§ 27

Унитарные пространства

[29/55%]
Показать
LaTeX
Подпараграф
27.1 · Определение (27.1-27.9)[9/33%]
Задача 27.1

Будет ли комплексное двумерное линейное пространство унитарным, если в нем задать скалярное произведение следующей функцией от координат векторов:

?
(1)

x1y1+x2y2x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2}

(2)

xˉ1y1+xˉ2y2\bar{x}_{1} y_{1} + \bar{x}_{2} y_{2}

(3)

xˉ1yˉ1+xˉ2yˉ2\bar{x}_{1} \bar{y}_{1} + \bar{x}_{2} \bar{y}_{2}

(4)

xˉ1yˉ1+x2y2\bar{x}_{1} \bar{y}_{1} + x_{2} y_{2}.

Задача 27.2
?
(1)

Доказать, что функция F(X,Y)=tr⁡XTYF(X, Y) = \operatorname {tr} X^{T} Y может быть принята за унитарное скалярное произведение в пространстве комплексных матриц размеров m×nm \times n.

(2)

Найти длины векторов стандартного базиса и углы между ними относительно такого скалярного произведения.

(3)

Рассматривается пространство комплексных квадратных матриц порядка nn, и каждой паре матриц сопоставлено число F(X,Y)=tr⁡Xtr⁡YˉF(X, Y) = \operatorname {tr} X\operatorname {tr} \bar{Y}. Может ли такая функция быть принята за унитарное скалярное произведение?

Задача 27.3

Унитарной нормой матрицы называется ее длина при скалярном произведении, определенном в задаче 27.2(1). Доказать, что унитарная норма равна квадратному корню из суммы квадратов модулей всех элементов матрицы.

?
Задача 27.4

Пусть ee — базис в комплексном линейном пространстве E\mathcal{E}. Доказать, что в E\mathcal{E} существует одно и только одно унитарное скалярное произведение, относительно которого базис ee — ортонормированный.

?
Задача 27.5

Пусть в комплексном линейном пространстве заданы два унитарных скалярных произведения (x,y)1(x, y)_{1} и (x,y)2(x, y)_{2}. Доказать, что для любых вещественных положительных чисел λ\lambda и μ\mu функция (x,y)=λ(x,y)1+μ(x,y)2(x, y) = \lambda (x, y)_{1} + \mu (x, y)_{2} — также унитарное скалярное произведение.

?
Задача 27.6

Доказать, что в унитарном пространстве равенства из задачи 25. 13 выполняются не для любых пар векторов.

?
Задача 27.7

Пусть в комплексном линейном пространстве заданы два скалярных произведения (x,y)1=(x,y)2(x, y)_{1} = (x, y)_{2} и любой вектор имеет одинаковые длины в каждом из них: (x,x)1=(x,x)2(x, x)_{1} = (x, x)_{2}. Доказать, что скалярные произведения совпадают.

?
Задача 27.8

Доказать, что треугольник со сторонами x,yx, y и zz в унитарном пространстве прямоугольный, если ∣z∣=∣x∣cos⁡(x,z^)\left|z\right| = \left|x\right| \cos (\widehat{x, z}), и может не быть прямоугольным, если ∣z∣=∣x∣cos⁡(z,x^)\left|z\right| = \left|x\right| \cos (\widehat{z, x}).

?
Задача 27.9

Доказать, что в унитарном пространстве из (x,y)=0(x, y) = 0 следует ∣x∣2+∣y∣2=∣x+y∣2\left|x\right|^{2} + \left|y\right|^{2} = \left|x + y\right|^{2}. Что можно сказать о произведении (x,y)(x, y), если последнее равенство выполнено?

?
Подпараграф
27.2 · Скалярное произведение в координатах (27.10-27.25)[16/56%]
Задача 27.10

В комплексном арифметическом пространстве со стандартным скалярным произведением найти скалярные произведения векторов

?
(1)

[1i],[i1]\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ i \end{smallmatrix}\right], \left[\begin{smallmatrix} i \\ 1 \end{smallmatrix}\right];

(2)

[1i],[1i]\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ i \end{smallmatrix}\right], \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ i \end{smallmatrix}\right]

(3)

[1+2i−1+2i],[2−i2+i]\left[\begin{smallmatrix} 1+2i \\ -1+2i \end{smallmatrix}\right], \left[\begin{smallmatrix} 2-i \\ 2+i \end{smallmatrix}\right]

(4)

[1i1],[i1i]\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ i \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \left[\begin{smallmatrix} i \\ 1 \\ i \end{smallmatrix}\right]

(5)

[1+i1+i1+i],[1−i1−i1−i]\left[\begin{smallmatrix} 1+i \\ 1+i \\ 1+i \end{smallmatrix}\right], \left[\begin{smallmatrix} 1-i \\ 1-i \\ 1-i \end{smallmatrix}\right]

(6)

c222,c223\mathbf{c}_{222}, \mathbf{c}_{223}. c222=[0205−2i],c223=[02+i06+i]\mathbf{c}_{222} = \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \\ 5-2 i \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{223} = \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 2+i \\ 0 \\ 6+i \end{smallmatrix}\right].

(7)

c221;c215\mathbf{c}_{221}; \mathbf{c}_{215}. c221=[0103−i],c215=[1111−i]\mathbf{c}_{221} = \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 3-i \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{215} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 - i \end{smallmatrix}\right].

Задача 27.11

В задаче 27. 10 для каждой пары векторов найти длину первого вектора:

?
(1)

[1i],[i1]\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ i \end{smallmatrix}\right], \left[\begin{smallmatrix} i \\ 1 \end{smallmatrix}\right];

(2)

[1i],[1i]\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ i \end{smallmatrix}\right], \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ i \end{smallmatrix}\right]

(3)

[1+2i−1+2i],[2−i2+i]\left[\begin{smallmatrix} 1+2i \\ -1+2i \end{smallmatrix}\right], \left[\begin{smallmatrix} 2-i \\ 2+i \end{smallmatrix}\right]

(4)

[1i1],[i1i]\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ i \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \left[\begin{smallmatrix} i \\ 1 \\ i \end{smallmatrix}\right]

(5)

[1+i1+i1+i],[1−i1−i1−i]\left[\begin{smallmatrix} 1+i \\ 1+i \\ 1+i \end{smallmatrix}\right], \left[\begin{smallmatrix} 1-i \\ 1-i \\ 1-i \end{smallmatrix}\right]

(6)

c222,c223\mathbf{c}_{222}, \mathbf{c}_{223}. c222=[0205−2i],c223=[02+i06+i]\mathbf{c}_{222} = \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \\ 5-2 i \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{223} = \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 2+i \\ 0 \\ 6+i \end{smallmatrix}\right].

(7)

c221;c215\mathbf{c}_{221}; \mathbf{c}_{215}. c221=[0103−i],c215=[1111−i]\mathbf{c}_{221} = \left[\begin{smallmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 3-i \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{215} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 - i \end{smallmatrix}\right].

Задача 27.12

Найти скалярное произведение векторов унитарного пространства по их координатам в базисе ee и матрице Грама Γ\Gamma этого базиса:

?
(1)

[1i],[2i1],Γ=[2i−i2]\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ i \end{smallmatrix}\right], \quad \left[\begin{smallmatrix} 2i \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \quad \Gamma =\left[\begin{smallmatrix} 2 & i \\ - i & 2\end{smallmatrix}\right]

(2)

[1+ii],[11−i],Γ=[31+i1−i1]\left[\begin{smallmatrix} 1+i \\ i \end{smallmatrix}\right], \quad \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1-i \end{smallmatrix}\right], \quad \Gamma =\left[\begin{smallmatrix} 3 & 1 + i \\ 1 - i & 1\end{smallmatrix}\right]

(3)

c40,c41,Γ=A87\mathbf{c}_{40}, \mathbf{c}_{41}, \quad \Gamma = \mathbf{A}_{87}. c40=[1+i3],c41=[1+2i6+2i],A87=[11+i1−i3]\mathbf{c}_{40} = \left[\begin{smallmatrix} 1+i \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{41} = \left[\begin{smallmatrix} 1+2 i \\ 6+2 i \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{87} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1+i \\ 1-i & 3 \end{smallmatrix}\right].

(4)

c44,c40,Γ=A86\mathbf{c}_{44}, \quad \mathbf{c}_{40}, \quad \Gamma = \mathbf{A}_{86}. c44=[i2],c40=[1+i3],A86=[5i−i1]\mathbf{c}_{44} = \left[\begin{smallmatrix} i \\ 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{40} = \left[\begin{smallmatrix} 1+i \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{86} = \left[\begin{smallmatrix} 5 & i \\ -i & 1 \end{smallmatrix}\right].

(5)

[2+i01+2i],[2−i12+i],Γ=[1i0−i2−i0i2]\left[\begin{smallmatrix} 2+i \\ 0 \\ 1+2i \end{smallmatrix}\right], \quad \left[\begin{smallmatrix} 2-i \\ 1 \\ 2+i \end{smallmatrix}\right], \quad \Gamma =\left[\begin{smallmatrix} 1 & i & 0 \\ - i & 2 & - i \\ 0 & i & 2\end{smallmatrix}\right]

(6)

[111],[101],Γ=[2i0−i2−i0i2]\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{smallmatrix}\right], \quad \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \quad \Gamma =\left[\begin{smallmatrix} 2 & i & 0 \\ - i & 2 & - i \\ 0 & i & 2\end{smallmatrix}\right]

(7)

[−12+i1],[1−i1+i],Γ=[11−i01+i3i0−i2]\left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 2+i \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \quad \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ -i \\ 1+i \end{smallmatrix}\right], \quad \Gamma =\left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 - i & 0 \\ 1 + i & 3 & i \\ 0 & - i & 2\end{smallmatrix}\right]

(8)

[−21+i1],[−2+i1+i1],Γ=[21−i01+i3i0−i2]\left[\begin{smallmatrix} -2 \\ 1+i \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \quad \left[\begin{smallmatrix} -2+i \\ 1+i \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \quad \Gamma =\left[\begin{smallmatrix} 2 & 1 - i & 0 \\ 1 + i & 3 & i \\ 0 & - i & 2\end{smallmatrix}\right].

Задача 27.13

В задаче 27. 12 для каждой пары векторов найти длину первого вектора:

?
(1)

[1i],[2i1],Γ=[2i−i2]\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ i \end{smallmatrix}\right], \quad \left[\begin{smallmatrix} 2i \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \quad \Gamma =\left[\begin{smallmatrix} 2 & i \\ - i & 2\end{smallmatrix}\right]

(2)

[1+ii],[11−i],Γ=[31+i1−i1]\left[\begin{smallmatrix} 1+i \\ i \end{smallmatrix}\right], \quad \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1-i \end{smallmatrix}\right], \quad \Gamma =\left[\begin{smallmatrix} 3 & 1 + i \\ 1 - i & 1\end{smallmatrix}\right]

(3)

c40,c41,Γ=A87\mathbf{c}_{40}, \mathbf{c}_{41}, \quad \Gamma = \mathbf{A}_{87}. c40=[1+i3],c41=[1+2i6+2i],A87=[11+i1−i3]\mathbf{c}_{40} = \left[\begin{smallmatrix} 1+i \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{41} = \left[\begin{smallmatrix} 1+2 i \\ 6+2 i \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{87} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1+i \\ 1-i & 3 \end{smallmatrix}\right].

(4)

c44,c40,Γ=A86\mathbf{c}_{44}, \quad \mathbf{c}_{40}, \quad \Gamma = \mathbf{A}_{86}. c44=[i2],c40=[1+i3],A86=[5i−i1]\mathbf{c}_{44} = \left[\begin{smallmatrix} i \\ 2 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{40} = \left[\begin{smallmatrix} 1+i \\ 3 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{A}_{86} = \left[\begin{smallmatrix} 5 & i \\ -i & 1 \end{smallmatrix}\right].

(5)

[2+i01+2i],[2−i12+i],Γ=[1i0−i2−i0i2]\left[\begin{smallmatrix} 2+i \\ 0 \\ 1+2i \end{smallmatrix}\right], \quad \left[\begin{smallmatrix} 2-i \\ 1 \\ 2+i \end{smallmatrix}\right], \quad \Gamma =\left[\begin{smallmatrix} 1 & i & 0 \\ - i & 2 & - i \\ 0 & i & 2\end{smallmatrix}\right]

(6)

[111],[101],Γ=[2i0−i2−i0i2]\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{smallmatrix}\right], \quad \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \quad \Gamma =\left[\begin{smallmatrix} 2 & i & 0 \\ - i & 2 & - i \\ 0 & i & 2\end{smallmatrix}\right]

(7)

[−12+i1],[1−i1+i],Γ=[11−i01+i3i0−i2]\left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 2+i \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \quad \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ -i \\ 1+i \end{smallmatrix}\right], \quad \Gamma =\left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 - i & 0 \\ 1 + i & 3 & i \\ 0 & - i & 2\end{smallmatrix}\right]

(8)

[−21+i1],[−2+i1+i1],Γ=[21−i01+i3i0−i2]\left[\begin{smallmatrix} -2 \\ 1+i \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \quad \left[\begin{smallmatrix} -2+i \\ 1+i \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \quad \Gamma =\left[\begin{smallmatrix} 2 & 1 - i & 0 \\ 1 + i & 3 & i \\ 0 & - i & 2\end{smallmatrix}\right].

Задача 27.14

Доказать, что эрмитова матрица Γ\Gamma может служить матрицей Грама в унитарном пространстве тогда и только тогда, когда для любого ненулевого столбца ξ\xi выполнено ξTΓξˉ>0\xi^{T}\Gamma \bar{\xi } > 0.

?
Задача 27.15

Доказать, что квадратная матрица Γ\Gamma порядка nn может служить матрицей Грама в nn-мерном унитарном пространстве тогда и только тогда, когда найдется такая невырожденная матрица SS, что Γ=STSˉ\Gamma = S^{T} \bar{S}.

?
Задача 27.16

Выбрать из банка эрмитовы матрицы (за исключением вещественных симметричных) и среди них те, которые могут служить матрицами Грама в унитарном пространстве.

?
Задача 27.17

В матрице Грама некоторого базиса в унитарном пространстве все ненулевые элементы по модулю равны 1. Доказать, что базис ортонормированный.

?
Задача 27.18

В матрице Грама некоторого базиса:

?
(1)

ко всем элементам главной диагонали прибавили вещественное число α\alpha

(2)

к некоторым элементам главной диагонали прибавили положительное число α\alpha

(3)

переставили две строки

(4)

переставили две строки, а также два столбца с теми же номерами, что и у строк.

Осталась ли матрица эрмитовой, может ли она быть матрицей Грама какого-либо базиса?

Задача 27.19

Доказать, что детерминант матриџы, составленной из попарных скалярных произведений некоторой системы векторов — вещественное неотрицательное число, равное нулю тогда и только тогда, когда эта система векторов линейно зависима.

?
Задача 27.20

Доказать, что для любой комплексной матрицы Rg⁡ATAˉ=Rg⁡A\operatorname {Rg} A^{T} \bar{A} = \operatorname {Rg} A.

?
Задача 27.21

Выбрать из банка унитарные матрицы, не являющиеся вещественными ортогональными матрицами.

?
Задача 27.22

Написать какую — нибудь унитарную матрицу третьего порядка.

?
Задача 27.23

Описать все треугольные унитарные матрицы.

?
Задача 27.24

Может ли унитарная матрица четвертого порядка содержать строку:

?
(1)

[i−ii−i]\left[\begin{smallmatrix} i & -i & i & -i \end{smallmatrix}\right]

(2)

[1+i2001−i2]\left[\begin{smallmatrix} \frac{1 + i}{2} & 0 & 0 & \frac{1 - i}{2} \end{smallmatrix}\right]

(3)

[1+i81−i8−1+i8−1−i8]\left[\begin{smallmatrix} \frac{1 + i}{\sqrt{8}} & \frac{1 - i}{\sqrt{8}} & \frac{ - 1 + i}{\sqrt{8}} & \frac{ - 1 - i}{\sqrt{8}} \end{smallmatrix}\right].

Задача 27.25

Пусть AA и BB — вещественные квадратные матрицы порядка nn. Из них можно составить комплексную матрицу C=A+iBC = A + iB и вещественную матрицу порядка 2n2n

D=[[c∣c]A−BBA]□ D =\left[\begin{smallmatrix} [c|c] A & -B \\ \hline B & A \end{smallmatrix}\right]^{\square }

Доказать, что:

?
(1)

CC эрмитова тогда и только тогда, когда DD симметрична

(2)

CC унитарна тогда и только тогда, когда DD ортогональна.

Подпараграф
27.3 · Ортогональность (27.26-27.29)[4/100%]
Задача 27.26

В комплексном арифметическом пространстве со стандартным скалярным произведением найти базис в ортогональном дополнении подпространства, заданного системой линейных уравнений:

?
(1)

x1+ix2=0x_{1} + ix_{2} = 0;

(2)

x1+ix2+(1−i)x3=0;−ix1+(2+i)x2−x3=0x_{1} + ix_{2} + (1 - i) x_{3} = 0; - ix_{1} + (2 + i) x_{2} - x_{3} = 0;

(3)

однородная система с матрицей A377\mathbf{A}_{377}. A377=[11−i01+i3i0−i1]\mathbf{A}_{377} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 1-i & 0 \\ 1+i & 3 & i \\ 0 & -i & 1 \end{smallmatrix}\right].

(4)

однородная система с матрицей A368\mathbf{A}_{368}. A368=[1+i2i−211+i3i−311+i4i−41]\mathbf{A}_{368} = \left[\begin{smallmatrix} 1+i \sqrt{2} & i-\sqrt{2} & 1 \\ 1+i \sqrt{3} & i-\sqrt{3} & 1 \\ 1+i \sqrt{4} & i-\sqrt{4} & 1 \end{smallmatrix}\right].

(5)

однородная система с матрицей A372\mathbf{A}_{372}. A372=[12i1−i−i2−1−i36i3−3i]\mathbf{A}_{372} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 i & 1-i \\ -i & 2 & -1-i \\ 3 & 6 i & 3-3 i \end{smallmatrix}\right].

Задача 27.27

В комплексном арифметическом пространстве со стандартным скалярным произведением найти базис в ортогональном дополнении подпространства, натянутого на следующие векторы:

?
(1)

[1i]\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ i \end{smallmatrix}\right]

(2)

[−i11+i]\left[\begin{smallmatrix} -i \\ 1 \\ 1+i \end{smallmatrix}\right]

(3)

[1−i1],[i10]\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ - i \\ 1\end{smallmatrix}\right], \left[\begin{smallmatrix} i \\ 1 \\ 0 \end{smallmatrix}\right]

(4)

столбщы матрицы A372\mathbf{A}_{372}. A372=[12i1−i−i2−1−i36i3−3i]\mathbf{A}_{372} = \left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 i & 1-i \\ -i & 2 & -1-i \\ 3 & 6 i & 3-3 i \end{smallmatrix}\right].

(5)

столбцы матрицы A368\mathbf{A}_{368}. A368=[1+i2i−211+i3i−311+i4i−41]\mathbf{A}_{368} = \left[\begin{smallmatrix} 1+i \sqrt{2} & i-\sqrt{2} & 1 \\ 1+i \sqrt{3} & i-\sqrt{3} & 1 \\ 1+i \sqrt{4} & i-\sqrt{4} & 1 \end{smallmatrix}\right].

Задача 27.28

При помощи процесса ортогонализации построить ортонормированный базис в линейной оболочке заданных векторов комплексного арифметического пространства со стандартным скалярным произведением:

?
(1)

[1i]\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ i\end{smallmatrix}\right], [11]\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 1\end{smallmatrix}\right];

(2)

[2−ii]\left[\begin{smallmatrix} 2 -i \\ i\end{smallmatrix}\right], [4−i2−3i]\left[\begin{smallmatrix} 4-i \\ 2-3i\end{smallmatrix}\right];

(3)

[1i1]\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ i \\ 1\end{smallmatrix}\right], [2−ii−12]\left[\begin{smallmatrix} 2-i \\ i-1 \\ 2\end{smallmatrix}\right];

(4)

[1i1]\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ i \\ 1\end{smallmatrix}\right], [i10]\left[\begin{smallmatrix} i \\ 1 \\ 0\end{smallmatrix}\right], [−101]\left[\begin{smallmatrix} -1 \\ 0 \\ 1\end{smallmatrix}\right];

(5)

[1+i2+i1−i]\left[\begin{smallmatrix} 1+i \\ 2+i \\ 1-i\end{smallmatrix}\right], [−24+i1−i]\left[\begin{smallmatrix} -2 \\ 4+i \\ 1-i\end{smallmatrix}\right], [12+i2−i]\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 2+i \\ 2-i\end{smallmatrix}\right].

Задача 27.29

В комплексном арифметическом пространстве со стандартным скалярным произведением найти ортогональную проекцию вектора xx на линейную оболочку векторов a1,…,aka_{1}, \ldots , a_{k}:

?
(1)

x=[1−i],a=[1−1]x = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ -i \end{smallmatrix}\right], \quad a = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ -1 \end{smallmatrix}\right]

(2)

x=[2+i02−i],a=[−1i1+i]x = \left[\begin{smallmatrix} 2+i \\ 0 \\ 2-i \end{smallmatrix}\right], \quad a = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ i \\ 1+i \end{smallmatrix}\right]

(3)

x=[2+ii2−i],a1=[1i1],a2=[i0−i]x = \left[\begin{smallmatrix} 2+i \\ i \\ 2-i \end{smallmatrix}\right], \quad a_{1} =\left[\begin{smallmatrix} 1 \\ i \\ 1\end{smallmatrix}\right], \quad a_{2} = \left[\begin{smallmatrix} i \\ 0 \\ -i \end{smallmatrix}\right]

(4)

x=[1+i1+i1],a1=[−1i1]x = \left[\begin{smallmatrix} 1+i \\ 1+i \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \quad a_{1} = \left[\begin{smallmatrix} -1 \\ i \\ 1 \end{smallmatrix}\right], a2=[1+i1−i0]a_{2} = \left[\begin{smallmatrix} 1+i \\ 1-i \\ 0 \end{smallmatrix}\right]

(5)

x=c130,a1=c134,a2=c132x = \mathbf{c}_{130}, \quad a_{1} = \mathbf{c}_{134}, \quad a_{2} = \mathbf{c}_{132}. c130=[−2+i1+i1],c134=[1−2i],c132=[103i]\mathbf{c}_{130} = \left[\begin{smallmatrix} -2+i \\ 1+i \\ 1 \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{134} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ -2 \\ i \end{smallmatrix}\right], \mathbf{c}_{132} = \left[\begin{smallmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 i \end{smallmatrix}\right].