Самосопряженные и ортогональные преобразования

Может ли матрица самосопряженного преобразования в каком бы то ни было базисе быть:

Доказать, что матрица $A$ является матрицей самосопряженного преобразования в базисе $e$ тогда и только тогда, когда матрица $\Gamma_{\mathbf{e}} A$ симметрична.

Доказать, что все собственные значения самосопряженного преобразования равны нулю тогда и только тогда, когда это — нулевое преобразование.

Найти все самосопряженные нильпотентные преобразования.

Найти все самосопряженные ортогональные преобразования.

Найти все самосопряженные идемпотентные преобразования.

Пусть $\varphi$ — самосопряженное преобразование пространства $\mathcal{E}$. Доказать, что:

Преобразование $\varphi$ задано в ортонормированном базисе матрицей $\mathbf{A}_{452}$. Найдите какой — нибудь ортонормированный базис, векторы которого лежат в $\operatorname {Im} \varphi$ и $\operatorname {Ker} \varphi$, и матрицу преобразования в этом базисе. $\mathbf{A}_{452} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{smallmatrix}\right]$.

Сколько существует ортонормированных базисов из собственных векторов данного самосопряженного преобразования, если оно:

Может ли самосопряженное преобразование иметь базис из собственных векторов:

Пусть в пространстве существует ортонормированный базис из собственных векторов преобразования $\varphi$. Доказать, что преобразование $\varphi$ — самосопряженное.

Пусть $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}$ — собственные значения, а $e_{1}, \ldots \ldots , e_{n}$ — ортонормированный базис из собственных векторов самосопряженного преобразования $\varphi$ ($e_{2}$ принадлежит $\lambda_{2}$). Найти $\varphi (x)$ для произвольного вектора $x$.

Доказать, что матрица $A$ может быть матрицей самосопряженного преобразования $\varphi$ в некотором базисе тогда и только тогда, когда найдется такая невырожденная матрица $S$, что $S^{ - 1} AS$ диагональная матрица.

Может ли самосопряженное преобразование в каком бы то ни было базисе иметь матрицу:

Пусть $\mathcal{E} = \mathcal{L}_{1} \oplus \mathcal{L}_{2}$. Доказать, что проектирование на $\mathcal{L}_{1}$ параллельно $\mathcal{L}_{2}$ является самосопряженным преобразованием тогда и только тогда, когда $\mathcal{L}_{2} = \mathcal{L}_{1}^{\perp }$.

Пусть преобразования $\varphi$ и $\psi$ — самосопряженные. Доказать, что самосопряженными будут также преобразования:

Доказать, что произведение самосопряженных преобразований является самосопряженным тогда и только тогда, когда они перестановочны.

Доказать, что в каждом инвариантном подпространстве самосопряженного преобразования найдется ортонормированный базис из собственных векторов этого преобразования.

Найти матрицу перехода к ортонормированному базису из собственных векторов преобразования $\varphi$ и матрицу преобразования в этом базисе, если $\varphi$ задано в ортонормированном базисе матрицей:

Преобразование $\varphi$ арифметического пространства со стандартным скалярным произведением задано матрицей $\mathbf{A}_{627}$. Найти собственные значения и ортонормированный базис из собственных векторов этого преобразования. $\mathbf{A}_{627} = \left[\begin{smallmatrix} x & y & y & \ldots & y \\ y & x & y & \ldots & y \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & . \\ y & y & y & \ldots & x \end{smallmatrix}\right]$.

Доказать, что для самосопряженного преобразования размерность собственного подпространства, соответствующего собственному значению $\lambda$, равна кратности $\lambda$ как корня характеристического многочлена.

Доказать, что два самосопряженных преобразования перестановочны тогда и только тогда, когда имеют общий ортонормированный базис из собственных векторов.

Для двух самосопряженных преобразований, заданных в ортонормированном базисе матрицами:

найти матрицу перехода к общему ортонормированному базису из собственных векторов и матрицы преобразований в этом базисе.

Доказать, что любое самосопряженное преобразование ранга $r$ можно разложить в сумму $r$ самосопряженных преобразований ранга 1.

Доказать, что любое самосопряженное преобразование можно разложить в линейную комбинацию ортогональ — ных проектирований на попарно ортогональные одномерные подпространства.

Самосопряженное преобразование $\varphi$ задано в ортонормированном базисе матрицей $A$. Разложить $\varphi$ в линейную комбинацию ортогональных проектирований на попарно ортогональные подпространства:

Доказать, что самосопряженные преобразования $\varphi$ и $\psi$ равны тогда и только тогда, когда $(\varphi (x), x) = (\psi (x), x)$ для любого $x\in \mathcal{E}$.

Доказать, что самосопряженное преобразование $\varphi$ положительно (неотрицательно) тогда и только тогда, когда все его собственные значения положительны (соответственно неотрицательны).

Доказать, что положительное самосопряженное преобразование может быть разложено на произведение $n$ сжатий по попарно ортогональным направлениям.

Разложить в произведение трех сжатий по попарно ортогональным направлениям (иначе — к трем попарно ортогональным плоскостям) преобразования, заданные в ортонормированном базисе матрицами

Доказать, что неотрицательное самосопряженное преобразование имеет обратное тогда и только тогда, когда оно положительно.

Преобразование $\varphi$ задано в ортонормированном базисе своей матрицей. Найти матрицу положительного самосопряженного преобразования $\psi$ такого, что $\psi^{2} = \varphi$:

Пусть собственные значения самосопряженного преобразования $\varphi$ пронумерованы так, что $\lambda_{1} \geqslant \lambda_{2} \geqslant \ldots \geqslant \lambda_{n}$.

Доказать, что диагональные элементы симметрической матрицы заключены между ее минимальным и максимальным характеристическими числами.

