Полярное разложение (29.52-29.71)

Почему не является полярным разложением равенСтBо

Получить полярное разложение матрицы:

В пространстве $\mathcal{P}^{2}$ многочленов степени не выше 2 со стандартным скалярным произведением преобразование $\delta$ сопоставляет многочлену его производную. Для полярного разложения $\delta$ написать в базисе $1, t, t^{2}$ матрицу $Q$ ортогонального и матрицу $V$ самосопряженного преобразования.

Доказать, что для произвольного линейного преобразования $\varphi$ существует вторая борма полярного разложения: $\varphi = \psi \theta$, где $\psi$ — неотрицательное самосопряженное преобразование, а $\theta$ — ортогональное.

Доказать, что для квадратной матрицы $A$ найдутся такие ортогональные матрицы $Q$ и $P$, что $A = QDP$, где $D$ — диагональная матрица с сингулярными числами матрицы $A$ на диагонали.

Пусть $\varphi$ — невырожденное преобразование, и $\varphi = \theta \psi = \psi_{1} \theta_{1}$, где $\psi , \psi_{1}$ неотрицательные самосопряженные, a $\theta , \theta_{1}$ — ортогональные преобразования.

Доказать, что неотрицательное самосопряженное преобразование $\psi$ в полярном разложении $\varphi = \theta \psi$ определено однозначно.

Доказать, что для невырожденного преобразования полярное разложение единственно.

Доказать, что линейное преобразование является нормальным тогда и только тогда, когда перестановочны сомножители в его полярном разложении.

Доказать, что сингулярные числа самосопряженного преобразования равны модулям его собственных значений.

Найти сингулярные числа ортогональной матрицы.

Пусть $\alpha_{1}, \ldots , \alpha_{n}$ — сингулярные числа невырожденной матрицы $A$. Найти сингулярные числа $A^{ - 1}$.

Матрица умножена на число $\alpha$. Как изменились ее сингулярные числа?

Доказать, что у преобразования $\varphi$ и ему сопряженного $\varphi^{ * }$ сингулярные числа совпадают.

Доказать, что сингулярные числа матриц $A$ и $B$ совпадают тогда и только тогда, когда найдутся ортогональные матрицы $U$ и $V$ такие, что $B = UAV$.

Доказать, что для линейного преобразования $\varphi$ отношение $\left|\varphi (x)\right| / \left|x\right|$ при любом ненулевом векторе $x$ заключено между минимальным и максимальным сингулярным числом $\varphi$.

Доказать, что модули всех собственных значений преобразования $\varphi$ принадлежат отрезку $\left[\alpha_{n}, \alpha_{1}\right]$, где $\alpha_{1}$ и $\alpha_{n}$ — его наибольшее и наименьшее сингулярные числа.

Доказать, что для квадратной матрицы $A$ произведение сингулярных чисел равно $\left|\operatorname {det} A\right|$.

Найти сингулярные числа следующих матриц: