Прямая на плоскости

При каком необходимом и достаточном условии прямые $\mathbf{r} = \mathbf{r}_{1} + \mathbf{a}_{1} t$ и $\mathbf{r} = \mathbf{r}_{2} + \mathbf{a}_{2} t\quad \left(\mathbf{a}_{i} \neq 0, i = 1, 2\right)$:

Найти угол между прямыми, заданными своими уравнениями:

Две прямые заданы векторными уравнениями $(\mathbf{r}, \mathbf{n}) = D$ и $\mathbf{r} = \mathbf{r}_{0} + \mathbf{a} t$, причем $(\mathbf{a}, \mathbf{n}) \neq 0$. Найти радиус — вектор точки пересечения прямых.

Даны точка $M_{0}$ с радиус — вектором $\mathbf{r}_{0}$ и прямая $(\mathbf{r}, \mathbf{n}) = D$ $(\mathbf{n} \neq 0)$. Найти радиус — векторы:

Найти расстояние от точки $M_{0}\left(\mathbf{r}_{0}\right)$ до прямой, заданной уравнением:

Указать хотя бы один направляющий вектор прямой, которая:

Составить уравнение прямой, проходящей через точку $A(- 3, 4)$ и параллельной прямой:

Составить уравнение прямой, проходящей через две данные точки:

Установить, пересекаются, параллельны или совпадают прямые данной пары; если прямые пересекаются, найти координаты точки их пересечения:

При каких $a$ прямые $ax - 4y = 6$ и $x - ay = 3$:

При каких $a$ три прямые $ax + y = 1, \quad x - y = a$, $x + y = a^{2}$ имеют общую точку?

Точка $M$ лежит на прямой $Ax + By + C = 0$; вектор $\overrightarrow {MM_{1}}$ имеет координаты $A, B$. Доказать, что точка $M_{1}$ лежит в положительной полуплоскости относительно прямой с уравнением $Ax + By + C = 0$.

Точка $M(3, 2)$ является центром параллелограмма, а его стороны лежат на некоторых четырех прямых. На каждой из этих прямых расположена одна из точек: $P(2, 1), Q(4, - 1)$, $R(- 2, 0), S(1, 5)$. Найти уравнения прямых.

Даны две вершины треугольника $(3, - 1)$ и $(1, 4)$ и точка пересечения его медиан $(0, 2)$. Найти координаты третьей вершины треугольника и составить уравнения его сторон.

Составить уравнение прямой, проходящей через точку $A(1, 2)$ так, что отрезок этой прямой, заключенный между прямыми $3x + y + 2 = 0$ и $4x + y - 1 = 0$, в точке $A$ делится пополам.

Две медианы треугольника лежат на прямых $x + y = 3$ и $2x + 3y = 1$, а точка $A(1, 1)$ является вершиной треугольника. Составить уравнения сторон треугольника.

Точки $K(1, - 2), L(3, 4)$ и $M(5, 0)$ являются соответственно серединами сторон $AD, AB$ и $BC$ четырехугольника $ABCD$, диагонали которого пересекаются в точке $O(2, 2)$. Найти координаты вершин четырехугольника.

Составить уравнения прямых, проходящих через точку $A(- 1, 5)$ и равноудаленных от двух точек $B(3, 7)$ и $C(1, - 1)$.

Через вершину $C$ параллелограмма $ABCD$ проведена прямая, пересекающая продолжения сторон $AB$ и $AD$ соответственно в точках $K$ и $L$ таких, что $\left|AK\right| / \left|AB\right| = 5\left|AL\right| / \left|AD\right|$. Найти отношение площади параллелограмма к площади треугольника $AKL$.

Указать хотя бы один нормальный вектор прямой, которая:

Составить уравнение прямой, проходящей через точку $A(- 3, 4)$ и перпендикулярной прямой:

Точка $A(3, - 2)$ является вершиной квадрата, а точка $M(1, 1)$ — точкой пересечения его диагоналей. Составить уравнения сторон квадрата.

Длина стороны ромба с острым углом $60^{\circ }$ равна 2. Диагонали ромба пересекаются в точке $M(1, 2)$, причем большая диагональ параллельна оси абсцисс. Составить уравнения сторон ромба.

На прямой $5x - y - 4 = 0$ найти точку, равноудаленную от точек $A(1, 0)$ и $B(- 2, 1)$.

Найти расстояние от точки $A(1, - 2)$ до прямой, заданной своим уравнением:

Найти расстояние между параллельными прямыми $Ax + By + C_{1} = 0$ и $Ax + By + C_{2} = 0$.

Составить уравнения прямых, параллельных прямой $- 2x + y + 5 = 0$ и отстоящих от точки $A(1, - 2)$ на расстояние $\sqrt{20}$.

Точка $A$ лежит на прямой $2x - 3y + 4 = 0$. Расстояние от точки $A$ до прямой $3y = 4x$ равно 2. Найти координаты точки $A$.

Точка $A$ лежит на прямой $x + y = 8$, причем $A$ равноудалена от точки $B(2, 8)$ и от прямой $x - 3y + 2 = 0$. Найти координаты точки $A$.

Найти координаты всех точек, равноудаленных от точки $A(- 1, 1)$ и прямых $y = - x$ и $y = x + 1$.

Найти множество точек плоскости, отношение расстояний от которых до двух пересекающихся прямых $A_{1} x + B_{1} y + C_{1} = 0$ и $A_{2} x + B_{2} y + C_{2} = 0$ есть постоянная величина $k > 0$.

Составить уравнение прямой, симметричной прямой $3x - y + 5 = 0$ относительно прямой $x + y = 1$.

Даны уравнения сторон треугольника: $x + 2y + 1 = 0$, $2x - y - 2 = 0, 2x + y + 2 = 0$. Составить уравнение высоты, опущенной на третью сторону.

Точка $H(- 3, 2)$ является точкой пересечения высот треугольника, две стороны которого лежат на прямых $y = 2x$ и $y = - x + 3$. Составить уравнение третьей стороны.

Даны координаты двух вершин треугольника $A(1, 3)$, $B(2, 5)$ и точки пересечения его высот $H(1, 4)$. Найти координаты третьей вершины треугольника и составить уравнения его сторон.

Точка $A(1, 2)$ является серединой одного из оснований прямоугольной трапеции, а точка $B(3, - 1)$ — серединой средней линии. Боковая сторона, перпендикулярная основаниям, лежит на прямой $\frac{x + 1}{3} = \frac{y - 2}{4}$. Составить уравнения остальных сторон трапеции.

Точка $A(- 1, 4)$ — вершина ромба $ABCD$, диагонали которого пересекаются в точке $M(2, 3)$. Точка $P(3, 1)$ лежит на стороне $AB$. Составить уравнения сторон ромба.

Составить уравнения сторон прямоугольного треугольника, если $C(- 3, 4)$ — вершина прямого угла, $M(1, 2)$ — середина гитотенузы, а точка $H(3, 3)$ лежит на гипотенузе.

В треугольнике $ABC$ точки $M_{1}(2, 3), M_{2}(0, 7)$ и $M_{3}(- 2, 5)$ — середины сторон $BC, CA$ и $AB$. Составить уравнение прямой $AB$. Найти угол между медианами $AM_{1}$ и $BM_{2}$.

В параллелограмме $ABCD$ вершины $A$ и $C$ имеют координаты $(1, 2)$ и $(7, 10)$ соответственно, $H(3, 0)$ — основание высоты, опущенной из $B$ на сторону $AD$. Составить уравнение прямой $AD$. Найти угол между прямыми $AD$ и $AB$.

В параллелограмме $ABCD$ точки $K(- 1, 2), L(3, 4)$ и $M(5, 6)$ — середины сторон соответственно $AB, BC$ и $CD$. Составить уравнение прямой $BC$. Найти угол между прямыми $AL$ и $AM$.

В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ сторона $CD$ перпендикулярна основаниям, точки $A$ и $C$ имеют координаты соответственно $(5, 2)$ и $(- 2, 3)$, а продолжения боковых сторон пересекаются в точке $P(- 3, 6)$. Составить уравнение прямой $AD$. Найти угол между прямыми $AD$ и $AB$.

Точки $K(1, 3)$ и $L(- 1, 1)$ являются серединами оснований равнобедренной трапеции, а точки $P(3, 0)$ и $Q(- 3, 5)$ лежат на ее боковых сторонах. Составить уравнения сторон трапеции.

Найти угол между прямыми:

Составить уравнения прямых, проходящих через точку $A(3, 1)$ и образующих с прямой $3x = y + 2$ углы в $45^{\circ }$.

Точка $A(2, 0)$ является вершиной правильного треугольника, а противолежащая ей сторона лежит на прямой $x + y - 1 = 0$. Составить уравнения двух других сторон.

Основание равнобедренного треугольника лежит на прямой $x + 2y = 2$, а одна из боковых сторон — на прямой $y + 2x = 1$. Составить уравнение другой боковой стороны треугольника, зная, что ее расстояние от точки пересечения данных прямых равно $1 / \sqrt{5}$.

Рассматривается тот угол между прямыми $y = x + 1$ и $y = 7x + 1$, внутри которого лежит точка $A(1, 3)$. Найти координаты точки $B$, лежащей внутри этого угла и удаленной от данных прямых соответственно на расстояния $4\sqrt{2}$ и $\sqrt{2}$.

Составить уравнения сторон угла с вершиной в точке $B$. В угол вписана окружность радиуса $R$ с центром в точке $A$:

Составить уравнение биссектрисы острого угла между прямыми $x - 7y = 1$ и $x + y = - 7$.

Составить уравнения биссектрис внутренних углов треугольника, стороны которого заданы уравнениями $3y = 4x$, $4y = 3x, 5x + 12y = 10$.

Вершинами треугольника являются точки $A(20, 15)$, $B(- 16, 0), C(- 8, - 6)$. Найти длины радиусов и координаты центров вписанной и описанной окружностей.

Даны координаты двух вершин треугольника $A(2, - 1)$, $B(1, 5)$ и точки пересечения его биссектрис $L(3, 0)$. Составить уравнения сторон треугольника.

Точки $A(1, 2)$ и $B(- 3, 0)$ — вершины равнобедренного треугольника $ABC$, углы $A$ и $B$ при основании равны $\arccos (1 / \sqrt{5})$. Найти координаты вершины $C$, зная, что она лежит по ту же сторону от прямой $AB$, что и точка $M(2, 3)$.

Сторона $AB$ треугольника $ABC$ задана уравнением $x - y + 1 = 0$, сторона $BC$ — уравнением $2x - 3y + 5 = 0$, сторона $AC$ — уравнением $3x - 4y + 2 = 0$. Составить уравнение прямой, проходящей через вершину $C$ так, что точка пересечения этой прямой со стороной $AB$ удалена от стороны $AC$ на расстояние $1 / 5$.

Составить уравнения прямых, образующих угол $\arccos (1 / \sqrt{5})$ с прямой $x + 2y - 1 = 0$, и удаленных от точки $A(1, 1)$ на расстояние 1.

Найти радиус и координаты центра окружности, проходящей через точку $A(- 1, 3)$ и касающейся прямых $7x + y = 0$ и $x - y + 8 = 0$.

Гипотенуза прямоугольного треугольника лежит на прямой $2x + y - 2 = 0$, а точка $C(3, - 1)$ является вершиной прямого угла. Площадь треугольника равна $9 / 4$. Составить уравнения прямых, на которых лежат катеты.

Даны две системы координат $O, \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}$ и $O^{\prime }, \mathbf{e}_{1}^{\prime }, \mathbf{e}_{2}^{\prime }$. Начало второй системы координат имеет в первой системе координаты $a_{10}, a_{20}$, а базисные векторы второй системы имеют в базисе первой системы координаты $a_{11}, a_{21}$ и $a_{12}, a_{22}$ соответственно. В первой системе координат прямая задана уравнением $Ax + By + C = 0$. Составить уравнение этой прямой во второй системе.

На плоскости даны три точки $A(2, 3), B(1, 4)$, $C(- 1, 2)$ и прямая $x - 5y + 7 = 0$. Составить уравнение этой прямой в новой системе координат $A, \overrightarrow {AB}, \overrightarrow {AC}$.

Прямые $3y = x + 2$ и $3x + 2y - 5 = 0$ являются соответственно осями $O^{\prime } x^{\prime }$ и $O^{\prime } y^{\prime }$ новой системы координат, а точка $A(- 1, 2)$ имеет в новой системе координаты $(1, 1)$.

В прямоугольной системе координат $O, \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}$ прямая задана уравнением $\sqrt{3} x + 2y - 6 = 0$. Начало новой прямоугольной системы координат находится в точке $O^{\prime }(- 2, 3)$, а базисные векторы $\mathbf{e}_{1}^{\prime }$ и $\mathbf{e}_{2}^{\prime }$ получаются из векторов $\mathbf{e}_{1}$ и $\mathbf{e}_{2}$ соответственно поворотом на угол $30^{\circ }$ в направлении кратчайшего поворота от $\mathbf{e}_{1}$ к $\mathbf{e}_{2}$. Составить уравнение данной прямой в системе координат $O^{\prime }, \mathbf{e}_{1}^{\prime }, \mathbf{e}_{2}^{\prime }$.

Две взаимно перпендикулярные прямые, заданные в прямоугольной системе координат уравнениями $2x - y + 1 = 0$ и $x + 2y - 7 = 0$, являются соответственно осями $O^{\prime } x^{\prime }$ и $O^{\prime } y^{\prime }$ новой прямоугольной системы координат, а точка $A(2, 0)$ имеет в новой системе положительные координаты.