докажите, что отображение g:Rn→Rng : \mathbb {R}^{n} \rightarrow \mathbb {R}^{n} непрерывно, только если его график замкнут в Rn×Rn\mathbb {R}^{n} \times \mathbb {R}^{n}. Верно ли обратное?

См. также задачу 1.2.14.

?
Задача 2.1.3

Пусть U⊂RnU \subset \mathbb {R}^{n} — открытое множество. Предположим, что отображение h:U→Rnh : U \rightarrow \mathbb {R}^{n} является гомеоморфизмом UU на Rn\mathbb {R}^{n}, равномерно непрерывным. Докажите, что U=RnU = \mathbb {R}^{n}.

?
Задача 2.1.4

Пусть ff — вещественнозначная функция на R2\mathbb {R}^{2}, обладающая следующими свойствами:

?
(1)

Для каждого y0y_0 из R\mathbb {R} функция x↦f(x,y0)x \mapsto f(x, y_0) непрерывна.

(2)

Для каждого x0x_0 из R\mathbb {R} функция y↦f(x0,y)y \mapsto f(x_0, y) непрерывна.

(3)

f(K)f(K) компактно, когда KK — компактное подмножество R2\mathbb {R}^{2}.

Докажите, что ff непрерывна.

Задача 2.1.5

Пусть ff — непрерывная функция из шара Bn={x∈Rn∣∥x∥<1}B_n = \left\{ x \in \mathbb {R}^{n} \mid \left\| x\right\| < 1\right\} в себя. (Здесь ∥⋅∥\left\| \cdot \right\| обозначает евклидову норму.) Предположим, что ∥f(x)∥<∥x∥\left\| f(x)\right\| < \left\| x\right\| для всех ненулевых x∈Bnx \in B_n. Пусть x0x_0 — ненулевая точка BnB_n, и определим последовательность (xk)(x_k) формулой xk=f(xk−1)x_k = f(x_{k-1}). Докажите, что lim⁡xk=0\lim x_k = 0.

?
Задача 2.1.6

Пусть NN — норма на векторном пространстве Rn\mathbb {R}^{n}; то есть N:Rn→RN : \mathbb {R}^{n} \rightarrow \mathbb {R} удовлетворяет условиям

N(x)≥0 и N(x)=0 только если x=0, N(x) \geq 0 \text{ и } N(x) = 0 \text{ только если } x = 0, N(x+y)≤N(x)+N(y), N(x+y) \leq N(x) + N(y), N(λx)=∣λ∣N(x) N(\lambda x) = \left|\lambda \right| N(x)

для всех x,y∈Rnx, y \in \mathbb {R}^{n} и λ∈R\lambda \in \mathbb {R}.

?
(1)

Докажите, что NN ограничена на единичной сфере.

(2)

Докажите, что NN непрерывна.

(3)

Докажите, что существуют константы A>0A > 0 и B>0B > 0, такие что для всех x∈Rnx \in \mathbb {R}^{n} выполняется A∥x∥≤N(x)≤B∥x∥A\left\| x\right\| \leq N(x) \leq B\left\| x\right\|.

Задача 2.1.7

Отображение f:Rm→Rnf : \mathbb {R}^{m} \rightarrow \mathbb {R}^{n} называется собственным, если оно непрерывно и f−1(B)f^{-1}(B) компактно для каждого компактного подмножества BB множества Rn\mathbb {R}^{n}; ff называется замкнутым, если оно непрерывно и f(A)f(A) замкнуто для каждого замкнутого подмножества AA множества Rm\mathbb {R}^{m}.

?
(1)

Докажите, что каждое собственное отображение f:Rm→Rnf : \mathbb {R}^{m} \rightarrow \mathbb {R}^{n} является замкнутым.

(2)

Докажите, что каждое взаимно однозначное замкнутое отображение f:Rm→Rnf : \mathbb {R}^{m} \rightarrow \mathbb {R}^{n} является собственным.

Задача 2.1.8

Предположим, что F:Rn→RnF : \mathbb {R}^{n} \rightarrow \mathbb {R}^{n} непрерывна и удовлетворяет условию

∥F(x)−F(y)∥≥λ∥x−y∥ \left\| F(x) - F(y)\right\| \geq \lambda \left\| x-y\right\|

для всех x,y∈Rnx, y \in \mathbb {R}^{n} и некоторого λ>0\lambda > 0. Докажите, что FF взаимно однозначно, сюръективно и имеет непрерывное обратное.

См. также задачу 1.2.12.

?