Глава VIII

Аффинные пространства

[6/100%]
Показать
LaTeX
§
VIII.1 · Плоскости[3/100%]
Задача VIII.1.1

В некоторой декартовой системе координат четырехмерного аффинного пространства плоскость задана системой уравнений

ξ1+ξ2+ξ3+ξ4=12ξ1+3ξ2+4ξ3+5ξ4=−1 \begin{aligned} \xi ^{1}+\xi ^{2}+\xi ^{3}+\xi ^{4} & =1 \\ 2 \xi ^{1}+3 \xi ^{2}+4 \xi ^{3}+5 \xi ^{4} & =-1 \end{aligned}

Напишите ее параметрические уравнения (найдите начальную точку и базис в направляющем подпространстве).

?
Задача VIII.1.2
?
(а)

Что может представлять собой пересечение двух плоскостей?

(б)

В nn-мерном аффинном пространстве оцените размерность плоскости, получаемой как пересечение плоскостей размерностей k1k_{1} и k2k_{2}.

Задача VIII.1.3

Докажите, что в аффинном пространстве любые две прямые лежат в некоторой трехмерной плоскости.

?
§
VIII.2 · Классификация линий и поверхностей второго порядка[3/100%]
Задача VIII.2.1

Приведите к каноническому виду уравнение

2(ξ2)2−3(ξ3)2−23ξ1ξ2−4ξ1ξ3+43ξ2ξ3+50ξ3=80. 2\left(\xi ^{2}\right)^{2}-3\left(\xi ^{3}\right)^{2}-2 \sqrt{3} \xi ^{1} \xi ^{2}-4 \xi ^{1} \xi ^{3}+4 \sqrt{3} \xi ^{2} \xi ^{3}+50 \xi ^{3}=80 .
?
Задача VIII.2.2

Не приводя уравнение к каноническому виду, определите, какую поверхность второго порядка оно определяет:

(ξ1)2+4ξ1ξ2+6ξ1ξ3−(ξ2)2+2ξ2ξ3+4(ξ3)2+2ξ1=0. \left(\xi ^{1}\right)^{2}+4 \xi ^{1} \xi ^{2}+6 \xi ^{1} \xi ^{3}-\left(\xi ^{2}\right)^{2}+2 \xi ^{2} \xi ^{3}+4\left(\xi ^{3}\right)^{2}+2 \xi ^{1}=0 .
?
Задача VIII.2.3

При каких значениях параметра а поверхность с уравнением

(ξ1)2+(ξ2)2+(ξ3)2+2a(ξ1ξ2+ξ2ξ3+ξ1ξ3)+4a=0 \left(\xi ^{1}\right)^{2}+\left(\xi ^{2}\right)^{2}+\left(\xi ^{3}\right)^{2}+2 a\left(\xi ^{1} \xi ^{2}+\xi ^{2} \xi ^{3}+\xi ^{1} \xi ^{3}\right)+4 a=0

является эллипсоидом?

?