Самосопряженные преобразования (29.1-29.37)

Может ли матрица самосопряженного преобразования в каком бы то ни было базисе быть:

Доказать, что матрица $A$ является матрицей самосопряженного преобразования в базисе $e$ тогда и только тогда, когда матрица $\Gamma_{\mathbf{e}} A$ симметрична.

Доказать, что все собственные значения самосопряженного преобразования равны нулю тогда и только тогда, когда это — нулевое преобразование.

Найти все самосопряженные нильпотентные преобразования.

Найти все самосопряженные ортогональные преобразования.

Найти все самосопряженные идемпотентные преобразования.

Пусть $\varphi$ — самосопряженное преобразование пространства $\mathcal{E}$. Доказать, что:

Преобразование $\varphi$ задано в ортонормированном базисе матрицей $\mathbf{A}_{452}$. Найдите какой — нибудь ортонормированный базис, векторы которого лежат в $\operatorname {Im} \varphi$ и $\operatorname {Ker} \varphi$, и матрицу преобразования в этом базисе. $\mathbf{A}_{452} = \left[\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{smallmatrix}\right]$.

Сколько существует ортонормированных базисов из собственных векторов данного самосопряженного преобразования, если оно:

Может ли самосопряженное преобразование иметь базис из собственных векторов:

Пусть в пространстве существует ортонормированный базис из собственных векторов преобразования $\varphi$. Доказать, что преобразование $\varphi$ — самосопряженное.

Пусть $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}$ — собственные значения, а $e_{1}, \ldots \ldots , e_{n}$ — ортонормированный базис из собственных векторов самосопряженного преобразования $\varphi$ ($e_{2}$ принадлежит $\lambda_{2}$). Найти $\varphi (x)$ для произвольного вектора $x$.

Доказать, что матрица $A$ может быть матрицей самосопряженного преобразования $\varphi$ в некотором базисе тогда и только тогда, когда найдется такая невырожденная матрица $S$, что $S^{ - 1} AS$ диагональная матрица.

Может ли самосопряженное преобразование в каком бы то ни было базисе иметь матрицу:

Пусть $\mathcal{E} = \mathcal{L}_{1} \oplus \mathcal{L}_{2}$. Доказать, что проектирование на $\mathcal{L}_{1}$ параллельно $\mathcal{L}_{2}$ является самосопряженным преобразованием тогда и только тогда, когда $\mathcal{L}_{2} = \mathcal{L}_{1}^{\perp }$.

Пусть преобразования $\varphi$ и $\psi$ — самосопряженные. Доказать, что самосопряженными будут также преобразования:

Доказать, что произведение самосопряженных преобразований является самосопряженным тогда и только тогда, когда они перестановочны.

Доказать, что в каждом инвариантном подпространстве самосопряженного преобразования найдется ортонормированный базис из собственных векторов этого преобразования.

Найти матрицу перехода к ортонормированному базису из собственных векторов преобразования $\varphi$ и матрицу преобразования в этом базисе, если $\varphi$ задано в ортонормированном базисе матрицей:

Преобразование $\varphi$ арифметического пространства со стандартным скалярным произведением задано матрицей $\mathbf{A}_{627}$. Найти собственные значения и ортонормированный базис из собственных векторов этого преобразования. $\mathbf{A}_{627} = \left[\begin{smallmatrix} x & y & y & \ldots & y \\ y & x & y & \ldots & y \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & . \\ y & y & y & \ldots & x \end{smallmatrix}\right]$.

Доказать, что для самосопряженного преобразования размерность собственного подпространства, соответствующего собственному значению $\lambda$, равна кратности $\lambda$ как корня характеристического многочлена.

Доказать, что два самосопряженных преобразования перестановочны тогда и только тогда, когда имеют общий ортонормированный базис из собственных векторов.

Для двух самосопряженных преобразований, заданных в ортонормированном базисе матрицами:

найти матрицу перехода к общему ортонормированному базису из собственных векторов и матрицы преобразований в этом базисе.

Доказать, что любое самосопряженное преобразование ранга $r$ можно разложить в сумму $r$ самосопряженных преобразований ранга 1.

Доказать, что любое самосопряженное преобразование можно разложить в линейную комбинацию ортогональ — ных проектирований на попарно ортогональные одномерные подпространства.

Самосопряженное преобразование $\varphi$ задано в ортонормированном базисе матрицей $A$. Разложить $\varphi$ в линейную комбинацию ортогональных проектирований на попарно ортогональные подпространства:

Доказать, что самосопряженные преобразования $\varphi$ и $\psi$ равны тогда и только тогда, когда $(\varphi (x), x) = (\psi (x), x)$ для любого $x\in \mathcal{E}$.

Доказать, что самосопряженное преобразование $\varphi$ положительно (неотрицательно) тогда и только тогда, когда все его собственные значения положительны (соответственно неотрицательны).

Доказать, что положительное самосопряженное преобразование может быть разложено на произведение $n$ сжатий по попарно ортогональным направлениям.

Разложить в произведение трех сжатий по попарно ортогональным направлениям (иначе — к трем попарно ортогональным плоскостям) преобразования, заданные в ортонормированном базисе матрицами

Доказать, что неотрицательное самосопряженное преобразование имеет обратное тогда и только тогда, когда оно положительно.

Преобразование $\varphi$ задано в ортонормированном базисе своей матрицей. Найти матрицу положительного самосопряженного преобразования $\psi$ такого, что $\psi^{2} = \varphi$:

Пусть собственные значения самосопряженного преобразования $\varphi$ пронумерованы так, что $\lambda_{1} \geqslant \lambda_{2} \geqslant \ldots \geqslant \lambda_{n}$.

Доказать, что диагональные элементы симметрической матрицы заключены между ее минимальным и максимальным характеристическими числами.

Пусть $A$ — симметрическая матрица, $\lambda_{1}$ и $\lambda_{n}$ — ее максимальное и минимальное характеристические числа, а $\mu_{1}$ и $\mu_{k}$ — максимальное и минимальное характеристические числа ее диагональной подматрицы ${ }^{1}$). Доказать, что $\lambda_{1} \geqslant \mu_{1} \geqslant \mu_{k} \geqslant \lambda_{n}$.

Пусть $\varphi$ линейное преобразование евклидова пространства. Доказать, что: