Банк задач по математике

Задача 5.1

(1)(2)(3)

При каком необходимом и достаточном условии прямые $\mathbf{r} = \mathbf{r}_{1} + \mathbf{a}_{1} t$ и $\mathbf{r} = \mathbf{r}_{2} + \mathbf{a}_{2} t\quad \left(\mathbf{a}_{i} \neq 0, i = 1, 2\right)$ :

?

(1)

пересекаются в единственной точке

(2)

параллельны, но не совпадают

(3)

совпадают?

Задача 5.2

(1)(2)

Найти угол между прямыми, заданными своими уравнениями:

?

(1)

$\mathbf{r} = \mathbf{r}_{1} + \mathbf{a}_{1} t$ и $\mathbf{r} = \mathbf{r}_{2} + \mathbf{a}_{2} t\quad \left(\mathbf{a}_{i} \neq 0, i = 1, 2\right)$

(2)

$\left(\mathbf{r}, \mathbf{n}_{1}\right) = D_{1}$ и $\left(\mathbf{r}, \mathbf{n}_{2}\right) = D_{2}\left(\mathbf{n}_{1} \nparallel \mathbf{n}_{2}\right)$ .

Задача 5.3

Две прямые заданы векторными уравнениями $(\mathbf{r}, \mathbf{n}) = D$ и $\mathbf{r} = \mathbf{r}_{0} + \mathbf{a} t$ , причем $(\mathbf{a}, \mathbf{n}) \neq 0$ . Найти радиус — вектор точки пересечения прямых.

?

Задача 5.4

(1)(2)

Даны точка $M_{0}$ с радиус — вектором $\mathbf{r}_{0}$ и прямая $(\mathbf{r}, \mathbf{n}) = D$ $(\mathbf{n} \neq 0)$ . Найти радиус — векторы:

?

(1)

проекции точки $M_{0}$ на прямую

(2)

точки $M_{1}$ , симметричной с $M_{0}$ относительно данной прямой.

Задача 5.5

(1)(2)

Найти расстояние от точки $M_{0}\left(\mathbf{r}_{0}\right)$ до прямой, заданной уравнением:

?

(1)

$(\mathbf{r}, \mathbf{n}) = D$ $(\mathbf{n} \neq 0)$

(2)

$\mathbf{r} = \mathbf{r}_{1} + \mathbf{a} t$ $(\mathbf{a} \neq 0)$

Векторные уравнения прямых (5.1-5.5)