Пусть $A$ — симметрическая матрица, $\lambda_{1}$ и $\lambda_{n}$ — ее максимальное и минимальное характеристические числа, а $\mu_{1}$ и $\mu_{k}$ — максимальное и минимальное характеристические числа ее диагональной подматрицы ${ }^{1}$). Доказать, что $\lambda_{1} \geqslant \mu_{1} \geqslant \mu_{k} \geqslant \lambda_{n}$.

Пусть $\varphi$ линейное преобразование евклидова пространства. Доказать, что:

Пусть преобразование $\varphi$ изометрично, т. е. $(\varphi (x), \varphi (y)) = (x, y)$ для любых векторов $x$ и $y$. Доказать, что $\varphi$ линейно и взаимно однозначно.

Доказать, что ортогональные преобразования евклидова пространства $\mathcal{E}$ образуют группу относительно обычной операции умножения преобразований.

Доказать, что для любых двух векторов одинаковой длины найдется ортогональное преобразование, переводящее первый вектор во второй.

Доказать, что для любых двух ортонормированных базисов найдется ортогональное преобразование, переводящее первый базис во второй.

Доказать, что преобразование из задачи 28. 23 является ортогональным тогда и только тогда, когда матрица $A$ ортогональна.

В евклидовом пространстве выбран базис с матрицей Грама $\Gamma$. Найти условие на матрицу линейного преобразования, необходимое и достаточное для того, чтобы это преобразование было ортогональным.

Может ли ортогональное преобразование в некотором базисе иметь матрицу:

Ортогональное преобразование арифметического пространства со стандартным скалярным произведением переводит столбцы матрицы $A$ в столбцы $B$. Как связаны матрицы $A$ и $B?$

Линейное преобразование $\varphi$ арифметического пространства со стандартным скалярным произведением переводит столбщы матрицы $A$ в столбцы матрицы $B$. Является ли $\varphi$ ортогональным:

Пусть $x_{1}, \ldots , x_{k}$ и $y_{1}, \ldots , y_{k}$ — векторы $n$-мерного евклидова пространства, и ортогональное преобразование $\varphi$ таково, что $\varphi \left(x_{i}\right) = y_{i}, \quad i = 1, \ldots , k$. Доказать, что это возможно тогда и только тогда, когда матрицы из попарных скалярных произведений обеих систем векторов равны.

Пусть $\mathcal{L}$ — инвариантное подпространство ортогонального преобразования $\varphi$. Доказать, что $\mathcal{L}^{\perp }$ — также инвариантно относительно $\varphi$. Как этот результат связан с задачей $25. 55?$

Ортогональное преобразование задано в ортонормированном базисе матрицей $A$. Найти матрицу $S$ перехода к каноническому базису и матрицу $A^{\prime }$ преобразования в этом базисе:

Доказать, что преобразование $\varphi^{ * } \varphi$ ортогонально тогда и только тогда, когда ортогонально $\varphi$.

Почему не является полярным разложением равенСтBо

Получить полярное разложение матрицы:

В пространстве $\mathcal{P}^{2}$ многочленов степени не выше 2 со стандартным скалярным произведением преобразование $\delta$ сопоставляет многочлену его производную. Для полярного разложения $\delta$ написать в базисе $1, t, t^{2}$ матрицу $Q$ ортогонального и матрицу $V$ самосопряженного преобразования.

Доказать, что для произвольного линейного преобразования $\varphi$ существует вторая борма полярного разложения: $\varphi = \psi \theta$, где $\psi$ — неотрицательное самосопряженное преобразование, а $\theta$ — ортогональное.

Доказать, что для квадратной матрицы $A$ найдутся такие ортогональные матрицы $Q$ и $P$, что $A = QDP$, где $D$ — диагональная матрица с сингулярными числами матрицы $A$ на диагонали.

Пусть $\varphi$ — невырожденное преобразование, и $\varphi = \theta \psi = \psi_{1} \theta_{1}$, где $\psi , \psi_{1}$ неотрицательные самосопряженные, a $\theta , \theta_{1}$ — ортогональные преобразования.

Доказать, что неотрицательное самосопряженное преобразование $\psi$ в полярном разложении $\varphi = \theta \psi$ определено однозначно.

Доказать, что для невырожденного преобразования полярное разложение единственно.

Доказать, что линейное преобразование является нормальным тогда и только тогда, когда перестановочны сомножители в его полярном разложении.

Доказать, что сингулярные числа самосопряженного преобразования равны модулям его собственных значений.

Найти сингулярные числа ортогональной матрицы.

Пусть $\alpha_{1}, \ldots , \alpha_{n}$ — сингулярные числа невырожденной матрицы $A$. Найти сингулярные числа $A^{ - 1}$.

Матрица умножена на число $\alpha$. Как изменились ее сингулярные числа?

Доказать, что у преобразования $\varphi$ и ему сопряженного $\varphi^{ * }$ сингулярные числа совпадают.

Доказать, что сингулярные числа матриц $A$ и $B$ совпадают тогда и только тогда, когда найдутся ортогональные матрицы $U$ и $V$ такие, что $B = UAV$.

Доказать, что для линейного преобразования $\varphi$ отношение $\left|\varphi (x)\right| / \left|x\right|$ при любом ненулевом векторе $x$ заключено между минимальным и максимальным сингулярным числом $\varphi$.

Доказать, что модули всех собственных значений преобразования $\varphi$ принадлежат отрезку $\left[\alpha_{n}, \alpha_{1}\right]$, где $\alpha_{1}$ и $\alpha_{n}$ — его наибольшее и наименьшее сингулярные числа.

Доказать, что для квадратной матрицы $A$ произведение сингулярных чисел равно $\left|\operatorname {det} A\right|$.

Найти сингулярные числа следующих матриц: