Замена системы координат (5.63-5.67)

Даны две системы координат $O, \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}$ и $O^{\prime }, \mathbf{e}_{1}^{\prime }, \mathbf{e}_{2}^{\prime }$. Начало второй системы координат имеет в первой системе координаты $a_{10}, a_{20}$, а базисные векторы второй системы имеют в базисе первой системы координаты $a_{11}, a_{21}$ и $a_{12}, a_{22}$ соответственно. В первой системе координат прямая задана уравнением $Ax + By + C = 0$. Составить уравнение этой прямой во второй системе.

На плоскости даны три точки $A(2, 3), B(1, 4)$, $C(- 1, 2)$ и прямая $x - 5y + 7 = 0$. Составить уравнение этой прямой в новой системе координат $A, \overrightarrow {AB}, \overrightarrow {AC}$.

Прямые $3y = x + 2$ и $3x + 2y - 5 = 0$ являются соответственно осями $O^{\prime } x^{\prime }$ и $O^{\prime } y^{\prime }$ новой системы координат, а точка $A(- 1, 2)$ имеет в новой системе координаты $(1, 1)$.

В прямоугольной системе координат $O, \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}$ прямая задана уравнением $\sqrt{3} x + 2y - 6 = 0$. Начало новой прямоугольной системы координат находится в точке $O^{\prime }(- 2, 3)$, а базисные векторы $\mathbf{e}_{1}^{\prime }$ и $\mathbf{e}_{2}^{\prime }$ получаются из векторов $\mathbf{e}_{1}$ и $\mathbf{e}_{2}$ соответственно поворотом на угол $30^{\circ }$ в направлении кратчайшего поворота от $\mathbf{e}_{1}$ к $\mathbf{e}_{2}$. Составить уравнение данной прямой в системе координат $O^{\prime }, \mathbf{e}_{1}^{\prime }, \mathbf{e}_{2}^{\prime }$.

Две взаимно перпендикулярные прямые, заданные в прямоугольной системе координат уравнениями $2x - y + 1 = 0$ и $x + 2y - 7 = 0$, являются соответственно осями $O^{\prime } x^{\prime }$ и $O^{\prime } y^{\prime }$ новой прямоугольной системы координат, а точка $A(2, 0)$ имеет в новой системе положительные координаты.